RF-BETON Flächen Version 5

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2.3.1 Bemessungsschnittgrößen

Bemessungsschnittgrößen

Die Ermittlung der Bemessungsschnittgrößen für Wände und Scheiben erfolgt nach dem Transformationsverfahren von Baumann [1]. Die Gleichungen zur Bestimmung der Bemessungsschnittgrößen werden dort für den allgemeinen Fall einer dreibahnigen Bewehrungsschar mit beliebiger Richtung hergeleitet. Sie sind dann auch auf einfachere Fälle wie orthogonale zweibahnige Bewehrungsnetze anwendbar.

Baumann betrachtet die Gleichgewichtsbedingungen an folgendem Scheibenelement.

Bild 2.8 Gleichgewichtsbedingungen nach Baumann

Bild 2.8 zeigt einen rechteckigen Ausschnitt einer Scheibe. Diese wird durch die Hauptnormalkräfte N1 und N2 (Zugkräfte) beansprucht. Die Hauptnormalkraft N2 wird durch den Faktor k als ein Vielfaches der Hauptnormalkraft N1 ausgedrückt.

N2=k·N1 

In der Scheibe werden drei Bewehrungsscharen eingelegt. Die Bewehrungsscharen werden mit x, y und z bezeichnet. Der Winkel, den die erste Hauptnormalkraft N1 im Uhrzeigersinn mit der Richtung der Bewehrungsschar x einschließt, wird mit α bezeichnet. Der Winkel zwischen erster Hauptnormalkraft N1 und der Bewehrungsschar y wird β genannt, der Winkel zur verbleibenden Bewehrungsschar heißt γ.

In seiner Arbeit schreibt Baumann: ‶Bei Vernachlässigung von Schub- bzw. Zugbeanspruchungen im Beton kann also die äußere Beanspruchung (N1, N2 = k ⋅ N1) eines Scheibenelements im allgemeinen Falle durch drei beliebig gerichtete innere Kräfte aufgenommen werden. Bei dreibahnigen Bewehrungsnetzen entsprechen diese Kräfte den drei Bewehrungsscharen (x), (y) und (z), welche mit der größeren Hauptzugkraft N1 die Winkel α, β, γ einschließen, und werden mit Zx, Zy, Zz (als Zugkräfte positiv) bezeichnet.″

Um diese Kräfte Zx, Zy (und bei einer dritten Bewehrungsrichtung noch Zz) zu bestimmen, wird zunächst ein Schnitt parallel zur dritten Bewehrungsschar gebildet.

Bild 2.9 Schnitt parallel zur dritten Bewehrungsschar z

Die Schnittlänge wird mit dem Wert 1 angenommen. Mit dieser Schnittlänge werden jene projizierten Schnittlängen bestimmt, die senkrecht zur jeweils betrachteten Kraft laufen. Im Fall der äußeren Kräfte sind das die projizierten Schnittlängen b1 (senkrecht zur Kraft N1) und b2 (senkrecht zur Kraft N2). Im Fall der Zugkräfte in der Bewehrung sind das die projizierten Schnittlängen bx (senkrecht zur Zugkraft Zx) und by (senkrecht zur Zugkraft Zy).

Das Produkt aus der jeweiligen Kraft und der zugehörigen projizierten Schnittlänge ergibt dann die Kraft, mit der ein Kräftegleichgewicht aufgestellt werden kann.

Bild 2.10 Kräftegleichgewicht in einem Schnitt parallel zur Bewehrung in Richtung z

Das Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N1, N2) und den inneren Kräften (Zx, Zy) lässt sich dann wie folgt formulieren.

Zx · bx=1sin (β-α) · (N1 · b1 · sin β - N2 · b2 · cos β) 

Zy · by=1sin (β-α) · (-N1 · b1 · sin α - N2 · b2 · cos α) 

Um das Kräftegleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N1, N2) und der inneren Kraft Zz in die Bewehrungsrichtung z zu bestimmen, wird ein Schnitt parallel zur Bewehrungsschar in Richtung x gelegt.

Bild 2.11 Schnitt parallel zur Bewehrungsschar in Richtung x

Grafisch lässt sich folgendes Gleichgewicht ermitteln.

Bild 2.12 Kräftegleichgewicht in einem Schnitt parallel zur Bewehrung in Richtung x

Das Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N1, N2) und den inneren Kräften Zz lässt sich dann wie folgt formulieren.

Zz · bz=1sin (β - γ) · (N1 · b1 · sin β - N2 · b2 · cos β) 

Ersetzt man die projizierten Schnittlängen b1, b2, bx, by, bz durch die in der Darstellung angegebenen Werte und verwendet k als den Quotienten von Hauptnormalkraft N2 geteilt durch N1, erhält man folgende Gleichungen.

ZxN1=sin β · sin γ + k · cos β · cos γsin (β - α) · sin (γ - α) 

ZyN1= sin α · sin γ + k · cos α · cos γsin (β - α) · sin (β - γ) 

ZzN1=- sin α · sin β + k · cos α · cos βsin (β - γ) · sin (γ - α) 

Diese Gleichungen stellen den Kern des Bemessungsalgorithmus für RF-BETON Flächen dar. Damit können aus den einwirkenden Schnittgrößen N1 und N2 die Bemessungsschnittgrößen Zx, Zy und Zz für die jeweiligen Bewehrungsrichtungen ermittelt werden.

Durch Addition von Gleichung 2.5, Gleichung 2.6 und Gleichung 2.7 ergibt sich:

ZxN1 + ZyN1 + ZzN1 = 1 + k 

Multipliziert man Gleichung 2.8 mit N1 und substituiert k durch N2 / N1, erhält man folgende Gleichung, die das Gleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte verdeutlicht.

Zx + Zy + Zz = N1 + N2 

Literatur
[1] Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 217: Tragwirkung orthogonaler Bewehrungsnetze beliebiger Richtung in Flächentragwerken aus Stahlbeton (von Theodor Baumann). Verlag Ernst & Sohn, Berlin, 1972.

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