RF-BETON Flächen Version 5

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2.5.2 Hebelarm der inneren Kräfte

Hebelarm der inneren Kräfte

Es wird stets ein rechteckiger Querschnitt von einem Meter Breite bemessen. Die Bemessung erfolgt direkt mit dem Spannungsblock (siehe EN 1992-1-1, Bild 3.5). Ein iteratives Verfahren wäre aufgrund der Vielzahl an erforderlichen Bemessungen zu zeitaufwendig.

Bild 2.49 Berechnungsparameter der Bemessung

Der gesuchte Hebelarm z bestimmt sich für die obige Abbildung wie folgt.

z = d - k · x2 

Bild 2.49 zeigt einen Dehnungszustand, der sich bei der gleichzeitigen Wirkung von Moment und Normalkraft ergeben kann. Es sind fünf Dehnungszustände möglich (siehe Bild 2.50).

Bild 2.50 Bereiche der Dehnungsverteilung
Bereich I

Es liegt ein stark biegebeanspruchter Querschnitt vor. Die Druckzonenhöhe hat ihren maximalen Wert erreicht (x = ξ lim ⋅ d). Eine weitere Steigerung des Widerstandsmoments ist nur noch durch das Einlegen einer Druckbewehrung möglich.

Bereich II

In diesem Bereich tritt überwiegend Druck auf. Die Druckzonenhöhe bewegt sich zwischen den Grenzen ξ lim ⋅ d und h/k.

Bereich III

Das einwirkende Moment ist so gering, dass die Betondruckzone ohne Druckbewehrung in der Lage ist, ein ausreichendes Widerstandsmoment zu liefern. Die Grenzen für die Druckzonenhöhe liegen je nach einwirkendem Moment zwischen 0 und ξ lim ⋅ d.

Bereich IV

Hier liegt ein vollständig überdrückter Querschnitt vor. Die Druckzonenhöhe ist größer als h/k. In diesen Bereich fallen auch ausschließlich druckkraftbeanspruchte Querschnitte.

Bereich V

Dieser Dehnungszustand liegt vor, wenn die Zugkraft einen Querschnitt vollständig aufreißen lässt. In diesen Bereich fallen auch ausschließlich zugkraftbeanspruchte Querschnitte.

Für jeden Dehnungsbereich wird der Hebelarm ermittelt. Damit können dann die Momente der linearen Plattenstatik in Membrankräfte aufgeteilt werden.

Hebelarm Bereich I

Für diesen Bereich ist die Höhe der Druckzone bekannt: Der Beton wird voll ausgenutzt, ehe Druckbewehrung eingelegt wird.

Bild 2.51 Hebelarm z bei maximaler Betondruckzonenhöhe

Für die maximale Höhe der Betondruckzone x ergibt sich die aufnehmbare Betondruckkraft Fcd gemäß folgender Gleichung:

Fcd = κ · fcd · k · xlim · b 

Das Grenzwiderstandmoment msd,lim, das der Querschnitt ohne Druckbewehrung aufnehmen kann, bestimmt sich wie folgt:

msd,lim = Fcd · d - k · xlim2 

Mit dem Grenzwiderstandmoment msd,lim kann das Differenzmoment ∆msd bestimmt werden, das von der Druckbewehrung geliefert werden muss, um ein Gleichgewicht mit dem einwirkenden Moment msd(1) zu bilden.

msd = msd1 · msd,lim 

Das einwirkende Moment msd(1) ist hier bezogen auf den Schwerpunkt der Zugbewehrung. Es bildet sich aus dem einwirkenden Moment msd, der einwirkenden Normalkraft nsd und dem Abstand zs(1) zwischen Querschnittsschwerachse und Schwerachse der Zugbewehrung.

msd1 = msd - nsd  · zs1 

Mit dem Differenzmoment Δ msd kann nun die erforderliche Druckkraft Fsd(2) in einer Druckbewehrung bestimmt werden.

Fsd2 = msdd - d2 

Hierbei ist d die statische Nutzhöhe der Zugbewehrung und d2 der Schwerpunktabstand der Druckbewehrung vom Rand der Betondruckzone.

Teilt man das auf den Zugbewehrungsschwerpunkt bezogene, einwirkende Moment msd(1) nun durch die Betondruckkraft Fcd und die Kraft in der Druckbewehrung Fsd(2), so erhält man den gesuchten Hebelarm z.

z = msd Fcd + Fsd2 

Hebelarm Bereich II
Bild 2.52 Ermittlung des Hebelarms für Bereich II

Um die Höhe der Betondruckzone x bestimmen zu können, wird zunächst das Bemessungsmoment msd(2) um den Schwerpunkt der Druckbewehrung ermittelt.

msd2 = msd + nsd + zs2 

Nun wird die Summe der Momente um den Druckbewehrungsschwerpunkt gebildet. Diese Momente müssen sich zu Null ergeben. Auf der Widerstandsseite wird das Moment nur aus der resultierenden Kraft Fcd der Betondruckzonen multipliziert mit ihrem Abstand gebildet. Im Bereich II gibt es keine gezogene Bewehrung.

m =Fcd · k · x2 - d2 + msd2 = 0 

Auch in der resultierenden Betondruckkraft Fcd ist die Höhe x der Betondruckzone enthalten.

Fcd = κ · fcd · k · x · b 

Damit ergibt sich die Gleichung zur Bestimmung von x zu:

κ · fcd · k · x · b · k · x2 - d2 + msd2 = κ · fcd · k2 · x22 - κ · fcd · k · x · b · d2 + msd2 = 0x2 = 2 · d2 · xk + 2 · msd2κ · fcd · b · k2 = 0     x = d2k + d2k2 - 2 · msd2κ · fcd · b · k2 

Mit der Höhe x der Betondruckzone kann der Hebelarm z bestimmt werden, indem man von der statischen Höhe d die halbe Druckzonenhöhe x abzieht, die um den Faktor k reduziert wird:

z = d · k · x2 

Hebelarm Bereich III
Bild 2.53 Ermittlung des Hebelarms für Bereich III

Um Höhe x der Betondruckzone zu bestimmen, wird zunächst das Bemessungsmoment msd(1) um den Schwerpunkt der Zugbewehrung ermittelt.

msd1 = msd + nsd + zs1  

Nun wird die Summe der Momente um den Zugbewehrungsschwerpunkt gebildet. Diese Momente müssen sich zu Null ergeben. Auf der Widerstandsseite wird das Moment nur aus der resultierenden Kraft Fcd der Betondruckzone mal ihrem Abstand gebildet. Anschließend wird das Gleichgewicht der Momente um die Lage der Zugbewehrung gebildet.

 m = Fcd · d - k · x2 - msd1 = 0 

Auch in der resultierenden Betondruckkraft Fcd ist die Höhe x der Betondruckzone enthalten (siehe Gleichung 2.52).

κ · fcd · k · b · d · x - κ · fcd · k2 · b2 - msd1 = x2 - 2dk · x + 2msd1κ ·fcd · k2 · b = 0 

Diese quadratische Gleichung kann wie folgt gelöst werden.

x = dk +  d2k2 - 2 · msd1κ · fcd · k2 ·b = 0 

Mit der Höhe x der Betondruckzone kann der Hebelarm z bestimmt werden, indem man von der statischen Höhe d die halbe Druckzonenhöhe x abzieht, die um den Faktor k reduziert wird:

z = d · k · x2 

Falls die Stahldehnung εs größer ist als die maximal zulässige Stahldehnung εud, wird x iterativ aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet. Die Umrechnungsfaktoren κ und k für die Betondruckzone werden dabei direkt aus dem Parabel-Rechteck-Diagramm des Betons abgeleitet.

Hebelarm Bereich IV

In einem vollständig überdrückten Querschnitt wird der Hebelarm als der Abstand zwischen den beiden Bewehrungen angenommen.

z = d - d2 

Für diesen Bereich wird eine maximale Ausnutzung der Bewehrung vorgegeben, d. h. εs = εcu.

Bei näherungsweise zentrischem Druck (ed / h ≤ 0.1) ist gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 6.1 (5) die mittlere Stauchung auf εc2 zu begrenzen.

Hebelarm Bereich V

In einem vollständig aufgerissenen Querschnitt wird der Hebelarm ebenfalls als der Abstand zwischen den beiden Bewehrungen angenommen (siehe Gleichung 2.60).

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