RF-BETON Stäbe Version 5

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2.4.9 Konvergenz

Konvergenz

Wie schnell und sicher eine nichtlineare Berechnung konvergiert, hängt von einer Vielzahl von Faktoren ab und kann für den allgemeinen Fall nur tendenziell angegeben werden.

Hauptansatzpunkt der Konvergenzbeurteilung ist das verwendete Verfahren. So ist bekannt, dass Verfahren, die auf tangentialen Verbesserungen (tangentiale Steifigkeitsmatrix) basieren, meist schneller konvergieren (quadratische Konvergenz im Bereich der gesuchten Lösung) als Verfahren, die mit Sekantensteifigkeiten eine iterative Verbesserung ermitteln. Jedoch sind Sekantenverfahren im Allgemeinen numerisch stabiler, speziell im Bereich sehr flacher Gradienten nahe dem Versagenszustand (tangentiale Steifigkeit geht gegen null). Selbstverständlich ist keine Pauschalierung möglich, da die Konvergenz durch inkrementelle Lastaufbringung, verschiedene Iterationsverfahren (Newton-Raphson, Riks/Wempner/Wessels etc.) und weitere Parameter beeinflusst wird.

Im Folgenden soll das Konvergenzverhalten des verwendeten Algorithmus kurz vorgestellt werden. RF-BETON Stäbe führt die eigentliche Iteration des Dehnungszustandes auf Querschnittsebene durch. Das bedeutet, dass ausgehend von einem Schnittkraftverlauf innerhalb eines Iterationszyklus immer neue, aktuelle Dehnungs-Spannungs-Zustände berechnet werden. Die Konvergenz ist dann erreicht, wenn sich ein Gleichgewichtszustand einstellt, also der Schnittgrößenverlauf in zwei aufeinanderfolgenden Iterationsschritten innerhalb einer vorgegebenen Schranke verbleibt.

Dieses Vorgehen allein ist bei geringeren Schwankungen der Steifigkeiten in statisch unbestimmten Tragwerken sehr stabil. Probleme ergeben sich allerdings bei sprunghafter Änderung bzw. größeren Steifigkeitssprüngen. Hier kann es zu einem Oszillieren der Berechnung kommen. Um diese Inkonvergenz zu umgehen, wurde eine gedämpfte Steifigkeitsreduktion in die Berechnung implementiert. Dabei wird der Sprung zwischen den Steifigkeiten zweier Iterationsschritte entsprechend der Vorgaben des Benutzers gedämpft. Die Berechnung verlangsamt sich dadurch etwas, sie ist aber numerisch deutlich stabiler. Es bleibt anzumerken, dass eine Dämpfung bei statisch bestimmten Systemen keinen Sinn ergibt.

Damit ergeben sich die beiden steuerbaren Abbruchkriterien der nichtlinearen Berechnung:

ε1 = 1/γi - 1/γi-1  Toleranz 1 

γ ist ein Indikator für das Verhältnis von Bruchmoment zu wirkendem Moment. Somit berücksichtigt das Abbruchkriterium ε1 die Änderung der Schnittkräfte.

ε2 = EIi - EIi-2 2 / EIi2  Toleranz 2 

Dieses Kriterium kontrolliert den Steifigkeitsunterschied zweier aufeinander folgender Iterationsschritte an den Knoten.

Zusätzlich wird intern die Verformungsdifferenz zwischen zwei Iterationen kontrolliert:

ε3 = ui - ui-1  Toleranz 3 fix 

Die maximale Verformungsdifferenz ist fix auf den Wert ≤ 0.1 mm eingestellt.

Konvergiert die nichtlineare Berechnung nicht, bestehen im Dialog Einstellungen für nichtlineare Berechnung (siehe Bild 2.30) Möglichkeiten zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens.

Bild 2.30 Dialog Einstellungen für nichtlineare Berechnung, Register Konvergenzeinstellungen
Erhöhung der Iterationsanzahl

Der Iterationsprozess hängt sehr von Querschnittsform, System und Belastung ab. Dadurch kann es zu einem unterschiedlichen Konvergenzverhalten kommen. Stark auf Druck beanspruchte Bauteile konvergieren in der Regel etwas langsamer. Da die aktuellen Abweichungen ε1 und ε2 während der Berechnung ständig gezeigt werden, kann auf einfache Art und Weise entschieden werden, ob eine Erhöhung der Iterationszahl (langsame, aber stete Konvergenz) sinnvoll ist.

Erhöhung der Anzahl an Laststufen ggf. trilinear

Im ersten Lastschritt wird als Ausgangsgröße die linear-elastische Steifigkeit verwendet. Damit kann sich bei Berechnung mit nur einem Lastschritt im ersten Iterationszyklus eine sehr große Steifigkeitsdifferenz ergeben, welche die Konvergenz behindert. In diesem Fall kann es zweckmäßig sein, die Last schrittweise aufzubringen.

Verringerung des Dämpfungsfaktors

Durch eine gezielte Verminderung der Steifigkeitssprünge zwischen zwei Iterationsschritten kann dem Oszillieren der Berechnung entgegengewirkt werden. Bei zwei aufeinander folgenden Iterationsschritten wird der Steifigkeitsunterschied an einem Knoten ermittelt. Der Dämpfungsfaktor charakterisiert den Anteil der Steifigkeitsdifferenz, der für die neu angesetzte Steifigkeit des nächsten Iterationsschrittes berücksichtigt wird:

E · Ii,gedämpft = E · Ii-1 · 1 - Dämpfungsfaktor + E · Ii · Dämpfungsfaktor 

Das bedeutet: Je größer der Dämpfungsfaktor, umso geringer ist der Einfluss der Dämpfung. Bei einem Faktor von 1 übt die Dämpfung keinen Einfluss auf die iterative Berechnung aus.