RF-BETON Stäbe Version 5

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9.2.6.3 Zustand II

Zustand II

Querschnittswerte im Zustand II

Die Querschnittswerte im Zustand II lassen sich im Gegensatz zu den Querschnittswerten im ungerissenen Zustand nur mühsam per Hand berechnen. Es bereitet bereits ein Problem, die Dehnungsverteilung (allgemeiner Fall: ε0 + (1/r)y ⋅ y + (1/r)z ⋅ z) für eine bestimmte Einwirkungskonstellation mit den in den Normen festgelegten Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für nichtlineare Verfahren zu ermitteln. Für weitere Studien wird auf entsprechende Literatur [7] verwiesen.

Stahlspannung σsrII und Stahldehnung εsrII für Rissmoment

Um die Spannungen und Dehnungen bei Rissbildung zu ermitteln, kann im Regelfall von vereinfachten Annahmen (linear elastischem Werkstoffgesetzen) ausgegangen werden. Zu begründen ist dies damit, dass sich das Verhältnis von Spannung zu Dehnung beim Beton bis zu einer Spannung σc ≅ 0.4 ⋅ fc näherungsweise linear verhält. Für den Betonstahl kann dies ohnehin bis zum Erreichen der Fließgrenze annähernd vorausgesetzt werden. Liegt also ein Bauteil mit einem Rissmoment im Gebrauchslastniveau vor, können Spannungen und Dehnungen ausreichend genau mit diesen vereinfachten Ansätzen berechnet werden.

Ohne Wirken einer Normalkraft führt die Lösung bei dreieckförmiger Druckzone auf eine quadratische Gleichung (mit Normalkraft: kubische Gleichung) zur Berechnung der Druckzonenhöhe x. Durch die angenommene Linearität der Spannungen und Dehnungen ergibt sich eine Entkopplung der Druckzonenhöhe von dem angreifenden Moment.

Bild 9.24 Beziehungen zur Berechnung der Spannungen und Dehnungen für Gebrauchslasten
Berechnung der Druckzonenhöhe xII

ρ = As1b · d = 6.22 cm2100 · 13.5 cm2 = 0.004607 

ξ = -αe · ρ · 1 + As2As1 + αe · ρ · 1 + As2As1'' + 2 · αe · ρ · 1 + As2 · d2As1 · d  =    = - 26.33 · 0.004607 · 1 + 1 +          +26.33 · 0.004607 · 1 + 1'' + 2 · 26.33 · 0.004607 · 1 + 1 · 2.51 · 13.5  =    = 0.3459  

xII = ξ · d = 0.346 · 13.5 = 4.67 cm4 

Trägheitsmoment

κ = 4 · ξ3 + 12 · αe · ρ · 1 - ξ2 + 12 · αe ·ρ · As2As1 · ξ - d222 =    = 4 · 0.3463 + 12 · 26.33 · 0.00460 · 1 - 0.3462 + 12 · 26.33 · 0.00460 · 1 ·0.346 - 2.513.52 =    = 0.826

Ic,II = κ · b · d312 = 0.826 · 100 · 13.5312 = 16 935 cm4  

Spannungen für Rissschnittgrößen

σcr,II = MIy,II · x = 121016935 · 4.67 · 10 = 3.34 N/mm2   

σsr1,II = αe · MIy,II · d - x = 26.33 · 121016935 · 13.5 - 4.7 · 10 = 166.12 N/mm2  

σsr2,II = σsr1,II · x - d2d - x = 166.12 · 4.67 - 2.513.5 - 4.67 = 40.82 N/mm2 

Stahldehnung für Rissschnittgrößen

εsr1,II = σsr1,IIEs = 166.012200 000 · 1 000 = 0.8306 

Stahlspannung und Betonspannung für vorhandenes Moment

Eine vereinfachte Berechnung der Spannungen und Dehnungen wie für das Rissmoment kann nicht bedenkenlos angewandt werden. Die Ermittlung der Spannungen und Dehnungen für das tatsächliche Moment M = 17.64 kNm, mit denen dann die Krümmungen und Steifigkeiten berechnet werden können, erfolgt in der Vergleichsrechnung mit den genauen Spannungs-Dehnungs-Linien für Beton und Betonstahl nach EN 1992-1-1, Bild 3.2 bzw. 3.3.

Bild 9.25 Beziehungen zur Berechnung der Spannungen und Dehnungen für Gebrauchslasten nach [1]

Die genaue Berechnung der Spannungen im Zustand II erfolgt mithilfe einer Drittanwendung zur genauen Spannungsintegration. Für M = 17.64 kNm liefert sie folgende Ergebnisse:

  • σs1,II = 242.27 N/mm2
  • σs2,II = −59.07 N/mm2
  • εs1,II = 1.211 ‰
  • εs2,II = −0.638 ‰
  • εc,II = −0.6378 ‰
Ergebnisse von RF-BETON Stäbe
Bild 9.26 Detailergebnisse für Zustand II
Literatur
[1] EN 1992-1-1: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2004
[7] Deutscher Ausschuss für Stahlbetonbau (Hrsg.) Heft 415 – Programmgesteuerte Berechnung beliebiger Massivbauquerschnitte unter zweiachsiger Biegung mit Längskraft. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 1990.

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