RF-/STAHL EC3 Version 5/8

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RF-/STAHL EC3 Version 5/8

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8.1 Stabilität

Für eine Stütze mit Doppelbiegung werden Stabilitätsuntersuchungen für Biegeknicken und Biegedrillknicken mit den Interaktionsbedingungen geführt.

Bemessungswerte
System und Belastung
Tabelle 8.0 System und Bemessungslasten (γ-fach)
Bild 8.1

Bemessungswerte der statischen Lasten

Nd = 300 kN
qz,d = 5 kN/m
Fy,d = 7,5 kN

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung
Bild 8.2 Schnittgrößen
Nachweisstelle (maßgebende x-Stelle)

Der Nachweis wird für alle x-Stellen (siehe Kapitel 4.5) des Ersatzstabes geführt. Die maßgebende Stelle liegt bei x = 2,00 m. RFEM bzw. RSTAB ermittelt folgende Schnittgrößen:

Tabelle 8.1 Schnittgrößen
N My Mz Vy Vz

-300,00 kN

10,00 kNm

7,50 kNm

3,75 kN

0,00 kN

Querschnittswerte HE-B 160, S 235
Tabelle 8.2 Querschnittswerte HE-B 160, S 235
Querschnittsgröße Symbol Wert Einheit

Querschnittsfläche

A

54.30

cm²

Trägheitsmoment

Iy

2490.00

cm4

Trägheitsmoment

Iz

889.00 

cm4

Trägheitsradius

iy

6.78

cm

Trägheitsradius

iz

4.05

cm

Polarer Trägheitsradius

ip

7.90

cm

Polarer Trägheitsradius

ip,M

41.90

cm

Querschnittsgewicht

G

42.63

kg/m

Torsionsträgheitsmoment

IT

31.40

cm4

Wölbwiderstand

Iω

47940.00

cm6

Widerstandsmoment

Wy

311.00

cm3

Widerstandsmoment

Wz

111.00

cm3

Plastisches Widerstandsmoment

Wpl,y

354.00

cm3

Plastisches Widerstandsmoment

Wpl,z

169.96

cm3

Knicklinie

KLy

b

Knicklinie

KLz

c

Biegeknicken um schwache Achse (⊥ zur z-z Achse)

Ncr,z=21000·889.00·π2400.002=1151.60 kN 

λ¯z=A·fyNcr,z=54.30·23.51151.60=1.053>0.2 

→ Nachweis Biegeknicken muss geführt werden

Profilgeometrie: h/b = 1.00 ≤ 1.2; Baustahl S 235; t ≤ 100 mm

  • [1] Tabelle 6.2, Zeile 3, Spalte 4: Knicklinie c
  • ⇒ αz = 0.49   ([1] Tabelle 6.1)

Φ=0.5·[1+0.49·(1.053-0.2)+1.0532]=1.263 

χz=11.263+1.2632-1.0532=0.510 

NEdχz·A·fy/γM1=3000.510·54.30·23.5/1.0=0.461 

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
Tabelle 8.3 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Iz

889.00

cm4

Effektive Stablänge

Lcr,z

4.000

m

Ideale Verzweigungslast

Ncr,z

1151.60

kN

Schlankheitsgrad

λz

1.053

> 0.2

6.3.1.2(4)

Knicklinie

KLz

c

Tab. 6.2

Imperfektions­­beiwert

αz

 0.490

Tab. 6.1

Hilfsbeiwert

Φz

 1.263

6.3.1.2(1)

Abminderungs­­beiwert

χz

0.510

Gl. (6.49)

Biegeknicken um starke Achse (⊥ zur y-y Achse)

Ncr,y=21000·2490.00·π2400.002=3225.51 kN 

λ¯y=A·fyNcr,y=54.30·23.53225.51=0.629>0.2 

→ Nachweis Biegeknicken muss geführt werden

Profilgeometrie:  h/b = 1.00 ≤ 1.2;  Baustahl S 235;  t ≤ 100 mm

  • [1] Tabelle 6.2, Zeile 3, Spalte 4: Knicklinie b
  • ⇒ αy = 0.34   ([1] Tabelle 6.1)

Φ=0.5·[1+0.34·(0.629-0.2)+0.6292]=0.771 

χy=10.771+0.7712-0.6292=0.822 

NEdχy·A·fy/γM1=3000.822·54.30·23.5/1.0=0.286 

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
Tabelle 8.4 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Flächenträgheits­moment

Iy

2490.00

cm4

Effektive Stablänge

Lcr,y

4.000

m

Ideale Verzweigungslast

Ncr,y

3225.51

kN

Querschnittsfläche

A

54.30

cm2

Streckgrenze

fy

23.50

kN/cm2

3.2.1

Schlankheitsgrad

λy

0.629

> 0.2

6.3.1.2(4)

Knicklinie

KLy

b

Tab. 6.2

Imperfektions­beiwert

αy

0.340

Tab. 6.1

Hilfsbeiwert

Φy

0.771

6.3.1.2(1)

Abminderungs­beiwert

χy

0.822

Gl. (6.49)

Biegedrillknicken
Ideales Biegedrillknickmoment

Für dieses Beispiel wird das ideale Biegedrillknickmoment nach dem Nationalen Anhang Österreichs bestimmt. Dabei wird eine gelenkige und wölbfreie Lagerung vorausgesetzt.

Der Lastangriffspunkt wird im Schubmittelpunkt angenommen (der Ansatzpunkt für Querlasten kann im Dialog Details angepasst werden, vgl. Kapitel 3.1.2).

Mcr=C1·π2·E·Izl2·IωIz+l2·G·Itπ2·E·Iz 

Mcr=1.13·π2·21000·8894002·47940889+4002·8100·31.40π2·21000·889=215.71 kNm 

Das Programm gibt auch Mcr,0 aus, welches sich für einen konstanten Momentenverlauf ermittelt.

Bei den x-stellenweisen Ergebnissen werden auch die Werte Mcr,x ausgegeben. Hier handelt es sich um die idealen Biegedrillknickmomente an den x-Stellen, die auf das ideale Biegedrillknickmoment an der Stelle des maximalen Moments bezogen sind. Mit Mcr,x wird dann der bezogene Schlankheitsgrad ƛLT berechnet.

Schlankheitsgrad für Biegedrillknicken

Berechnung nach [1] Abschnitt 6.3.2.2 für Stelle des maximalen Moments bei x = 2.00 m:

HEB-160, Querschnittsklasse 1: Wy = Wpl,y = 354.00 cm3

λ¯LT=Wy·fyMcr=354·23.5215.71=0.621 

Abminderungsfaktor χLT

Berechnung gemäß [1] Abschnitt 6.3.2.3

HEB-160: h/b = 1.0 < 2.0 ⇒ Knicklinie b nach [1] Tabelle 6.5

  • Hilfsbeiwert:

ΦLT=0.5·1+αLT·λ¯LT-λ¯LT,0+β·λ¯LT2 

ΦLT=0.5·1+0.34·0.621-0.40+0.75·0.6212=0.682 

Grenzschlankheitsgrad:

λLT,0=0.40 

Parameter (Mindestwert):

β=0.75 

Imperfektionsbeiwert gemäß [1] Tabelle 6.3:

αLT=0.34 

χLT=1ΦLT+ΦLT2-β·λ¯LT2=10.682+0.6822-0.75·0.6212=0.908 

Nach [1] Abschnitt 6.3.2.3 darf der Abminderungsfaktor wie folgt modifiziert werden:

χLT,mod=χLTf   mit  f=1-0.5·1-kc·1-2.0·λ¯LT-0.82 

χLT,mod=0.9080.972=0.934 

Korrekturbeiwert kc nach [1] Tabelle 6.6 für parabelförmige Momentenverteilung: 

kc=0.94 

f=1-0.5·(1-0.94)·[1-2.0·(0.621-0.8)2]=0.972 

Interaktionsbeiwerte kyy und kyz

Ermittlung gemäß [4], Anhang B, Tabelle B2 für verdrehweiche Bauteile

Der äquivalente Momentenbeiwert CmLT ergibt sich gemäß Tabelle B3 für ψ = 0 zu:

Cmy=CmLT=0.95+0.05·αh=0.95  mit  αh=MhMs=010=0

kyy=Cmy·(1+(λ¯y-0.2)·NEdχy·NRk/γM1)Cmy·(1+0.8·NEdχy·NRk/γM1) 

kyy=0.95·(1+(0.629-0.2)·0.286)0.95·(1+0.8·0.286)=1.0671.167 

kyz=0.60·kzz=0.60·1.481=0.888 

Interaktionsbeiwerte kzy und kzz

Ermittlung gemäß [1] Anhang B, Tabelle B2 für verdrehweiche Bauteile

Der äquivalente Momentenbeiwert CmLT ergibt sich gemäß Tabelle B3 für ψ = 0 zu:

Cmz=0.90+0.01·αh=0.90  mit  αh=MhMs=010=0 

kzy=(1-0.1·λ¯zCmLT-0.25·NEdχz·NRk/γM1)(1-0.1CmLT-0.25·NEdχz·NRk/γM1) 

kzy=(1-0.1·1.0530.95-0.25·0.461)(1-0.10.95-0.25·0.461)=0.8920.934 

kzy=0.934 

kzz=Cmz·(1+(2·λ¯z-0.6)·NEdχz·NRk/γM1)Cmz·(1+1.4·NEdχz·NRk/γM1) 

kzz=0.90·(1+(2·1.053-0.6)·0.461)0.90·(1+1.4·0.461)=1.5251.481 

kzz=1.481 

Interaktionsnachweis für Knicken um starke Achse und Biegedrillknicken

Nach [1] Gl. (6.61) muss folgende Anforderung erfüllt sein:

NEdχy·NRk/γM1+kyy·My,EdχLT·My,Rk/γM1+kyz·Mz,EdMz,Rk/γM11 

mit

My,Rk=Wpl,y·fy=354·23.5=8319 kNcm=83.19 kNm 

Mz,Rk=Wpl,z·fy=169.96·23.5=3994.1 kNcm=39.94 kNm 

3000.822·1276.05/1.0+1.067·10.00.908·83.19/1.0+0.888·7.5039.94/1.0=0.5941 

Interaktionsnachweis für Knicken um schwache Achse und Biegedrillknicken

Nach [1] Gl. (6.62) muss folgende Anforderung erfüllt sein:

NEdχz·NRk/γM1+kzy·My,EdχLT·My,Rk/γM1+kzz·Mz,EdMz,Rk/γM11 

3000.510·1276.05/1.0+0.934·10.00.908·83.19/1.0+1.481·7.5039.94/1.0=0.8631

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
Tabelle 8.5 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Profilhöhe

h

160.0

mm

Profilbreite

b

160.0

mm

Kriterium

h/b

1.00

≤ 2

Tab. 6.5

Knicklinie

KLLT

b

Tab. 6.5

Imperfektions­beiwert

αLT

0.340

Tab. 6.3

Schubmodul

G

8100.00

kN/cm3

Längenbeiwert

kz

1.000

Längenbeiwert

kw

1.000

Länge

L

4.000

m

Wölbwiderstand

Iw

47940.00

cm6

Torsionsträgheits­moment

It

31.40

cm4

Ideales Biegedrillknick­moment für Ermittlung des bezogenen Schlankheits­grades

Mcr,0

190.90

kNm

Momentenverlauf

Diagr My

6) Parabel

Maximales Feldmoment

My,max

10.00

kNm

Randmoment

My,A

0.00

kNm

Momenten­verhältnis

ψ

0.000

Momentenbeiwert

C1

1.130

[2]

Ideales Biegedrillknick­moment

Mcr

215.71

kNm

Widerstands­moment

Wy

354.00

cm3

Schlankheitsgrad

λLT

0.621

6.3.2.2(1)

Parameter

λLT,0

0.400

6.3.2.3(1)

Parameter

β

0.750

6.3.2.3(1)

Hilfsbeiwert

φLT

0.682

6.3.2.3(1)

Abminderungs­beiwert

χLT

0.908

Gl. (6.57)

Korrekturbeiwert

kc

0.940

6.3.2.3(2)

Modifikations­faktor

f

0.972

6.3.2.3(2)

Abminderungs­beiwert

χLT,mod

0.934

Gl. (6.58)

Momentenverlauf

Diagr My

3) Max im Feld

Tab. B.3

Momentenfaktor

ψy

1.000

Tab. B.3

Moment

Mh,y

0.00

kNm

Tab. B.3

Moment

Ms,y

10.00

kNm

Tab. B.3

Verhältnis Mh,y / Ms,y

αh,y

0.000

Tab. B.3

Lasttyp

Last z

Gleichlast

Tab. B.3

Momentenbeiwert

Cmy

0.950

Tab. B.3

Momentenverlauf

Diagr Mz

3) Max im Feld

Tab. B.3

Momentenfaktor

ψz

1.000

Tab. B.3

Moment

Mh,z

0.00

kNm

Tab. B.3

Moment

Ms,z

7.50

kNm

Tab. B.3

Verhältnis­ Mh,z / Ms,z

αh,z

0.000

Tab. B.3

Lasttyp

Last y

Einzellast

Tab. B.3

Momentenbeiwert

Cmz

0.900

Tab. B.3

Momentenverlauf

Diagr My,LT

3) Max im Feld

Tab. B.3

Momentenfaktor

ψy,LT

1.000

Tab. B.3

Moment

Mh,y,LT

0.00

kNm

Tab. B.3

Moment

Ms,y,LT

10.00

kNm

Tab. B.3

Verhältnis­ Mh,y,LT / Ms,y,LT

αh,y,LT

0.000

Tab. B.3

Lasttyp

Last z

Gleichlast

Tab. B.3

Momentenbeiwert

CmLT

0.950

Tab. B.3

Bauteiltyp

Bauteil

verdreh- weich

Interaktionsbeiwert

kyy

1.067

Tab. B.2

Interaktionsbeiwert

kyz

0.888

Tab. A.1

Interaktionsbeiwert

kzy

0.934

Tab. A.1

Interaktionsbeiwert

kzz

1.481

Tab. A.1

Normalkraft (Druck)

NEd

300.00

kN

Maßgebende
Querschnittsfläche

Ai

54.30

cm2

Tab. 6.7

Druck­beanspruchbarkeit

NRk

1276.05

kN

Tab. 6.7

Teilsicherheits­beiwert

γM1

1.000

6.1

Nachweis­komponente für N

γNy

0.29

≤ 1

Gl. (6.61)

Nachweis­komponente für N

hNz

0.46

≤ 1

Gl. (6.62)

Moment

My,Ed

10.00

kNm

Momenten­beanspruchbarkeit

My,Rk

83.19

kNm

Tab. 6.7

Momenten­komponente

ηMy

0.13

Gl. (6.61)

Moment

Mz,Ed

7.50

kNm

Widerstands­moment

WZ

169.96

cm3

Momenten­beanspruchbarkeit

Mz,Rk

39.94

kNm

Tab. 6.7

Momenten­komponente

ηMz

0.19

Gl. (6.61)

Nachweis 1

η1

0.59

≤ 1

Gl. (6.61)

Nachweis 2

η2

0.86

≤ 1

Gl. (6.62)

Literatur
[1] Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; EN 1993-1-1:2010-12
[4] Johannes Naumes, Isabell Strohmann, Dieter Ungermann und Gerhard Sedlacek. Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau nach Eurocode 3. Stahlbau, 77, 2008.