RFEM 5 Version 5

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4.9 Flächenlager

Theoretischer Hintergrund

Eine Flächenbettung drückt die elastische Lagerung aller 2D-Elemente einer Fläche aus.

Das Winklersche Bettungsmodell nimmt den Baugrund als ideelle dicke Flüssigkeit an, auf der die Platte gleichsam schwimmt. Die großen Unterschiede der E-Moduln von Beton und (linearisiertem) Boden, die typischerweise 1000:1 und mehr betragen, rechtfertigen diese Annahme. In einer Gleichung ausgedrückt lautet sie:

pz=Czwz 

Sie setzt in jedem Punkt die Kontaktpressung pz mit der Verschiebung wz über die Bettungszahl Cz in Beziehung. Diese Annahme impliziert jedoch, dass sich jeder Punkt unabhängig von den anderen Punkten des Grundrisses verschiebt. Für die Verformung einer Fläche spielt damit der umliegende Baugrund keine Rolle (Bild 4.106 a).

Bild 4.106 Zusammenhang zwischen Verformungsbild und Bandbreite der Steifigkeitsmatrix

Dieses rudimentäre Bettungsmodell ist den heutigen Anforderungen nicht mehr gewachsen.

Eine Weiterentwicklung beruht auf dem so genannten Steifemodulverfahren: Der Baugrund wird als ein elastischer Halbraum aufgefasst, dessen Punkte in mathematisch-mechanischer Interaktion stehen. Es entsteht eine „unendlich“ ausgedehnte Senkmulde, die den Einfluss der weiter entfernten Bodenbereiche abklingen lässt. Der Vorteil dieses mechanisch besseren Baugrundmodells wird jedoch durch numerische Nachteile in Form einer erheblich größeren Systemmatrix wieder aufgehoben (Bild 4.106 b).

Das Verfahren des Effektiven Baugrundes nach Kolar/Nemec vereint die Vorteile der beiden beschriebenen Modelle, ohne dass die Nachteile in Kauf genommen werden müssen. Dieses Baugrundmodell baut auf der Idee von Pasternak [1] auf:

  • Für die Fläche im Kontakt mit dem Baugrund sind nur die mechanischen Eigenschaften des allgemein geschichteten und nichtlinear elastischen bzw. plastischen Halbraums in der Kontaktfuge von Bedeutung. Das dreidimensionale Bettungsproblem wird damit in die Kontaktfuge kondensiert, d. h. in ein 2D-Problem überführt.
  • Das Winklersche Modell führt diese 2D-Kondensation zwar durch (siehe Gleichung 4.13), jedoch energetisch defekt. Durch Einbeziehung eines zweiten Koeffizienten Cv für die Schubtragwirkung des Baugrundes wird die Zusammenwirkung des Baugrundes über den Plattenrand hinaus hergestellt. Es entsteht eine natürliche Senkmulde endlicher Ausdehnung, wie sie an realen Bauwerken gemessen werden kann.
  • Es entsteht ein zweiparametrisches System (Cu, Cv) wobei Cu,z in etwa der Winklerschen Bettungszahl gleichkommt und in praktischen Berechnungen auch angesetzt werden kann. Detailliert betrachtet ergibt sich ein System von fünf Einzelparametern: Cu,x, Cu,y, Cu,z, Cv,x und Cv,y.

Bild 4.106 c zeigt dieses Baugrundmodell im Vergleich. Numerisch ist das FE-Verfahren ebenso stabil wie das auf Winkler basierende Verfahren. Aus der Einbeziehung der Baugrundelemente im Bereich der Senkmulde resultiert allerdings eine größere Systemmatrix.

Auch das Baugrundmodell nach Kolar/Nemec wurde weiterentwickelt. Es hat sich gezeigt, dass durch geeignete Maßnahmen die Baugrundelemente aus dem System eliminiert werden können. Das Ergebnis ist das in RFEM implementierte Effektive Baugrundmodell, das in Bild 4.106 d symbolisch dargestellt ist. Damit wird der Nachteil der größeren Systemmatrix beseitigt. In [2] ist das Effektive Baugrundmodell ausführlich beschrieben.

Der umliegende Baugrund („Erdkeil“) wird aus dem Flächenmodell dadurch eliminiert, dass dessen Steifigkeit in eine elastische Randlinien- und Eckknotenlagerung umgerechnet wird.

Bild 4.107 Umrechnung des Erdkeils in eine Linien- und Eckknotenlagerung

In einer ersten Näherung errechnen sich die Federkonstanten k und K der Linien- und Eckknotenlagerung mit folgenden Gleichungen:

Federkonstante Linienlagerung:

k=Cu,z Cv, 

Federkonstante Eckknotenlagerung:

K=Cv,x+Cv,y4 

In Gleichung 4.14 ist der Cv-Parameter einzusetzen, der senkrecht zur Randlinie wirkt.

Die Gleichung 4.15 gilt für Ecken mit dem Winkel α = 90° (andere Winkelgrößen siehe [3]). Größere Winkel von α ergeben kleinere Werte von K; für α = 0° ist allerdings auch K = 0.

Die auf diese Weise ermittelten Federn sind im Modell als Linien- und Knotenlager zusätzlich zur elastischen Flächenbettung anzuordnen.

Bild 4.108 Dialog Neues Flächenlager
Bild 4.109 Tabelle 1.9 Flächenlager
An Flächen Nr.

Die Nummern der gelagerten Flächen sind in diese Spalte bzw. dieses Eingabefeld einzutragen oder grafisch zu bestimmen.

Federkonstanten mit RF-SOILIN

Jeder Baugrund besitzt mehr oder weniger ausgeprägte nichtlinear elastische bis plastische Eigenschaften. Die Bettungskennwerte lassen sich bequem mit dem Zusatzmodul RF-SOILIN ermitteln. Dieses Programm führt Setzungsberechnungen durch, die auf Lasteinwirkungen und den Ergebnissen von Probebohrungen basieren und ermittelt die Federkoeffizienten in jedem finiten Element. Dabei können unterschiedliche Bodenaufbauten an mehreren Messstellen berücksichtigt werden.

Falls diese Option aktiviert wird und keine Ergebnisse aus RF-SOILIN vorliegen, so werden vor der eigentlichen RFEM-Berechnung die Bettungskennwerte ermittelt.

Stützung bzw. Feder Cu,x / Cu,y / Cu,z

Die Richtungen der Lager oder Federn beziehen sich auf die lokalen Flächenachsen x, y und z. Diese können über den Zeigen-Navigator oder das Kontextmenü einer Fläche eingeblendet werden (siehe Bild 4.75).

Die Federsteifigkeiten sind als Design-Werte einzugeben.

Wirkt die Lagerung senkrecht zur Fläche, ist das Lager bzw. die Federkonstante in das Eingabefeld Cu,z einzutragen. Dieser Parameter ist der Winklerschen Bettungszahl Cz praktisch gleich. Er kann einem Baugrundgutachten entnommen werden.

Die Parameter Cu,x und Cu,y repräsentieren die Wegfedern, die den Widerstand der Bettung gegen die Verschiebung in die Flächenrichtungen x bzw. y beschreiben. Bei einer Bodenplatte wird damit der (auflastunabhängige) Widerstand in die horizontalen Richtungen definiert.

In der Grafik werden die Federn stets in Richtung der positiven Flächenachse z angetragen. Sollten die Federsymbole auf der „falschen“ Flächenseite liegen, kann die Ausrichtung der lokalen z-Achse schnell geändert werden: Klicken Sie die Fläche mit der rechten Maustaste an und wählen im Kontextmenü Lokales Achsensystem umkehren. Diese Möglichkeit steht nur bei 3D-Modellen zur Verfügung, nicht bei eben angelegten Modellen. Beim Ändern ist ggf. zu beachten, dass das Ausfallkriterium auch die Wirkrichtung wechselt.

Feste Lagerungen ermöglichen es, z. B. bei symmetrischen Volumenmodellen nur einen Teil des Modells abzubilden. Auf diese Weise kann die Rechenzeit deutlich verkürzt werden.

Schubfeder Cv,xz / Cv,yz

Eine Eingabe in diesen Feldern bewirkt, dass die Schubtragfähigkeit des Baugrundes in Richtung der Flächenachsen x bzw. y berücksichtigt wird. Die Pasternaksche Konstante Cv liegt in den meisten Fällen zwischen 0,1⋅Cu,z (geringe Schubtragwirkung) und 0,5⋅Cu,z (mittlere Schubtragwirkung). In der Regel kann Cv,xz = Cv,yz angesetzt werden.

Ist das Lager uz unverschieblich, so sind die zugehörigen Schubglieder für die Steifigkeitsmatrix automatisch aktiviert.

Kolar [3] gibt eine Tabelle mit Orientierungswerten für unterschiedliche Böden an. Diese Angaben können jedoch die Werte eines Bodengutachtens oder eine Berechnung mit RF-SOILIN nicht ersetzen!

Tabelle 4.5 Orientierungswerte für Cu,z und Cv
Bodenkonsistenz Bettung Cu,z Schubtragwirkung
Cv keine
Cv mittel Cv groß

kN/m3

kN/m

kN/m

kN/m

sehr weich

1 000

0

500

1 000

mitteldicht

10 000

0

5 000

10 000

dicht

100 000

0

50 000

100 000

Im Dialog Neues Flächenlager (siehe Bild 4.108) liegen verschiedene Lagertypen in Form von Schaltflächen vor, die die Definition der Freiheitsgrade erleichtern.

Bild 4.110 Schaltflächen im Dialog Neues Flächenlager

Die Schaltflächen sind mit folgenden Lagereigenschaften belegt:

Tabelle 4.6 Schaltflächen Flächenlager
Schaltfläche Lagertyp

Fest

Verschieblich in x und y

Verschieblich in x

Verschieblich in y

Verschieblich in z

Frei

Nichtlinearität

Die Lagerung kann für positive oder negative Kontaktspannungen ausgeschlossen werden, die in Richtung der Verschiebung uZ auftreten: Die Bettung fällt z. B. bei abhebenden Kräften aus. Die Vorgabe erfolgt über die Liste im Dialog oder der Tabelle (siehe Bild 4.109).

Positiv bzw. negativ sind auf die Spannungen bezogen, die in Richtung bzw. entgegengesetzt zur lokalen Flächenachse z wirken: Positive Kontaktspannungen entstehen, wenn eine Bodenplatte bei nach unten gerichteter globaler Z- und lokaler z-Achse durch Eigengewicht belastet wird. Mit einer nach oben orientierten Flächenachse z wäre die Kontaktspannung negativ.

Die Anzeigemöglichkeit für die Flächenachsen ist im Bild 4.75 dargestellt.

Nichtlineare Flächenlager werden in der Grafik und der Tabelle andersfarbig gekennzeichnet.

Über die Dialog-Schaltfläche [Bearbeiten] (siehe Bild 4.108) lassen sich spezifische Nichtlinearitäten wie Fließen (Begrenzung der Kontaktspannung) und Reibung definieren.

Bild 4.111 Dialog Flächenlager bearbeiten

Bei einer Nichtlinearität berechnet RFEM die Verformungen und Spannungen in mehreren Iterationen. Dabei wird untersucht, welche finiten Elemente spannungslos werden, wenn die Bettung wegen des Ausfalls nicht mehr wirkt.

Bei Ergebniskombinationen mit nichtlinear wirkenden Lagern besteht die Gefahr, dass Ergebnisse mit örtlich unterschiedlichem Lagerausfall kombiniert werden. In diesen Fällen empfiehlt es sich, Lastkombinationen zu verwenden (siehe Beispiel im Bild 5.28).

Literatur
[1] P. L. Pasternak. Grundlagen einer neuen Methode der Berechnung von Fundamenten mittels zwei Bettungskoeffizienten. Gosudarstvennoe Izdatelstvo Literaturi po Stroitelstvu I Arkhitekture, Moskau, 1954. Russisch.
[2] Vladimír Kolář and Ivan Němec. Modeling of Soil-Structure Interaction. Elsevier Science Publishers with Academica Prague, Amsterdam, 2. Auflage, 1989.
[3] Vladimír Kolář et al. Kurs für Statiker von Gründungsbauwerken und Erdkörpern. Haus der Technik, Ostrau, 1983. Tschechisch.