Formfindung und Zuschnitt von Membrantragwerken

Fachbeitrag

Für den Entwurf der Membrankonstruktionen ist ein spezifisches Verfahren notwendig, welches im Unterschied zu den meisten konventionellen Tragwerken beachtet werden muss. Die Suche nach geeigneten vorgespannten Formen und die Erstellung von Schnittmustern sind zu einem unerläßlichen Teil der Planung von Membrantragwerken geworden. Der Beitrag wird nun im Folgenden die zwei Hauptprozesse der Planung von Membrankonstruktionen kurz behandeln. Er hat zum Ziel, die physikalischen Eigenschaften der Membrantragwerke näher zu erläutern und die einzelnen Thesen an Beispielen zu verdeutlichen.

Die Membrantragwerke gehören zu den heutigen Trends im Bauwesen. Sie zeichnen sich durch ihre Leichtigkeit, beeindruckende Formensprache und effektive Materialausnutzung aus. Infolge ihrer Nullbiegesteifigkeit kann man die Form einer Membrankonstruktion nicht von der Vorspannung trennen. Die Formen sind nicht frei wählbar, sondern sie müssen gefunden werden. Diese formvielfältigen Strukturen werden aus Gewebe- oder Folienrollen gefertigt. Aus ebenen Materialstreifen werden die Schnittmuster gebildet. Indem man die Schnittmuster verbindet und in die finale Lage einspannt, erreicht man die vorgesehene Konstruktion. Die Zuschnittsermittlung stellt einen empfindlichen Schritt des Planungsprozesses dar. Ihre Qualität beeinflusst stark die Qualität der ganzen Struktur. Der Beitrag wird sich genau mit den zwei Hauptprozessen - mit der Formbestimmung von Membrantragwerken und mit der Ermittlung von Schnittmustern befassen, wobei vor allem auf die praktische Anwendbarkeit hingewiesen wird.

Formfindung von Membrankonstruktionen

In diesem Kapitel werden zuerst die physikalischen Grundsätze der Formbestimmung von Membrankonstruktionen beschrieben und dann die Ausführbarkeit der vom Berechner geforderten Vorspannung behandelt. Nachfolgend wird der Text mit praktischen Beispielen ergänzt, die die Überlegungen und Thesen veranschaulichen sollen.

Die Planung von Membrantragwerken unterscheidet sich deutlich von der üblichen Praxis. Da die verwendeten Materialien praktisch nur eine Zugtragfähigkeit aufweisen, ist die Form nicht frei zu wählen. Man kann die Form nicht von der Vorspannung trennen. In diesem Fall sind ästhetische mit physikalischen Aspekten von Bauwerken grundsätzlich verbunden.

Die Form einer Membrankonstruktion wird durch die Randbedingungen und dem räumlichen Kräftegleichgewicht bestimmt. Der Formfindungsprozess kann mit der nachstehenden Gleichung (1) beschrieben werden. Die Gleichgewichtsform wird gefunden, wenn die virtuelle Arbeit Null ist (δW = 0), d. h. wenn die Summe der virtuellen Arbeit aus der geforderten Vorspannung σ und der virtuellen geleisteten Arbeit aus der äußeren Last p (Überdruck, Eigengewicht) gleich Null ist.

- δW = δWint - δWext = t ∙ Ω∫ σ : δêdΩ - Ω∫ p ∙ δudΩ = 0 (1)

In der oben angeführten Gleichung stellt t die Dicke des verwendeten Materials, δê die Änderung der Materialverformung und δu die Verformung über die Fläche der Struktur Ω dar.

Abgesehen von einigen theoretischen Problemen bei der Lösung der Thematik, besteht das Hauptproblem in der Übernahme der initialen Vorgabe der Vorspannung. Eine Umsetzung eines jeden beliebigen Vorspannungszustands ist jedoch generell ausgeschlossen. Die Membrantragwerke weisen normalerweise eine doppelte Krümmung auf (d. h. Gaußsche Krümmung ist ungleich Null), weswegen sie eine homogene orthotrope Vorspannung ausschließen. Theoretisch kann somit kaum ein Zustand auftreten, wo in jedem Punkt der Membran ein konkreter Vorspannungswert in Kett- und Schussrichtung vorliegt. Die einzige Ausnahme stellt die isotrope Vorspannung dar. Die kann man erreichen, wenn die Form unter gegebenen Randbedingungen physikalisch real ist.

Daraus folgt, dass auch nach der Vorspannung selbst gesucht wird. Der Formfindungsprozess hat somit zum Ziel, nicht nur eine unbekannte Form für eine vorgegebene Vorspannung zu finden, sondern eine Suche nach einer unbekannten Form für eine im Allgemeinen unbekannte Vorspannung. Diese Vorspannung wird durch einen vom Berechner vorgegebenen Wert für die Kett- und Schussrichtung angenähert. Für die Formfindung wurde eine Reihe von Methoden entwickelt. Wendet man verschiedene Programme für die Problemlösung an, kann man für dieselben Eingabedaten unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Dies führt natürlich zu der Frage, welches Ergebnis richtig ist. Im Folgenden werden einige Beispiele für verschiedene Strukturen und geforderte Vorspannungen aufgezeigt.

Bild 01 - Grundformen von Membrankonstruktionen [1]

Als erstes Beispiel soll ein hyperbolisches Paraboloid dienen (Bild 2 und Bild 3). Es werden sowohl eine isotrope als auch eine orthotrope Vorspannung angesetzt. Für die isotrope Vorspannung ergeben sich aus dem Formfindungsprozess zwei verschiedene Ergebnisse (Bild 4 und Bild 5), die auch kurz kommentiert werden. Für die isotrope Vorspannung ist ein Wert von nKette = nSchuss = 2.00 kN/m eingestellt. Für die Randseile ist ein relativer Seildurchhang s = 8.00 % definiert. Die Ergebnisse werden als Vektoren der Hauptschnittgrößen anhand einer Farbskala veranschaulicht.

Bild 02 - Membrankonstruktion in Form eines hyperbolischen Paraboloides

Bild 03 - FE-Netz und Anordnung der Kett- (rot) und Schussfäden (grün)

Bild 04 - Vektoren der Hauptschnittgrößen n1, n2

Erhält man zwei verschiedene Ergebnisse für dieselben Eingabedaten, stellt sich natürlich die Frage, welche Lösung die richtige ist. Theoretisch sind beide Lösungen richtig, denn beide haben einen Gleichgewichtszustand erzielt und beide sind auch realisierbar. Die rechts abgebildete Lösung weist jedoch eine ungleichmäßige Vorspannung aus, die sich auf Eckbereiche konzentriert. Derartige lokale Effekte sieht man als unerwünscht an, denn sie reduzieren die Tragfähigkeit der Struktur und haben ungleichmäßig wirkende rheologische Effekte zur Folge. Deswegen ist die links angezeigte Lösung mit der gleichmäßig verteilten Vorspannung vorteilhaft. Generell gilt als günstig, eine Form mit einer gleichmäßig verteilten und nicht lokal konzentrierten Vorspannung zu finden. Die Membrankonstruktion ist somit gut vorgespannt, und ihre Tragfähigkeit wird durch eine übermäßige Vorspannung in einigen Bereichen nicht reduziert.

Wie bereits erwähnt, ist eine isotrope Vorspannung die einzige homogene Vorspannung, die man exakt erreichen kann. Die erzielbare Genauigkeit wird praktisch nur durch die Größe des FE-Netzes limitiert. Bei einem grob eingestellten Netz kann ein Gleichgewichtszustand nicht so exakt angenähert werden und es folgt eine Abweichung von der anfänglichen Vorspannungsvorgabe. Solche Differenzen sollten jedoch in einem kleinen Bereich liegen, wobei ein gröberes Netz auch nicht unbedingt zu einer deutlich konzentrierten Vorspannung führen muss.

Für die andere Berechnung werden gleiche Randbedingungen angesetzt. Der Konstruktion wird nun eine orthotrope Vorspannung von nKette = 4.00 kN/m und nSchoss = 2.00 kN/m verliehen. Für die Randseile ist ein relativer Seildurchhang s = 8.00 % eingestellt. Wie erwähnt, kann keine exakte homogene orthotrope Vorspannung wegen der doppelten Krümmung der Membranflächen erreicht werden. Es kann jedoch eine Form mit einem angenäherten Vorspannungszustand, die den vorgegebenen Werten sehr nahe kommt (Bild 5), erzielt werden. Es ergibt sich eine gleichmäßig verteilte Vorspannung, die sich den Eingabewerten annähert. In diesem Fall gibt es keinen Grund für deutliche Spannungskonzentrationen.

Bild 05 - Vektoren der Hauptschnittgrößen n1, n2

Für die meisten Formen, zu denen zum Beispiel auch hyperbolische Paraboloide, bogengestützte oder pneumatische Membranen zählen (Bild 1), kann die resultierende Vorspannung ohne lokale Vorspannungskonzentrationen gleichmäßig verteilt werden. Bei hohen konischen Formen kann man Bereiche mit konzentrierter Vorspannung jedoch nicht vermeiden. Etwaige Konzentrationen treten unerläßlich am Scheitel des Kegels auf. In den unteren Ecken sind sie jedoch weder nötig noch gewünscht (Bild 6).

Bild 06 - Vektoren der Hauptschnittgrößen n1, n2 und Normalkraft N

Ob eine konzentrierte Vorspannung nötig ist, kann man anschaulich aus der folgenden Formel ableiten (2). Die Gleichung stellt ein Kräftegleichgewicht in einem Punkt dar, wobei n1 und n2 die Hauptschnittgrößen, 1/R1 und 1/R2 die Krümmungen in Richtung dieser Hauptschnittgrößen und p eine beliebige äußere Last sind.

n1 / R1 + n2 / R2 - p = 0 (2)

Bei einer antiklastischen Struktur, deren Eigengewicht die gefundene Form kaum beeinflusst, wird das Gleichgewicht der Kräfte in einem Knoten durch die Vorspannung und die gegensinnigen Krümmungen gegeben. Die Frage ist hier, wie stark sich die Krümmung ändert. Wenn eine große Änderung der Krümmung nötig ist, dann entspricht die die örtlich konzentrierte Vorspannung dem natürlichen Vorspannungszustand der Struktur. Anderenfalls ist keine Konzentration der Vorspannung in der Konstruktion nötig. Diese Methode kann man auf die gegebenen Beispiele anwenden. Die Formen ohne konische Bereiche (Bild 4, Bild 5, Bild 8 und Bild 10 außer konischen Bereichen) benötigen keine großen Änderungen der Krümmung, weswegen sie gleichmäßig vorgespannt werden können. Konische Bereiche weisen große Änderungen der radialen und tangentialen Krümmungen auf und daher ist eine erhöhte Vorspannung unvermeidlich (Bild 6 und konische Bereiche im Bild 10).

Bild 07 - bogengestützte Membran

Bild 08 - Vektoren der Hauptschnittgrößen n1, n2 für die Abbildung der gleichmäßigen isotropen Vorspannung

Bild 09 - Membrankonstruktion

Bild 10 - Vektoren der Hauptschnittgrößen n1, n2

Am Ende dieses Kapitels werden zwei komplexere Strukturen (Bild 7 und Bild 9) und ihre Vorspannungen (Bild 8 und Bild 10) aufgezeigt. Um möglichst genaue Ergebnisse im Formfindungsprozess sowie auch in der statischen Analyse zu erzielen, ist die Struktur als ein Ganzes und nicht in Teile getrennt zu simulieren. Damit werden ein Zusammenspiel aller Teile der Struktur wie auch die Kräfteumlagerung infolge der Verformungen berücksichtigt.

Zuschnitt von Membrankonstruktionen

Im Folgenden wird der Prozess der Zuschnittsermittlung erläutert. Es werden einzelne Schritte des Prozesses beschrieben, und im Nachgang ein praktisches Beispiel zur Darstellung der Auswirkung von Materialkennwerten auf die Schnittmuster vorgestellt.

Wie erwähnt, stellt die doppelte Krümmung eine der typischen Merkmale der Membrantragwerke dar. Folglich ist ihre Form nicht einfach in die Ebene abwickelbar. Die Membranen werden jedoch aus Rollen von ebenen Geweben gefertigt. Dafür muss ein Zuschnitt, d. h. einzelne ebene Schnittmuster generiert werden, die sich ihren entsprechenden Formen im Raum annähern. Der Prozess der Schnittmustererstellung besteht dabei aus zwei Schritten. Zuerst wird die Membrankonstruktion mittels Schnittlinien in einzelne räumliche Zuschnittmuster aufgeteilt, und anschließend wird die bestmögliche Annäherung ebener Schnittmuster an die räumliche Form gefunden.

Eine Membrankonstruktion kann theoretisch über beliebige Schnittlinie in Teilstreifen zerlegt werden. Aus praktischen Gründen werden meistens geodätische Schnittlinien (Bild 11 links) aufgrund der geraden Achse der Schnittlinie nach der Verebnung verwendet (Bild 12 links). Weniger oft kommen Ebenenschnitte zur Anwendung (Bild 11 rechts), die nach der Verebnung nicht gerade sind (Bild 12 rechts). Dies hat einen erhöhten Materialanspruch zur Folge.

Bild 11 - über geodätische Schnittlinien (links) und über Ebenenschnitte (rechts) aufgeteiltes hyperbolisches Paraboloid

Bild 12 - mittels geodätischer Schnittlinien (links) und Ebenenschnitte (rechts) erstellte Schnittmuster

Der zweite Schritt der Schnittmustererstellung ist viel komplexer. Hier wird die bestmögliche Annäherung eines ebenen Schnittmusters an das entsprechende räumliche Schnittmuster gesucht. Für diesen Prozess wurde eine Reihe von Methoden entwickelt, von denen die historisch ältesten ein vereinfachtes geometrisches Verfahren und die neueren ein fortgeschrittenes mathematisches Mapping verwenden. Die aktuellen Methoden sind kontinuumsmechanisch begründet, wobei für die Schnittmusterermittlung eine nichtlineare Analyse unter Verwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) durchgeführt wird.

Die letztgenannte Methode gilt als die generellste Lösung für ein Näherungsproblem und ermöglicht, die Materialkennwerte des verwendeten Gewebes oder der Folie zu berücksichtigen. Will man weder orthotrope Eigenschaften des textilen Materials noch die Querkontraktion in Betracht ziehen, kann man ein isotropes Material mit der Querdehnzahl v = 0 ansetzen. Sollen jedoch die Materialkennwerte in den Prozess der Schnittmusterverebnung mit eingehen, kann eine optimale Form des Schnittmusters erreicht werden.

Beim Testen der textilen Materialien, die für Membrantragwerke verwendet werden, ermittelt man gewöhnlich die Steifigkeiten in Kett- und Schussrichtung und die Querdehnzahl. Die Schubsteifigkeit wird meistens vernachlässigt. Im folgenden Beispiel ist zu beobachten, wie sich die Schubsteifigkeit auf die Form des resultierenden Schnittmusters auswirkt. Für das Beispiel wird eines der mittleren Schnittmuster des hyperbolischen Paraboloides (Bild 11) herangezogen. Für das Schnittmuster werden zwei verschiedene Materialien verwendet.

Für das erste, oberflächenbehandeltes Gewebe werden die Werte von
EKette = 1600 kN/m,
ESchoss = 1200 kN/m,
vKette/Schoss = 0.05,
G = 400 kN/m
vorgesehen.

Das andere Material, ein Textilnetz ohne Oberflächenbehandlung, weist die Werte von
EKette = 1600 kN/m,
ESchoss = 1200 kN/m,
vKette/Schoss = 0.05,
G = 10 kN/m
auf.

Das folgende Bild zeigt die resultierenden ebenen Schnittmuster. Indem man die Schwerpunkte beider Schnittmuster in denselben Punkt schiebt und den rechten Teil der Schnittmuster im Ausschnitt vergrößert (Bild 14), wird der Unterschied beider Formen deutlich. Berücksichtigt man die Materialkennwerte, können qualitativ bessere Schnittmuster erreicht werden. Nach der Montage des Tragwerkes nähert sich dann die reale Vorspannung an die vorgesehene Vorspannung besser an.

Bild 13 - Schnittmuster für das Gewebe mit Oberflächenbehandlung (oben) und für das Textilnetz ohne Oberflächenbehandlung (unten)

Bild 14 - unterschiedliche Form der Schnittmuster bei Verwendung verschiedener Materialien

Für die Ermittlung von Schnittmustern wird auch eine Kompensation herangezogen, die durch biaxiale Prüfungen bestimmt wird und welche final für das Einstellen der Vorspannung im Gewebe zuständig ist.

Eine nichtlineare Berechnung nach der Finite-Elemente-Methode liefert ein energetisch optimales ebenes Schnittmuster in Bezug auf das räumliche Muster. Da von den physikalischen Grundsätzen ausgegangen wird, ist diese Berechnungsmethode die Natürlichste.

Im Erstellungsprozess eines Schnittmusters können auch weitere konstruktive Anforderungen berücksichtigt werden. Am wichtigsten ist die Erhaltung gleicher Längen der anliegenden Kanten von Nachbarschnittmustern. Oft wird auch der Ansatz unterschiedlicher Kompensationen für einige Ränder von Schnittmustern gefordert. Dies wird häufig als Dekompensation der Ränder bezeichnet. Mit Hilfe der nichtlinearen Analyse können diese Anforderungen berücksichtigt und ein energetisch optimiertes Schnittmuster gefunden werden.

Zusammenfassung

Der Beitrag verfolgte das Ziel, die Hauptprozesse der Planung von Membrantragwerken zu erläutern. Die physikalischen Grundsätze sollten erklärt und die einzelnen Thesen an Beispielen verdeutlicht werden. Die Beispiele wurden im Programm RFEM von Dlubal Software GmbH [10] erarbeitet.

Danksagung

Dieser Beitrag wurde mit Unterstützung des Projekts FAST-J-15-2803 erstellt.

Literatur

[1]  Otto, F.; Rasch, B.: Finding Form: Towards an Architecture of the Minimal. Fellbach: Edition Axel Menges, 1996
[2]  Forster, B.; Mollaert, M.: European Design Guide for Tensile Surface Structures. Brüssel: TensiNet, 2004
[3]  Veenendaal, D.; Block, P.: An Overview and Comparison of Structural Form Finding Methods for General Networks, International Journal of Solids and Space Structures 49, Seiten 3741 - 3753. Amsterdam: Elsevier, 2012
[4]  Architen Landrell: Basic Theories of Tensile Fabric Architecture
[5]  Bletzinger, K.-U.; Ramm, E.: A General Finite Element Approach to the Form Finding of Tensile Structures by the Updated Reference Strategy, International Journal of Solids and Space Structures 14, Seiten 131 - 146. Amsterdam: Elsevier, 1999
[6]  Wüchner, R.; Bletzinger, K.-U.: Stress‐Adapted Numerical Form Finding of Pre‐Stressed Surfaces by the Updated Reference Strategy, International Journal for Numerical Methods in Engineering 64, Seiten 143 - 166. Amsterdam: Elsevier, 2005
[7]  Němec, I. et al.: Finite Element Analysis of Structures: Principles and Praxis. Aachen: Shaker, 2010
[8]  Moncrieff, E.; Topping, B.-H.-V.: Computer Methods for the Generation of Membrane Cutting Patterns, Computers and Structures 37, Seiten 441 - 450. Amsterdam: Elsevier, 1990
[9]  Bletzinger, K.-U.; Linhard, J.; Wüchner, R.: Advanced Numerical Methods for the Form Finding and Patterning of Membrane Structures, CISM International Centre for Mechanical Sciences 519, Seiten 133 - 154. Berlin: Springer, 2010
[10]  Dlubal Software: Statiksoftware für Membranbau und Textilbau

Autoren

Ing. Rostislav Lang
doc. Ing. Ivan Němec, CSc.
Ing. Hynek Štekbauser
Institut für Baumechanik, FAST VUT v Brně (Fakultät für Bauingenieurwesen der Technischen Universität Brünn), FEM consulting Brno

Rezensent

Prof. Ing. Jiří Studnička, DrSc., ČVUT v Praze (Tschechische Technische Universität Prag)

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