Método de la aceleración de periodo cero (ZPA) en el análisis del espectro de respuesta

Artículo técnico

En un análisis de espectro de respuesta multimodal, es importante determinar un número suficiente de valores propios de la estructura y considerar sus respuestas dinámicas. Normas tales como EN 1998-1 [1] y otras normas internacionales requieren activar el 90% de la masa estructural. Esto significa: hay que determinar tantos valores propios para que la suma de los factores de masas modales eficaces sea mayor que 0,9.

Para estructuras muy grandes con muchos grados de libertad, o estructuras que tienen valores propios fundamentales en la zona de alta frecuencia (sistemas de tuberías, por ejemplo), estos requisitos pueden ser difíciles de cumplir. En estos casos, la aceleración de periodo cero (ZPA, Zero Period Acceleration) está ganando importancia. Este método también puede considerar masas en los propios apoyos, lo cual tiene una influencia decisiva en las fuerzas en éstos.

Se hace una distinción entre tres zonas de frecuencia, las cuales se utilizan para clasificar las respuestas del sistema en maneras diferentes (ver Figura 01): 1) zona de frecuencia baja, (2) zona de frecuencia media y (3) zona de frecuencia alta.

Figura 01 - Aceleración espectral Sa [m/s²] contra frecuencia natural f [Hz] de espectro de respuesta de banda estrecha según EN 1998-1 [1]

La zona de frecuencias bajas y frecuencias medias (f < fZPA) es la zona generalmente considerada en la dinámica estructural. Los edificios tienen frecuencias naturales dominantes en esta área y en muchos casos más del 90% de la masa estructural se activa con estos valores propios. Las respuestas del sistema en la zona de frecuencia baja son periódicas y los resultados de varios valores propios se cambian por fase. La superposición de las respuestas de los valores propios individuales se realiza de forma cuadrática con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) o mejor con la regla de la combinación cuadrática completa (CQC).

En la zona de frecuencia alta (f > fZPA), las respuestas del sistema son pseudoestáticas y las respuestas de los valores propios individuales tienen la misma fase. La superposición modal puede así ejecutarse como una suma algebraica. En lugar de considerar dinámicamente estas frecuencias altas, es una práctica común determinar las masas activadas que faltan y agregar las respuestas de toda la zona de frecuencia alta pseudoestática por medio del valor de ZPA. El valor de ZPA se corresponde con valor del espectro de respuesta para el periodo T = 0 segundos; ZPA = Sa(T=0).  Sin embargo, también es concebible un valor definido por el usuario para el valor de ZPA. Este método se conoce como el método ZPA, como el método de masa faltante o como corrección estática [2, 3, 4].

Las frecuencias de la zona media (fSP < f < fZPA) proporcionan respuestas del sistema que son parcialmente periódicas y parcialmente pseudoestáticas. Estas frecuencias se pueden combinar con reglas especiales de superposición tales como el método de Gupta [2] para tener en cuenta la suma algebraica de las contribuciones pseudoestáticas. Sin embargo, también es común la superposición usando reglas cuadráticas estándar como la regla CQC.

La frecuencia fSP (sp = pico espectral) corresponde al valor máximo de la aceleración espectral. La frecuencia fZPA de ZPA (ZPA = aceleración de periodo cero) es la frecuencia mínima con la cual la aceleración alcanza aproximadamente el valor de ZPA.

Cálculo de componentes de ZPA

Los componentes de las masas activadas en cada nudo individual en la estructura se pueden determinar de la manera siguiente:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
donde
i = 1...p = número de valores propios considerados en el análisis del espectro de respuesta
j = dirección de la excitación del sismo
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = cantidad de las masas activadas en cada nudo en la dirección de excitación j
Γij = factores de relación para el valor propio i y la dirección de excitación j
ui = (uX, uY, uZ)T = modo de vibración del valor propio i en un nudo singular, de masa normalizada con Mi = uiTMui = 1 kg

La fracción de las masas faltantes no activadas en cada nodo individual es la diferencia de la masa estructural total y se determina de la siguiente manera:
mj,missing = 1 - mj

Las cargas equivalentes en cada nudo y luego estas deformaciones y esfuerzos internos resultantes para la relación de masas no activadas se determinan de la siguiente manera:
Fj = mj,missing ∙ ZPAjM
donde
Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) = cargas equivalentes a cada nudo para la relación de masas no activadas resultantes de la dirección de excitación j
ZPAj = aceleración espectral Sa,j(T=0) en dirección de la excitación j
M = (MX, MY, MZ) = masa en los nudos individuales en la estructura

Los resultados de los componentes ZPA así determinados se consideran como otro valor propio en la superposición modal. La superposición con los resultados de valores propios considerados dinámicamente se puede hacer por medio de la regla SRSS o como una suma absoluta. La suma absoluta proporciona resultados conservadores.

Realización en DYNAM Pro - Forced Vibrations

En DYNAM Pro - Forced Vibrations, el análisis de ZPA se aplica cuando se selecciona la casilla de verificación "Aplicar corrección estática". La configuración se muestra en la Figura 02.

Figura 02 - Activación del análisis ZPA en DYNAM Pro - Forced Vibrations

En DYNAM Pro, la determinación de las masas no activadas y las cargas equivalentes resultantes se realiza internamente. El valor de ZPA se define a partir del espectro de respuesta para el periodo T = 0 segundos; ZPA = Sa(T=0). Los resultados del componente de ZPA se superponen como una suma absoluta con los resultados de valores propios considerados dinámicamente.

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmissing|
donde
Rt = resultados después de la superposición modal y direccional incluyendo el componente ZPA
RSRSS/CQC = resultados de los valores propios considerados dinámicamente modalmente superpuestos con la regla SRSS o CQC
Rmissing = resultados del componente de ZPA

Los resultados después de la superposición se exportan como una combinación de resultados al programa principal RSTAB.

Ejemplo

Un voladizo con cinco grados de libertad muestra cómo se aplica el análisis ZPA en DYNAM Pro - Vibraciones forzadas. Se considera un sistema muy simple para permitir el seguimiento de los resultados. Se elige una sección rígida RO 508,0x10,0 con Iy = 48,520 cm4 compuesta de acero S 235 para lograr frecuencias por encima del valor de fZPA con una participación de masa relevante. El peso de la viga de 612,3 kg se distribuye uniformemente en los seis nudos (incluidos los nudos de soporte). Además, se define una masa de 1 t en el nudo 5. Las masas y también la excitación del sistema actúan en la dirección X. La estructura con distribución de masas, frecuencias naturales y masas modales eficaces resultantes se muestran junto con el espectro de respuesta definido por el usuario en la Figura 03.

Figura 03 - Voladizo con 5 grados de libertad: Distribución de masas, frecuencias y masas modales eficaces resultantes

En este ejemplo, el valor de ZPA es Sa = 2,00 m/s2. Este es el valor de la aceleración para el periodo T = 0 segundos. Si el espectro de respuesta se compara con las frecuencias, la frecuencia fZPA resulta en 100 Hz al usar al análisis del valor marginal. Las primeras dos frecuencias f1 = 19,8 Hz y f2 = 92,8 Hz son por tanto en la zona de frecuencias medias (ver Figura 01) y se consideran dinámicamente. Las 3 frecuencias naturales restantes son de frecuencia alta y pueden considerarse con el método de ZPA.

De manera predeterminada, el cálculo de valores propios en DYNAM Pro no considera las masas de los apoyos fijos. Estas masas no tienen influencia en las frecuencias naturales determinadas y sólo entonces es posible lograr los factores de masas modales eficaces del 100 %.

Sin embargo, si la influencia de las masas en los apoyos debe considerarse explícitamente con el método ZPA, es necesario activarlas en DYNAM Pro con la configuración que se muestra en la Figura 04. En este ejemplo, las masas se consideran en los apoyos.

Figura 04 - Ajustes de detalles en DYNAM Pro

Permitir "Omitir masas" cambiará la configuración predeterminada de las masas consideradas. Si el "almacén de nudos" está vacío, también se consideran las masas en los apoyos.

La siguiente tabla muestra los factores de participación ΓX, las proporciones de las masas activadas mX, las proporciones de masas desactivadas mX,missing y las cargas equivalentes resultantes en los seis nodos del sistema. Las bases de cálculo del método ZPA se discutieron en la sección anterior.

Nudo Masa
Mx
Factor de relación
ΓX
Modo de vibración
uX
Componente
de masas
activadas
mX
Componente
de masas
faltantes
mX,missing
Cargas equivalentes
FX [N]
Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2
1 61.23     0.078350 -0.056290 0.3220 0.6780 83.03
2 122.46     0.056790 -0.008520 1.1325 -0.1325 -32.44
3 122.46 24.12 27.85 0.036140 0.027190 1.6290 -0.6290 -154.05
4 122.46     0.018110 0.038290 1.5033 -0.5033 -123.26
5 1,122.46     0.005100 0.021670 0.7266 0.2734 613.82
6 61.23     0.000000 0.000000 0.0000 1.0000 122.46

El esfuerzo cortante, los momentos y los esfuerzos en los apoyos resultantes de estas cargas equivalentes se muestran en la Figura 05.

Figura 05 - Resultados del método ZPA

Los resultados finales del análisis del espectro de respuesta multimodal, teniendo en cuenta el método ZPA, resultan de los resultados de los dos primeros valores propios (aquí superpuestos de manera modal con la regla SRSS) y los resultados del componente ZPA (ver Figura 05).

La Figura 06 compara los resultados del análisis del espectro de respuesta, teniendo en cuenta los dos primeros valores propios (CCD2 y CC2 en el modelo), y los resultados finales que incluyen el componente ZPA (CCD3 y LC3 en el modelo). Al observar la Figura 05 y la Figura 06, se puede ver claramente la suma absoluta utilizada en DYNAM Pro.

Figura 06 - Resultados del análisis del espectro de respuesta multimodal considerando (a) Dos valores propios y (b) Dos valores propios y componentes de ZPA

La Figura 07 muestra los resultados del análisis del espectro de respuesta, considerando todos los 5 valores propios para la comparación. El método ZPA considera las masas en los apoyos. Esto resulta en una fuerza portadora de carga mayor PX = 2,57 kN. Los esfuerzos internos están en el lado de la seguridad debido a la superposición como una suma absoluta (compare la Figura 07 con la Figura 06).

Figura 07 - Los resultados del análisis del espectro de respuesta multimodal considerando 5 valores propios

Resumen

Este ejemplo mostró cómo se aplica el método ZPA en DYNAM Pro y que los resultados pueden tener un seguimiento verificable. Este método es útil y recomendado cuando las frecuencias de frecuencia alta de la estructura activan componentes de masa relevantes y cuando hay masas en los apoyos más grandes en la estructura.

Referencias

[1]  Eurocódigo 8: Proyecto de estructuras sismorresistentes - Parte 1: Reglas generales, acciones sísmicas y reglas para edificación; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2]  Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3]  Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4]  U.S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. Washington: NRC, 2012
[5]  Manual de RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, Diciembre de 2016. Descargar

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