Consideración de articulaciones de los extremos entre superficies

Artículo técnico

Este documento explica la consideración del cumplimiento entre las superficies utilizando articulaciones lineales y liberaciones de líneas. Las articulaciones lineales y las líneas compartidas tienen en cuenta los cumplimientos entre las áreas. Como ejemplo, las uniones o articulaciones en estructuras de hormigón armado o las juntas de esquina en las estructuras de madera contralaminada.

Figura 01 - Modelo real y sistema estructural

Liberaciones de los extremos entre barras

Las liberaciones de los extremos entre barras se definen con articulaciones de barras cuando se realiza el modelado y análisis estructural. La definición se lleva a cabo conforme a las normativas de construcción para determinar la indeterminación estática de una estructura:
n = r + 3 m - 3 n - h ≥ 0
con
r = reacciones en los apoyos
m = barras
n = nudos
h = articulaciones

Por lo tanto, siempre es necesario asignar una articulación menos que las barras con el mismo grado de libertad (h = m - 1) en el nudo. La figura 02 muestra una definición válida (superior) y una definición incorrecta (inferior).

Figura 02 - Articulación en barras: superior correcta, inferior incorrecta

Liberaciones de los extremos entre superficies

La definición de las liberaciones de los extremos entre superficies es más compleja, pero es el mismo procedimiento que con las barras. Las dos articulaciones también generan aquí una estructura estáticamente indeterminada con un grado de libertad idéntico en una línea. Al contrario que con las barras, las estructuras que incluyen superficies no son inestables tan rápidamente. Esto se debe parcialmente al hecho de que las superficies pueden alabear en su propio plano y, por lo tanto ya no son cinemáticas. Básicamente, cuando se definen las articulaciones en la figura 03, la línea va a rotar alrededor de su propio eje y, por lo tanto, la estructura será cinemática.

Figura 03 - Línea cinemática debido a dos articulaciones

Unión - Estructuras de hormigón

El caso más simple de articulaciones lineales es la unión entre las superficies de hormigón mencionadas anteriormente. Se usa para modelar el hueco de ensamblaje que, generalmente, es necesario en las estructuras.
Las articulaciones lineales en ux, uy y uz se liberan con este propósito (figura 04). En este caso, también se recomienda que se libere el giro de la línea. Se debe seleccionar el grado de libertad liberado para las barras y superficies con articulaciones.

Figura 04 - Sistema estructural de la articulación

Uniones semirrígidas - estructuras de madera

En las estructuras de madera, por ejemplo en madera contralaminada o estructuras de paneles derivados de la madera, la separación entre superficies normalmente se lleva a cabo de forma flexible. Es bastante fácil considerar un muelle lineal entre dos superficies usando articulaciones lineales. Sin embargo, el muelle en estructuras de maderas sólo está disponible realmente en la dirección de tracción de la superficie. En el área de contacto entre las superficies, los paneles derivados de la madera o  los paneles de madera contralaminada, la transmisión de la presión de contacto es casi rígida. Por lo tanto, modelar tales liberaciones de los extremos es mucho más complejo, desde que se tienen que considerar las propiedades no lineales.

Las propiedades no lineales tienen sus desventajas en términos de modelado, evaluación de resultados, tiempo de cálculo, número de incógnitas, etc. A continuación se explica cómo es posible considerar la presión de contacto no lineal con articulaciones lineales. La figura 05 muestra una estructura compuesta por cuatro superficies que están conectadas de forma semirrígida. En el nudo del apoyo, los modelos tienen apoyos libres en ux. A la izquierda, la superficie está conectada de forma semirrígida con los muelles auxiliares ux = 100 kN/m² (dirección longitudinal de la línea) y uy = 100 kN/m² (perpendicular a la línea). A la derecha, la dirección ux = 100 kN/m² está conectada de forma idéntica. En uy, la articulación del extremo es rígida. En la cabeza, la carga horizontal es de 15 kN/m.

Figura 05 - Comparación de rigideces

Como se puede ver en la figura 05, la deformación del modelo de la izquierda es demasiado alta. Además, las superficies superiores intersecan con las superficies inferiores. De todas formas, la deformación del modelo de la derecha parece verosímil. La figura 06 muestra la deformación por esfuerzo cortante nxy entre las superficies. Se lleva a cabo el diseño del medio de fijación para este valor. Independientemente de los valores, se puede ver que el esfuerzo cortante del modelo de la izquierda siempre tiene un fallo postcrítico en ambas direcciones (positiva y negativa). Esto se debe al hecho de que se visualizan los resultados de ambos lados de la superficie y ambos lados consideran la liberación del extremo en la articulación. En el modelo de la derecha, la deformación por esfuerzo cortante se reduce desde el centro hacia el borde. Esto se debe al solape entre las rigideces dentro de las superficies conectadas.

Figura 06 - Deformación por esfuerzo cortante nxy en las articulaciones lineales

La figura 07 muestra el esfuerzo en la dirección ny. Los esfuerzos mostrados en las líneas hacen referencia, en cada caso, a la orientación de los ejes locales de la superficie.

Figura 07 - Esfuerzos en la dirección ny

En la figura 07, la dirección de la fuerza está representada con las flechas punteadas en rojo y violeta. El modelo de la izquierda tiene una distribución de los esfuerzos axiles afectada, lo que incluso podría dar como resultado un fallo postcrítico con la componente de la tracción en la parte inferior.

Cuando se observa en el eje horizontal, el modelo de la izquierda tiene esfuerzos de tracción muy elevados en la dirección y.
En el modelo de la derecha, el incremento del esfuerzo axial en el eje vertical comienza desde cero y aumenta hasta el centro. Las fuerzas en el eje horizontal son mínimas. La distribución de las fuerzas del modelo de la derecha es, por lo tanto, la más plausible.

Liberación de línea teórica y articulación lineal

RFEM ofrece la opción de definir las liberaciones de línea para considerar la no linealidad del modelo anteriormente mencionado, por ejemplo, en el área de transmisión de la presión de contacto. La base teórica es la misma para las articulaciones lineales y las liberaciones de línea. Ambas están sujetas a la llamada tecnología de doble nudo. Al definir la liberación, se generan nudos dobles virtuales en los nudos originales. Además, estos nudos están conectados unos a otros mediante un muelle. Tan pronto como se definen las no linealidades adicionales (por ejemplo, la presión de contacto), se realiza una alineación de la deformación para comprobar si se cumple la condición. El término técnico para este método es el método de penalización.

Figura 08 - Método de penalización [1]

También es posible llevar a cabo la alineación basada en los esfuerzos. La no linealidad mostrada en la figura 08 se controla con los esfuerzos en la dirección correspondiente. La ecuación 1 muestra una vista esquemática del sistema de ecuaciones para la rigidez de penalización k en N/m. La derivación adicional así como la explicación de la estructura actual no están incluídas en este artículo.

Ecuación 1:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

La ecuación 2 muestra el sistema de ecuaciones idéntico con multiplicadores de Lagrange.

Ecuación 2:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

El sistema de ecuaciones sólo difiere en la última parte por el factor λ. Ahora está claro que el cálculo con penalización o con los multiplicadores de Lagrange conlleva a resultados idénticos, al menos en el primer paso. Para estructuras más complejas, es mejor usar los multiplicadores de Lagrange. Después del valor inicial cero, se extiende el esquema de iteración debido a los multiplicadores de Lagrange $\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Liberación de línea

Al definir una liberación de línea en RFEM, es posible considerar totalmente una no linealidad del ejemplo mencionado anteriormente. Al igual que con el modelo rígido con la liberación del extremo en ux, se da una deformación comparable para la liberación de extremo idéntica de la presión de contacto no lineal (figura 09).

Figura 09 - Deformación en las liberaciones de línea

Los esfuerzos internos nxy tienen una distribución idéntica respecto a la conexión vertical, como en la estructura con sólo una liberación de extremo (figura 10). Sólo cambia la línea horizontal en la parte derecha del modelo, debido a que esta superficie está totalmente bajo presión.

Figura 10 - Deformación por esfuerzo cortante en las liberaciones de línea

Definir el lado de la superficie

Independientemente de la selección de una liberación de línea o articulación lineal para definir la liberación del extremo, es importante visualizar el modelo correctamente.

Figura 11 - Modelo real

La figura 11 muestra el clavo con el panel de cubierta (izquierda) y la entalla (derecha). La figura 12 muestra el modelo estructural correspondiente. Cuando se modela la estructura, es importante definir la liberación del extremo en ux, por lo tanto en la dirección longitudinal de la conexión, dos veces en la izquierda y sólo una vez en la derecha. Debido a la ley de Hooke, el modelo de la izquierda tiene el doble de liberación en el extremo.

Figura 12 - Sistema estático

Resumen

Use la opción de articulación lineal o liberación de línea en RFEM para considerar la liberación del extremo de las superficies.

La evaluación de resultados y el modelado del sistema es más fácil cuando se calcula con la articulación lineal.
Puede que los resultados sean poco precisos. Además de considerar la liberación del extremo de las superficies, la liberación de línea también ofrece la liberación de las barras en las superficies.

Palabras clave

elementos de fijación no linealidad penalización lagrange

Referencia

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

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