Suavizado de esfuerzos internos en superficies en RFEM

Artículo técnico

Al calcular un modelo de superficie, los esfuerzos internos se determinan por separado para cada elemento finito. Dado que los resultados elemento por elemento representan una distribución no continua, RFEM realiza el denominado suavizado de los esfuerzos internos que tiene en cuenta la influencia de los elementos adyacentes. Con este método, se ajusta la distribución no continua de los esfuerzos internos. De este modo la evaluación de resultados es más clara y fácil.

Puede seleccionar diferentes opciones en el programa para mostrar resultados sin suavizar o suavizados. Estos se describen en el manual en línea de RFEM (en inglés). Las opciones de suavizado para evaluar los esfuerzos internos y tensiones de superficies también se explican en este artículo técnico. El siguiente artículo utiliza un ejemplo para ilustrar cómo se usan los esfuerzos internos en los elementos finitos con el suavizado para determinar los valores. Además de la posición de un elemento finito, la teoría de placas (Mindlin o Kirchhoff) desempeña una función en este proceso.

Ejemplo: Placa según Mindlin y Kirchhoff

Figura 01 - Ejemplo:

Se crea una placa con las dimensiones 4 m ⋅ 3 m como modelo bidimensional. La placa está articulada en ambos lados a las líneas de límite más cortas. El giro de las líneas de contorno alargadas está restringido por una coacción. Para evitar los efectos de la deformación transversal, el coeficiente de Poisson del material se establece en 0. Para comparar la determinación de los esfuerzos internos según las teorías de flexión de la placa de Kirchhoff y Mindlin, se selecciona un espesor de la placa de 80 cm. Por lo tanto, se da una relación d/L = 0,2 en la zona límite entre las dos teorías de flexión (ver https://www.dlubal.com/es/soporte-y-formacion/soporte/faq/003158).

Para simplificarlo, el tamaño de la malla de EF se establece en 1 m. Por lo tanto, hay 4 · 3 elementos finitos.

Una carga de p = 5 kN/m² actúa sobre la placa. El peso propio no se aplica en el caso de carga.

Fuerzas internas sin suavizar

Los resultados del núcleo de cálculo para los esfuerzos internos vx y mx se consideran para una sección longitudinal que se da en el centro de la placa. La distribución de esfuerzos internos sin suavizado elemento por elemento se puede representar con la opción de visualización "No continuo". Según las teorías de flexión de Mindlin y Kirchhoff, están disponibles los diagramas mostrados en la figura 02.

Figura 02 - Resultados sin suavizar según Mindlin (izquierda) y Kirchhoff (derecha)

Suavizado estándar para los nudos internos

Para los nudos de EF que se encuentren dentro de una superficie, la media aritmética se forma primero a partir de los valores en nudo de los elementos finitos adyacentes. Para este enfoque, los elementos se deben encontrar en una superficie y en el mismo lado de una posible línea interna. El nudo no debe ser un nudo definido por el usuario en la superficie.

Para la ubicación de la discontinuidad en x = 1,00 m, estos valores son los siguientes internamente (el resultado de este paso no está disponible para la salida).

Mindlin:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7,5\;+\;2,5}2\;=\;5\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{8,772\;+\;5,351}2\;=\;7,061$

Kirchhoff:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7,785\;+\;2,595}2\;=\;5,19\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7,954\;+\;7,904}2\;=\;7,929$

Suavizado para nudos de exteriores

En los bordes de una superficie (opción de suavizados "Continua dentro de las superficies") o un modelo ("Continua total"), no hay elementos finitos adyacentes que se puedan utilizar para promediar los valores en los nudos. Por lo tanto, se utiliza un enfoque diferente, que se realiza en dos pasos.

En el primer caso, se calculan los valores medios para aquellos nudos que no están ubicados en el borde de la superficie o del modelo. Los valores de los nudos en los bordes se calculan de tal forma que los valores originales permanecen en los centros de los elementos finitos. En el segundo paso, se determinan los valores medios de los nudos exteriores.

Se obtienen los siguientes valores para el nudo de borde en x = 0,00 m.

Mindlin:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7,5\;+\;(7,5\;-\;5)\;=\;10\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0,5)\;=\;\frac{5,351\;+\;2,982}2\;=\;4,167\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4,167\;+\;(4,167\;-\;7,061)\;=\;1,272$

Kirchhoff:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7,785\;+\;(7,785\;-\;5,19)\;=\;10,381\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0,5)\;=\;\frac{7,954\;+\;0,379}2\;=\;4,167\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4,167\;+\;(4,167\;-\;7,929)\;=\;0,404$

Esfuerzos cortantes

Según Mindlin, los esfuerzos cortantes se calculan como la primera derivada de la deformación.

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;\frac{5\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm h}6\;\cdot\;\left(\frac{\partial\mathrm w}{\partial\mathrm x}\;+\;{\mathrm\Phi}_{\mathrm y}\right)\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;\frac{5\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm h}6\;\cdot\;\left(\frac{\partial\mathrm w}{\partial\mathrm y}\;+\;{\mathrm\Phi}_{\mathrm x}\right)$

Estos valores están determinados por el cálculo del núcleo y se usan directamente. El suavizado de los esfuerzos cortantes se lleva a cabo como se ha descrito anteriormente, dependiendo de la posición del nudo del FE en la superficie.

En la teoría de flexión según Kirchhoff, los esfuerzos cortantes se calculan como una tercera derivada de la deformación.

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;-\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm h^3}{12\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm\mu^2\right)}\;\cdot\;\left(\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x^3}\;+\;\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x\partial\mathrm y^2}\right)\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;-\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm h^3}{12\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm\mu^2\right)}\;\cdot\;\left(\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm y^3}\;+\;\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x^2\partial\mathrm y}\right)$

Esta determinación del valor utilizando la tercera derivada da como resultado una pérdida considerable de precisión. Por esta razón, los esfuerzos cortantes del cálculo del núcleo no se utilizan, sino que se determinan de las derivaciones de los momentos mediante un planteamiento mejorado.

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm x}}{\partial\mathrm x}\;+\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm y}\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm y}}{\partial\mathrm y}\;+\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm x}$

En las ecuaciones, los momentos mx, my y mxy representan los valores suavizados que se han determinado según los métodos descritos anteriormente. Esto da como resultado unos valores más precisos para los esfuerzos cortantes que realizar el cálculo del núcleo.

${\mathrm v}_{\mathrm x}{(0)}^+\;=\;{\mathrm v}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;7,929\;-\;0,404\;=\;7,525\\{\mathrm v}_{\mathrm x}{(1)}^+\;=\;{\mathrm v}_{\mathrm x}{(2)}^-\;=\;10,429\;-\;7,929\;=\;2,5\\{\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7,525\;+\;2,5}2\;=\;5,013\\{\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7,525\;+\;7,525\;-\;5,013\;=\;10,038$

Momentos

Mientras que los valores de los momentos en los puntos de integración se corresponden con los valores teóricos, la extrapolación conlleva a una pérdida de precisión cuando se utiliza la función paraboloide hiperbólica para el suavizado. Un paraboloide hiperbólico sólo aproxima la distribución de momentos en el elemento. Por esta razón, se utiliza un algoritmo mejorado que sustituye la extrapolación con un método integral avanzado de esfuerzos cortantes. Dado que se supone que la distribución de esfuerzos internos en el elemento de superficie tiene la forma de un paraboloide hiperbólico (superficie de segundo orden), la integral de esta superficie representa una superficie del tercer orden, que muestra la distribución de momentos con mayor precisión.

Esta aproximación se corresponde con las ecuaciones descritas anteriormente para determinar los esfuerzos cortantes mediante las derivadas de los momentos. Los momentos se determinan así con las siguientes ecuaciones.

${\mathrm m}_{\mathrm x}\;=\;\int\left({\mathrm v}_{\mathrm x}\;-\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm y}\right)\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm y}\;=\;\int\left({\mathrm v}_{\mathrm y}\;-\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm x}\right)\mathrm{dy}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm y,0}$

Las constantes de integración mx,0 y my,0 se calculan desde las condiciones del valor en el centro de la barra.

${\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;\frac{\int_{\mathrm S}{\mathrm m}_{\mathrm x}\mathrm{dS}}{\mathrm S}\\{\mathrm m}_{\mathrm y,\mathrm C}\;=\;\frac{\int_{\mathrm S}{\mathrm m}_{\mathrm y}\mathrm{dS}}{\mathrm S}$

S representa la superficie del elemento.

Los valores de los esfuerzos internos se determinan mediante los métodos descritos anteriormente, las integrales por integración numérica. De esta forma, los momentos determinados de este modos se suavizan de esta forma según el método de los nudos internos o exteriores.

En la teoría de flexión según Mindlin, los siguientes valores resultan en este ejemplo.

Primer elemento:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;10\;-\;5\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;10\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0,5)\;=\;4,167\;=\;\int_0^110\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{10}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac56\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;4,167\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4,167\;-\;4,167\;=\;0\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;10\;-\;\frac52\;+\;0\;=\;7,5$

Segundo elemento:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;5\;-\;5\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;5\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1,5)\;=\;9,167\;=\;\int_0^15\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac52\;\mathrm x^2\;-\;\frac56\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;1,667\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^+\;}=\;9,167\;-\;1,667\;=\;7,5\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}\;=\;\frac{{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^-\;}+\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+}2\;=\;\frac{7,5\;+\;7,5}2\;=\;7,5$

Figura 03 - Distribución suavizada de los esfuerzos internos v-z y m-x según Mindlin

Se obtienen los siguientes valores para la teoría de flexión según Kirchhoff.

Primer elemento:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;10,038\;-\;5,025\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;10,038\;\mathrm x\;-\;\frac{5,025}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0,5)\;=\;4,167\;=\;\int_0^110,038\;\mathrm x\;-\;\frac{5,025}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{10,038}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac{5,025}6\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;4,182\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4,167\;-\;4,182\;=\;-\;0,015\;{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;10,038\;-\;\frac{5,025}2\;-\;0,015\;=\;7,511$

Segundo elemento:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;5,013\;-\;5,013\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;5,013\;\mathrm x\;-\;\frac{5,013}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1,5)\;=\;9,167\;=\;\int_0^15,013\;\mathrm x\;-\;\frac{5,013}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{5,013}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac{5,013}6\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;1,671\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+\;=\;9,167\;-\;1,671\;=\;7,496\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)\;}=\;\frac{{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^-\;}+\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+}2\;=\;\frac{7,511\;+\;7,496}2\;=\;7,503$

Figura 04 - Diagramas suavizados de los esfuerzos internos v-x y m-x según Kirchhoff

En el proceso de suavizado, los pasos descritos anteriormente se realizan gradualmente en el programa. Los valores suavizados se pueden mostrar gráficamente con la opción de visualización "Continuo dentro de las superficies".

Palabras clave

Suavizado Esfuerzos internos en superficies Distribución de esfuerzos internos

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