Métodos de resolución de ecuaciones para cálculos no lineales

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Este artículo explica el solucionador de ecuaciones para un cálculo no lineal con una iteración de Newton-Raphson.

Introducción

El método de los elementos finitos se usa siempre que los problemas mecánicos no se pueden resolver analíticamente. A menudo, también se tienen en cuenta los efectos no lineales como el fallo bajo presión (no linealidad geométrica), las plastificaciones (no linealidad del material) y los grados de libertad de contacto o cinemáticos. Estos efectos, especialmente para modelos de materiales no lineales, se pueden considerar utilizando un método de cálculo iterativo.

Configuración FEM

Pasos básicos para la configuración del MEF (se puede encontrar más información en [1] ):

  1. Forma de equilibrio débil

    Forma débil

    BgradδuσdVnichtlinearer Anteil = Bδu · ρbdV + Bδu · todA

    δu Desplazamiento virtual (prueba)
    t0 Factor de carga inicial
    σdV Esfuerzos internos
    ρbdV Fuerzas sólidas
    B Área integrada
  2. Transformación en Voigt Notación con 4 tensor orden º

    Forma débil en la notación de Voigt

    BδεεdV = BδuTbdVVolumenkräfte + BδuT · t0dAOberflächenkräfte

    C Matriz de rigidez
    δε Variación del estado de deformación
    B Área integrada
    ε deformación
    U Deformación

    Esta notación se usa a continuación para resolver la solución aproximada del enfoque de EF para materiales no lineales.
  3. Para esto, el campo de desplazamiento se multiplica por las funciones de aproximación.

    Campo de desplazamiento mediante la función de prueba

    u(x,t) = H(x)u^(t)

    u (x, t) Desplazamiento en el tiempo (incremento de carga)
    h Función de forma
    û desplazamiento en nudo
  4. Inserción de la derivada del desplazamiento en la forma débil. La integración numérica se usa para calcular el desplazamiento en nudo y las tensiones y deformaciones en el posprocesamiento por medio de la regla del material.

Secuencia de iteración de Newton-Raphson

Debido al comportamiento no lineal del material, la matriz del material C en la ecuación 2 anterior cambia con cada paso de expansión. El método de cálculo estándar para resolver este problema es la llamada iteración de Newton-Raphson. Se usa para linealizar la función en un punto de partida. En la iteración, siempre se usa la matriz de rigidez C del paso preliminar. En el paso de iteración linealizada, se coloca una tangente en el cero de la función.

Las ecuaciones que pertenecen al diagrama de flujo en la figura anterior son las siguientes:

  1. División de la carga en pasos de carga.

    fextt + t = fextt + f

  2. Paso de predicción

    Paso de predicción

    K0t0φ = fextt+t - fint0t

    K Matriz de rigidez del paso de tiempo anterior
    t + Δ t fext


    Las fuerzas externas aumentan en un paso de carga adicional

    0tfint

    Fuerzas internas del paso de tiempo anterior
    ϕ deformación
  3. En el punto 3, iteración del diagrama de flujo, se calcula la distorsión total reducida por la distorsión plástica (paso del corrector).

El objetivo del cálculo iterativo es siempre que la suma de las cargas sea cero. Sin embargo, esto no es posible numéricamente. Por lo tanto, se define un límite de ruptura ε en el que se interrumpe el cálculo como suficientemente preciso.

Tasa de cancelación

R = fextt + t - fintnt + t < ε

[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION] Tasa de cancelación
fext Esfuerzos externos
fint Esfuerzos internos
ε Límite de rotura de épsilon
t Paso de tiempo

En el programa, el límite de ruptura se puede establecer entre los parámetros de cálculo.

La siguiente figura muestra el flujo de una iteración de Newton-Raphson. En la primera iteración

1. Iteración

Rt + t - F0t + t

R Tasa de cancelación
t Paso de tiempo
F Fuerza

no se alcanza la ruptura R o ε. El límite de tolerancia tampoco se alcanza en la segunda iteración (rojo). Solo en la tercera iteración, la distancia de la rigidez de la tangente es tan pequeña que se logra la convergencia.

Como ya se mencionó, la deformación se suma continuamente durante la iteración.

Conclusión

La iteración de Newton-Raphson tiene la consistencia o el orden de convergencia 2. El número de posiciones "correctas" en la iteración se duplica con cada paso. Por lo tanto, una iteración de Newton-Raphson converge cuadráticamente y la precisión aumenta con cada iteración cuando el método converge. Sin embargo, si el método no converge, el error llega al infinito y se detiene el cálculo.

Las causas del error son, por ejemplo, una pendiente de la curva carga-deformación que es demasiado empinada y una pendiente de la curva en el área plástica que es demasiado plana. Si la curva carga-deformación en la figura anterior mostrara una rotura demasiado fuerte en el segundo paso de iteración, la tangente del material y, por lo tanto, la matriz de rigidez no mostrarían correctamente la pendiente del área elástica. En este caso, la pendiente de la raíz sería incorrecta para el área plástica. Esta es una de las razones por las que un aumento en los pasos de carga va acompañado de una convergencia mejorada.

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Product Engineering & Customer Support

El Sr. Kuhn es responsable del desarrollo de productos para estructuras de madera y proporciona asistencia técnica a nuestros clientes.

Palabras clave

Convergencia Paso de carga Paso de tiempo

Referencia

[1]   Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Numerische Mechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013

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  • Actualizado 7. enero 2021

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