Considerare gli effetti della teoria del secondo ordine nell'analisi dinamica

Articolo tecnico

Per le verifiche agli stati limite ultimi, EN 1998‑1 [1], Sezioni 2.2.2 e 4.4.2.2, richiede un calcolo con la considerazione della teoria del secondo ordine (effetto P‑Δ). Tali effetti devono essere considerati solo se il coefficiente di sensibilità rispetto al movimento relativo tra i piani θ è minore di 0.1.

Il coefficiente θ è definito come segue:

$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

dove

θ  è il coefficiente di sensibilità al movimento relativo tra i piani
Ptot  è il carico gravitazionale totale al livello e sopra il piano considerato nella situazione sismica di progetto (vedere espressione 2)
dr  è il valore di progetto del movimento relativo tra i piani, valutato come differenza degli spostamenti laterali medi dS in sommità e alla base del piano che si sta considerando; lo spostamento è determinato con uno spettro di risposta di progetto lineare con q = 1.0
Vtot  è l’azione di taglio totale di un piano determinato con uno spettro di risposta di progetto lineare
è la distanza tra due impalcati

Gli effetti del secondo ordine possono essere tenuti in conto in via approssimata moltiplicando i relativi effetti dell'azione sismica di un coefficiente pari a  1 / (1 − θ), se 0.1 < θ ≤ 0.2. Per θ > 0.2, è necessario considerare la matrice di rigidezza geometrica durante il calcolo degli autovalori e l'analisi modale con spettro di risposta.

Matrice di rigidezza geometrica

Per le analisi dinamiche, i calcoli iterativi per la determinazione non-lineare della teoria del secondo ordine non sono adeguati. Il problema può essere reso lineare, e per tener conto della teoria del secondo ordine è sufficiente usare la matrice di rigidezza geometrica basata sui carichi assiali. A tale scopo, si assume che i carichi verticali non cambiano a causa degli effetti orizzontali e che le deformazioni sono piccole rispetto alle dimensioni dell'edificio [2]. I carichi da considerare dovrebbero corrispondere alle situazioni di progetto sismiche secondo l'EN 1990, Punto 6.4.3.4 [3]:

$${\mathrm E}_\mathrm d=\sum_{\mathrm j\geq1}{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}+\sum{\mathrm\Psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

dove

Ed  è il valore di progetto degli effetti
Gk,j  è il valore caratteristico dell'azione permanente j
Qk,i  è il valore caratteristico dell'azione variabile i
Ψ2,i  è il coefficiente per valori quasi permanenti delle azioni variabili i

Le forze assiali incrementano la rigidezza, ad esempio, in un cavo teso. Le forze di compressione riducono la rigidezza e possono condurre a singolarità nella matrice di rigidezza. La rigidezza geometrica Kg non dipende dalla proprietà meccaniche della struttura ma solo dalla lunghezza L dell'asta e dalla forza assiale N.

Per comprendere il problema fondamentale, considereremo un semplice esempio di uno sbalzo come mostrato figura 1. Le masse puntiformi rappresentano i singoli impalcati dell'edificio, soggetto ad una analisi dinamica con la considerazione della teoria del secondo ordine. Le forze assiali Ni sui singoli impalcati i = 1...n risultano dalle forze verticali nella situazione di progetto sismica (vedere espressione 2). La distanza tra i due impalcati è indicata con hi.

Figura 01 - Riduzione dell'edificio ad una struttura a sbalzo. I singoli punti di massa rappresentano i piani. Lo spostamento dovuto alle forze normali di compressione mostrato in (a) viene convertito in (b) momenti di ribaltamento o carichi laterali [2]

La matrice di rigidezza geometrica Kg può essere derivata dall'equilibrio statico:

$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&\;-1.0\\-1.0&\;1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

In via semplificata, si mostrano solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale. L'approccio con momenti di ribaltamento costituisce una semplificazione per elementi inflessi, e un'assunzione accurata per gli elementi biella.

Una determinazione più accurata della matrice di rigidezza geometrica per travi inflesse può essere ottenuta con l'approccio dello spostamento cubico o la soluzione analitica della relativa equazione differenziale. Maggiori informazioni sono date da Werkle [4].

La matrice di rigidezza geometrica Kg viene aggiunta alla matrice di rigidezza del sistema K, ottenendo la matrice di rigidezza modificata Kmod :

$${\mathbf K}_\mathbf{mod}\;=\;\mathbf K\;+\;{\mathbf K}_\mathbf g\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

In caso di forze normali di compressione, ciò conduce inevitabilmente ad una riduzione di rigidezza.

Esempio: frequenze naturali e analisi modale con spettro di risposta tenendo conto della teoria del secondo ordine

Il seguente esempio mostra come considerare la matrice di rigidezza geometrica in RFEM e nei moduli aggiuntivi RF‑DYNAM Pro . Lo sbalzo è costituito da masse concentrate in cinque punti. Qui, 4.000 kg agiscono nella direzione globale X.

Figura 02 - Il peso proprio ed i carichi imposti sono riassunti come carichi nodali e definiti in due casi di carico separati.

La sezione traversale è una IPE 300 e il materiale S 235 con:
${\mathrm l}_\mathrm y\;=\;8.356\;\cdot\;10^{-5}\;\mathrm m^4\;$
$\mathrm E\;=\;2.1\;\cdot\;10^{11}\;\mathrm N/\mathrm m^2$
Per considerare la matrice di rigidezza geometrica nell'analisi dinamica, viene definita una combinazione di carico per la situazione sismica di progetto nel programma principale RFEM (vedere equazione 2).

Figura 03 - Definizione della combinazione di carico per la situazione della progettazione sismica (espressione 2) e delle forze assiali risultanti. Queste forze assiali vengono utilizzate per determinare la matrice di rigidezza geometrica.

Il modulo aggiuntivo RF‑DYNAM Pro - Natural Vibrations consente di determinare le frequenze naturali, i modi di vibrare e la massa partecipante della struttura, tenendo conto delle modifiche di rigidezza (vedere manuale di RF-DYNAM Pro [5], Capitolo 2.4.7, e l'articolo tecnico [6]). Vengono definiti due casi di vibrazione naturale. Nel CVN2, viene importata la CO1 al fine di considerare la matrice di rigidezza geometrica e quindi la teoria del secondo ordine. Per confrontare i risultati, viene definito anche un CVN1 che non include alcuna modifica di rigidezza.

Figura 04 - Parametri per l'analisi degli autovalori in RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations

La tabella seguente mostra le frequenze naturali determinate f [Hz], i periodi naturali T [sec], e i valori di accelerazione Sa [m/s²] sulla base dello spettro di risposta, con e senza la matrice di rigidezza geometrica Kg risultante dalle forze assiali della CO1.

Figura 05 - Frequenze naturali, periodi e valori di accelerazione

L'analisi modale con spettro di risposta usa le frequenze naturali per determinare i valori di accelerazione dallo spettro di risposta definito. Sulla base dei valori di accelerazione, vengono determinati i carichi equivalenti e le forze interne. La visualizzazione grafica di uno spettro di risposta definito dall'utente è mostrata in figura 6, e i valori di accelerazione Sa [m/s²] determinati dallo spettro per ogni autovalore sono elencati nella tabella superiore.

Figura 06 - Spettro di risposta definito dall'utente

Per assicurare la corretta assegnazione delle frequenze modificate, il caso di vibrazione naturale (CVN) viene assegnato al caso di carico dinamico (CCD).

Figura 07 - Assegnando un caso di vibrazione naturale al caso di carico dinamico per determinare i carichi equivalenti

Nel caso di forze di compressione, la considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta alla riduzione della frequenza naturale e può causare valori di accelerazione Sa, minori, come nel nostro esempio. La sola modifica delle frequenze naturali non è sufficiente a considerare gli effetti del secondo ordine. Infatti, ciò potrebbe condurre a risultati minori, e quindi incorretti. Considerare la matrice di rigidezza modificata per la determinazione delle forze interne e gli spostamenti generalizzati risulta quindi di vitale importanza.

In RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, la rigidezza modificata è usata automaticamente per determinare i risultati dello spettro di risposta, poiché il calcolo viene eseguito in RF-DYNAM Pro. In RF‑DYNAM Pro - Equivalent Loads, vengono determinati i carichi equivalenti ed esportati in casi di carico nel programma principale RFEM. Quindi, il calcolo viene eseguito parzialmente in RF-DYNAM Pro e RFEM.

La teoria alla base del calcolo sui carichi equivalenti è illustrata nel manuale di RF-DYNAM Pro [5]. L'esempio di verifica [7] mostra il calcolo eseguito per un caso specifico. I carichi equivalenti determinati, con e senza la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrati in figura 8.

Figura 08 - Carichi equivalenti dalla deformata modale 1 (a) senza modifiche di rigidezza da DLC1 e (b) con matrice geometrica di rigidezza da DLC2

L'esportazione dei carichi equivalenti comporta vari vantaggi, ma il più importante è il trasferimento delle modifiche di rigidezza nei casi di carico. I parametri di calcolo dei casi di carico esportati dovrebbero essere modificati come mostrato in figura 9.

Figura 09 - Parametri di calcolo dei casi di carico con i carichi equivalenti esportati. Anche qui deve essere considerata la matrice di rigidezza geometrica. Per questo, le forze assiali provenienti da LC1 vengono importate

I singoli casi di carico sono combinati con il metodo SRSS o CQC automaticamente in RF-DYNAM Pro ed esportati in combinazioni di risultati. i risultati con e senza la matrice di rigidezza geometrica sono mostrati in figura 10.

Figura 10 - Spostamenti generalizzati uX, momento MY e Reazioni vincolari PX risultanti dall'analisi con spettro di risposta multi-modale (a) senza modifiche della rigidezza da DLC1 e (b) con la matrice di rigidezza geometrica da DLC2

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica conduce a deformazioni e forze interne maggiori. Tuttavia, i carichi equivalenti e le reazioni vincolari sono leggermente minori.

Bibliografia

[1] Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998-1:2004 / A1:2013
[2] Wilson, E. (2002). Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Berkeley, Calif.: Computers and Structures Inc.
[3] Eurocode: Basis of structural design; DIN EN 1990:2010-12
[4] Werkle, H. (2008). Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke (3rd ed.). Wiesbaden: Springer Vieweg.
[5] Manual RF-DYNAM Pro. (2016). Tiefenbach: Dlubal Software. Download...
[6] Schubert, G. (2015). Dlubal RFEM 5 & RSTAB 8 - Import of Axial Forces, Stiffness Modifications and Extra Options in RF-/DYNAM Pro - Natural Vibrations. Tiefenbach: Dlubal Software.
[7] Verification Example 105: Equivalent Loads. (2015). Dlubal Software website. Download...

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