Considerare gli effetti della teoria del secondo ordine nell'analisi dinamica

Articolo tecnico

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Le clausole EN 1998-1 2.2.2 e 4.4.2.2 [1] richiedono per la progettazione allo stato limite ultimo il calcolo tenendo conto della teoria del secondo ordine (effetto P-Δ). Questa influenza può essere trascurata solo se il fattore di sensibilità dello spostamento reciproco del pavimento θ è inferiore a 0,1. Il coefficiente θ è definito come segue:
$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;(1)$$
con
θ = fattore di sensibilità dello spostamento reciproco del pavimento
P tot = forza di peso totale dentro e sopra la storia considerata, considerata nella situazione di progetto del terremoto (vedi Equazione 2)
d r = spostamento reciproco del pavimento determinato come differenza degli spostamenti orizzontali d S nella parte superiore e inferiore della trama considerata; gli spostamenti sono determinati con l'aiuto dello spettro di risposta del progetto lineare con q = 1.0
V tot = forza totale del terremoto della trama considerata, determinata con l'aiuto dello spettro di risposta del progetto lineare
h = altezza della trama

L'influenza della teoria del secondo ordine può essere approssimativamente considerata con un fattore 1/(1 - θ) se 0,1 <θ ≤ 0,2. Per θ> 0,2, la matrice di rigidezza geometrica deve essere presa in considerazione nel calcolo degli autovalori e nel calcolo del metodo dello spettro di risposta multimodale.

Matrice geometrica di rigidezza

Per le analisi dinamiche, i calcoli iterativi per la determinazione non lineare dell'analisi del secondo ordine non sono adatti. Il problema può essere linearizzato ed è sufficientemente accurato utilizzare la matrice di rigidezza geometrica sulla base dei carichi assiali per considerare la teoria del secondo ordine. Si presume che i carichi verticali non cambino a causa di azioni orizzontali e che le deformazioni siano piccole rispetto alle dimensioni dell'edificio [2] . I carichi da considerare devono corrispondere a quelli della situazione di progetto per i terremoti secondo la norma EN 1990, paragrafo 6.4.3.4 [3] :
$${\mathrm E}_\mathrm d\;=\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}\;+\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm\psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;(2)$$
con
E d = valore di progetto delle azioni
G k, j = valore caratteristico di un'azione permanente j
Q k, i = valore caratteristico di un'azione variabile i
Ψ 2, i = coefficiente per valori quasi permanenti di azioni variabili i

Le forze di trazione assiali aumentano la rigidezza, come ad esempio con un cavo precompresso. Le forze di compressione riducono la rigidezza e possono portare a una singolarità nella matrice di rigidezza. La rigidezza geometrica K g non dipende dalle proprietà meccaniche del sistema, ma solo dalla lunghezza L e dalla forza assiale N nell'asta. Per illustrare il problema di base, viene utilizzato un cantilever a fini di semplificazione, come mostrato nella Figura 1. I singoli punti di massa del cantilever rappresentano i singoli piani di un edificio. Verrà effettuata un'analisi dinamica su questo edificio, tenendo conto della teoria del secondo ordine. Le forze assiali N i nelle singole storie i = 1 ... n risultano dalle forze verticali nel terremoto della situazione di progetto (vedere Equazione 2). L'altezza della trama è definita con h i .

Figura 01 - 1 - Reduction of building on cantilever structure. The individual mass points represent storeys. Displacement due to compression normal forces shown in (a) is converted to (b) overturning moments or lateral loads [2].

La matrice di rigidezza geometrica K g può essere derivata dalle condizioni di equilibrio statico:
$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}=\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&-1.0\\-1.0&1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;(3)$$

Per semplificare le cose, qui sono mostrati solo i gradi di libertà degli spostamenti orizzontali. La derivazione mostrata si basa sull'applicazione del momento di offset sulla base di un approccio di spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di piegatura e un'ipotesi esatta per l'elemento di capriata. Una determinazione più accurata della matrice di rigidezza geometrica per le travi di flessione può essere eseguita usando un approccio di spostamento cubico o usando la soluzione analitica dell'equazione differenziale della linea di flessione. Informazioni più dettagliate e derivazioni sono fornite da Werkle [4] . La matrice di rigidezza geometrica K g viene aggiunta alla matrice di rigidezza del sistema K e risulta nella matrice di rigidezza modificata K mod :
K mod = K + K g (4)

Nel caso di forze normali di compressione, ciò comporta di conseguenza una riduzione della rigidezza.

Esempio: Frequenze naturali e analisi dello spettro di risposta multimodale tenendo conto della teoria del secondo ordine

Quanto segue mostra come la matrice di rigidezza geometrica può essere considerata in RFEM e nei moduli aggiuntivi RF-DYNAM Pro. Ad esempio, viene utilizzato il cantilever mostrato in Figura 1. Il cantilever è costituito da cinque punti di massa concentrata. Qui, 4.000 kg ciascuno agiscono nella direzione X globale.

Figura 02 - 2 - Self-weight and imposed loads are summarized as nodal loads and defined in two separate load cases.

La sezione trasversale è un IPE 300 con un materiale S 235 con I y = 8,356 ∙ 10 -5 m 4 ed E = 2,1 ∙ 10 11 N/m 2 . Per considerare la matrice di rigidezza geometrica in un'analisi dinamica, una combinazione di carico per la situazione di progetto del terremoto (vedi Equazione 2) è prima definita nel programma principale RFEM.

Figura 03 - 3 - Definition of the load combination for the seismic design situation (Expression 2) and the resulting axial forces. These axial forces are used to determine the geometric stiffness matrix.

Con RF-DYNAM Pro - vengono determinate le vibrazioni naturali, le frequenze naturali, le forme modali e le masse modali effettive di una struttura; questo può essere fatto prendendo in considerazione varie modifiche della rigidezza (vedere il capitolo 2.4.7 nel manuale di RF-DYNAM Pro [5] e nel Dlubal Blog [6] ). Sono definiti due casi di vibrazione naturale. In ESF2, la CO1 viene importata per considerare la matrice di rigidezza geometrica e quindi per la teoria del secondo ordine. Per confronto, si definisce ESF1; non contiene modifiche di rigidezza.

Figura 04 - 4 - Parameters for Eigenvalue Analysis in RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations

La tabella seguente elenca le frequenze naturali determinate f [Hz], i periodi naturali T [sec] e i valori di accelerazione S a [m/s²], che vengono letti dallo spettro di risposta, con e senza considerare la matrice di rigidezza geometrica K g risultante dalle forze normali di CO1.

Figura 05 - 5 - Natural Frequencies, Periods and Acceleration Values

Nel caso del metodo dello spettro di risposta multimodale, i valori di accelerazione vengono letti dallo spettro di risposta definito per mezzo delle frequenze naturali. Questi valori di accelerazione sono la base per determinare i carichi equivalenti e le forze interne dell'analisi dello spettro di risposta. La rappresentazione grafica dello spettro di risposta definito dall'utente è mostrata nella Figura 6; i valori di accelerazione S a [m/s²] letti dallo spettro di risposta per ogni autovalore sono elencati nella tabella sopra.

Figura 06 - Spettro di risposta definito dall'utente

Per garantire una corretta assegnazione delle frequenze modificate, è necessario assegnare il caso di vibrazione naturale (ESF) corretto nel caso di carico dinamico (DLF).

Figura 07 - Assegnando un caso di vibrazione naturale al caso di carico dinamico per determinare i carichi equivalenti

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta ad una riduzione della frequenza naturale nel caso di forze normali di compressione e può, come in questo esempio, portare a valori di accelerazione corrispondenti inferiori S a . La modifica delle sole frequenze naturali non è sufficiente per considerare la teoria del secondo ordine; piuttosto, può anche portare a risultati più piccoli e quindi trovarsi sul lato incerto. È molto importante utilizzare anche la matrice di rigidezza modificata per determinare le forze interne e le deformazioni. In RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, la rigidezza modificata viene automaticamente utilizzata per determinare i risultati dell'analisi dello spettro di risposta poiché esegue il calcolo all'interno di RF-DYNAM Pro. In RF-DYNAM Pro - Carichi equivalenti, i carichi equivalenti vengono determinati ed esportati nel programma principale RFEM in casi di carico. Pertanto, il calcolo si svolge in parte in RF-DYNAM Pro e in parte in RFEM. La base teorica per il calcolo di carichi equivalenti è disponibile nel manuale di RF-DYNAM Pro [5]. Un esempio di verifica [7] mostra il calcolo su un esempio concreto. I carichi equivalenti determinati, con e senza considerare la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrati in Figura 8.

Figura 08 - Carichi equivalenti dalla deformata modale 1 (a) senza modifiche di rigidezza da DLC1 e (b) con matrice geometrica di rigidezza da DLC2

Esistono molti vantaggi nell'esportazione dei carichi equivalenti, ma è importante un corretto trasferimento della modifica della rigidezza ai casi di carico. I parametri di calcolo dei casi di carico esportati devono essere modificati come mostrato in Figura 9.

Figura 09 - Parametri di calcolo dei casi di carico con carichi equivalenti esportati. Anche la matrice di rigidezza geometrica deve essere considerata qui, per la quale le forze assiali sono importate da CO1

I singoli casi di carico sono sovrapposti con la regola SRSS o CQC. Questo è automaticamente controllato da RF-DYNAM Pro ed esportato in combinazioni di risultati. I risultati, con e senza considerare la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrati in Figura 10.

Figura 10 - Spostamenti generalizzati uX, momento MY e Reazioni vincolari PX risultanti dall'analisi con spettro di risposta multi-modale (a) senza modifiche della rigidezza da DLC1 e (b) con la matrice di rigidezza geometrica da DLC2

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a maggiori deformazioni e forze interne. D'altro canto, i carichi equivalenti agenti e i carichi di supporto risultanti sono leggermente più piccoli, tenendo conto della matrice di rigidezza geometrica.

Letteratura

[1] Eurocodice 8: Progettazione di strutture per la resistenza sismica - Parte 1: Fondamenti, azioni sismiche e regole per gli edifici; EN 1998-1: 2004/A1: 2013
[2] Wilson, E. L .: Analisi statica e dinamica tridimensionale di strutture. Computer e strutture, 2002
[3] Eurocodice: Nozioni di base di ingegneria strutturale; DIN EN 1990: 2010-12
[4] Werkle, H.: Elementi finiti nell'analisi strutturale: Statica e dinamica delle aste e delle strutture di superficie, 3a edizione. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2008
[5] Manuale per l'uso RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, settembre 2016. Scarica ...
[6] Schubert, G.: Dlubal RFEM 5 e RSTAB 8 - Importazione di forze normali, variazioni di rigidezza e opzioni in RF-/DYNAM Pro - Vibrazioni naturali . Tiefenbach: Dlubal Software, maggio 2015
[7] Esempio di verifica 105: Carichi equivalenti. Tiefenbach: Dlubal Software, dicembre 2015. Scarica ...

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