Considerazione degli svincoli tra superfici

Articolo tecnico

L'articolo tratta del collegamento tra superfici con vincoli interni e svincoli delle linee di contorno. Tipici esempi sono i collegamenti delle strutture in cemento armato o i giunti tra i pannelli Xlam nelle strutture di legno.

Figura 01 - Modello reale e modello numerico

Collegamenti alle estremità delle aste

Quando si esegue un'analisi strutturale, i collegamenti di estremità tra aste sono definiti con i vincoli interni. La definizione è portata avanti compatibilmente con il grado di iperstaticità della struttura:
n = r + 3 m - 3 n - h ≥ 0
con
r = reazioni vincolari
m = aste
n = nodi
h = vincoli interni

Quindi, è necessario assegnare sempre un vincolo interno con lo stesso grado di libertà in meno rispetto al numero di aste che convergono in un nodo (h = m - 1). La figura 02 mostra una definizione valida (sopra) e una definizione non valida (sotto).

Figura 02 - Vincoli interni delle aste: sopra corretto, sotto errato

Collegamenti tra superfici

La definizione di collegamenti tra superfici lungo le loro linee di contorno è più complessa, sebbene analoga a quella che si utilizza per le aste. Anche qui, due vincoli interni con gli stessi gradi di libertà generano una struttura labile. A differenza delle aste, le strutture costituite anche da superfici soffrono meno di problemi legati all'instabilità. Ciò è dovuto in parte al fatto che le superfici possono ingobbarsi nel loro piano e non sono più quindi labili. Praticamente, quando si definiscono i vincoli interni in figura 03, la linea ruoterà intorno al proprio asse e la struttura sarà labile.

Figura 03 - Linea cinematica dovuta a due vincoli interni della linea

Collegamento - Strutture in cemento armato

Il caso più semplice di vincoli interni delle linee è il collegamento tra solette in cemento armato. Viene utilizzato di solito per modellare il gap di montaggio necessario nelle strutture di calcestruzzo armato.
In questo caso, nei vincoli interni delle linee vengono rilasciati ux, uy e uz (figura 04). Si raccomanda di rilasciare anche la rotazione della linea in questo caso. Il grado di libertà rilasciato deve essere selezionato per le aste e le superfici con vincoli interni.

Figura 04 - Giunto del sistema strutturale

Giunto semi-rigido  - Strutture in legno

Nelle strutture in legno, ad esempio edifici in Xlam e pannelli a base di legno, si utilizza un collegamento flessibile tra le superfici. Risulta abbastanza semplice considerare una molla lineare tra due superfici utilizzando i vincoli interni delle linee. Tuttavia, la molla nelle strutture di legno è in realtà disponibile nella direzione di trazione della superficie. Nell'area di contatto tra le due superfici, pannelli Xlam o tavole a base di legno, c'è una trasmissione rigida degli sforzi. Ciò comporta che modellare un tale collegamento risulta più complesso perché è necessario prendere in considerazione il comportamento non lineare.

Le proprietà non lineari hanno lo svantaggio di complicare la modellazione geometrica, la valutazione dei risultati, il tempo di calcolo, aumentare il numero delle incertezze, ecc. Di seguito, sarà mostrato come sia possibile considerare un contatto non lineare con i vincoli interni delle linee. La figura 05 mostra una struttura costituita da quattro superfici collegate con giunti semi-rigidi. I modelli sono vincolati esternamente con dei carrelli in ux. Sulla sinistra, le superfici sono collegate con giunti semi-rigidi attraverso delle molle con costanti pari a ux = 100 kN/m² (direzione longitudinale della linea) e uy = 100 kN/m² (perpendicolare alla linea). Sulla destra, le superfici per la direzione longitudinale il valore della costante della molla ux = 100 kN/m² è identico. In uy invece, il collegamento è rigido. In testa, c'è un carico orizzontale pari a 15 kN/m.

Figura 05 - Confronto delle rigidezze

Come è possibile vedere dalla figura 05, gli spostamenti del modello a sinistra sono troppo elevati. Inoltre, le superfici superiori intersecano quelle inferiori. La deformata che si ottiene non è realistica. Invece, la deformata del modello a destra sembra plausibile. La figura 06 mostra il taglio nxy tra le superfici. Il dimensionamento degli irrigidimenti viene eseguito con questo valore. Indipendentemente dai valori, è possibile notare che la tensione tangenziale del modello a sinistra presenta una rottura post-critica in entrambe le direzioni (positiva e negativa). Ciò è dovuto al fatto che sono mostrati i risultati di entrambi i lati delle superfici ed entrambi i lati considerano i vincoli interni. Nel modello a destra, la tensione tangenziale si riduce da centro verso i bordi. Ciò risulta dalla sovrapposizione delle rigidezze delle superfici collegate.

Figura 06 - Tensione tangenziale nxy sul vincolo interno della linea

La figura 07 mostra la forza ny in direzione y. Le forze mostrate sulle linee si riferiscono all'orientamento degli assi locali delle superfici.

Figura 07 - Forza in direzione ny

La direzione della forza è mostrata con le frecce tratteggiate rosse e viola nella figura 07. Il modello a sinistra presenta una distribuzione disturbata della forza assiale sull'asse verticale, che risulta in una rottura post-critica con componenti in trazione nella parte bassa. Il modello a sinistra presenta forze di trazione molto elevante in direzione y quando si considera l'asse orizzontale. L'incremento della forza assiale sull'asse verticale parte da zero e cresce verso il centro nel modello a destra. Le forze sull'asse orizzontale sono trascurabili. La distribuzione della forza nel modello a destra è quindi quella più realistica.

Vincoli interni delle linee e svincoli lineari - Teoria

RFEM offre la possibilità di definire gli svincoli lineari per considerare la non-linearità del modello di cui si è discusso poc'anzi, ad esempio nell'area di trasmissione delle tensioni di contatto.  I vincoli interni delle linee e gli svincoli lineari hanno le stesse basi teoriche. Entrambi sono soggetti alla cosiddetta tecnologia double node. Quando si definisce un rilascio, nei nodi d'origine vengono generati doppi nodi virtuali. Tali nodi vengono poi collegati tra di loro con una molla. Se si definiscono non-linearità aggiuntive (ad esempio contatto a pressione) per la molla, verrà eseguito un allineamento deformativo per verificare se le condizioni sono rispettate. Il termine tecnico per tale procedura è Penalty Method. La figura 08 mostra una vista schematica.

Figura 08 - Penalty Method [1]

È inoltre possibile eseguire l'allineamento sulla base delle forze. La non-linearità mostrata nella figura 08 è controllata dalle forze nella direzione corrispondente. L'equazione 1 mostra una vista schematica del sistema di equazioni per la rigidezza penalty k in N/m. Spiegazioni più dettagliate su tale struttura non fanno parte dello scopo di questo articolo.

Equatione 1:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

L'equatione 2 mostra il sistema di equazioni identico con i moltiplicatori di Lagrange.

Equatione 2:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

I sistemi di equazioni differiscono solo nell'ultima parte con il coefficiente λ. È chiaro che il calcolo con il metodo Penalty e i moltiplicatori di Lagrange portano agli stessi risultati, almeno dopo il primo step. Per strutture più complesse, è meglio utilizzare i moltiplicatori di Lagrange. Dopo il valore iniziale zero, lo schema di iterazione è esteso dai moltiplicatori di Langrange

$\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Svincoli lineari

Quando si definisce uno svincolo lineare in RFEM, è possibile considerare pienamente la non-linearità del modello di questo articolo. Come per il modello rigido con rilascio in ux, una deformazione comparabile si verifica per lo stesso grado di libertà del contatto non-lineare (figura 09).

Figura 09 - Deformazione sullo svincolo lineare

Le azioni interne nxy hanno una distribuzione identica per il collegamento verticale alla struttura con il rilascio di un solo grado di libertà (figura 10). Solo la linea orizzontale cambia sul lato destro del modello perché questa superficie è completamente in compressione.

Figura 10 - Tensione tangenziale sullo svincolo lineare

Definizione del lato della superficie

Indipendentemente dalla scelta di adottare uno svincolo lineare o un vincolo interno della linea, è importante visualizzare il modello correttamente.

Figura 11 - Modello reale

La figura 11 mostra la chiodatura con un pannello di copertura (sinistra) e con un intaglio (destra). La figura 12 mostra il modello strutturale corrispondente. Quando si modella la struttura, è importante rilasciare il grado di libertà ux, e cioè in direzione longitudinale del collegamento, due volte nel modello a sinistra e una sola volta nel modello a destra. A causa della legge di Hooke, il modello sulla sinistra presenta un rilascio doppio.

Figura 12 - Modello numerico

Sommario

Usa gli svincoli lineari o i vincoli interni delle linee per definire il collegamento tra due superfici in RFEM. La valutazione dei risultati e la modellazione sono più facili quando si usano i vincoli interni delle linee. Si potrebbero però avere risultati inaccurati. Oltre alla possibilità di considerare collegamenti tra superfici, gli svincoli lineari consentono anche di modellare il collegamento tra aste e superfici.

Parole chiave

xlam, metodo penalty, moltiplicatori di lagrange

Bibliografia

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

Scarica

Link

Contattaci

Contattaci

Hai domande o hai bisogno di un consiglio?
Contattaci o trova soluzioni e consigli utili nella nostra pagina FAQ.


    +39 051 9525 443

    info@dlubal.it

    RFEM Programma principale
    RFEM 5.xx

    Programma principale

    Software di progettazione strutturale per l'analisi con elementi finiti (FEA) di sistemi strutturali piani e spaziali costituiti da piastre, pareti, gusci, aste (travi), elementi solidi e di contatto

    Prezzo della prima licenza
    3.540,00 USD