Effetti P-Delta e progettazione sismica secondo ASCE 7-16 e NBC 2015

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Quando i carichi gravitazionali agiscono su una struttura, si verifica uno spostamento laterale. A sua volta, un momento di ribaltamento secondario è generato mentre il carico gravitazionale continua ad agire sugli elementi nella posizione spostata lateralmente. Questo effetto è anche noto come "P-Delta (Δ)." Sez. La sezione 12.9.1.6 della Norma ASCE 7-16 e NBC 2015 specifica quando effetti P-Delta devono essere considerati durante un'analisi con spettro di risposta modale.

ASCE 7-16 e Effetti P-Delta

Sez. 12.9.1.6 della norma ASCE 7-16 [1] chiarisce quando gli effetti del P-Delta devono essere considerati quando si calcola un'analisi con spettro di risposta modale per la progettazione sismica. Questa sezione fa inoltre riferimento a Sez. 12.8.7 [1] che afferma che P-Delta non ha bisogno di essere considerato quando il coefficiente di stabilità (θ) determinato dall'equazione sotto è uguale o inferiore a 0.10.

$\mathrm\theta\;=\;\frac{{\mathrm P}_{\mathrm x}\;\cdot\;\mathrm\Delta\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm e}}{{\mathrm V}_{\mathrm x}\;\cdot\;{\mathrm h}_{\mathrm{sx}}\;\cdot\;{\mathrm C}_{\mathrm d}}$

Dove,
P x = carico di progetto verticale totale a e sopra il livello x con tutti i coefficienti di carico pari o inferiori a 1.0
Δ = deriva del progetto di progetto definita nella Sez. 12.8.6 [1] che si verifica con Vx
I e = Fattore di importanza dalla Sez. 11.5.1 [1]
V x = Forza di taglio sismica tra i livelli x ed x-1
h sx = altezza della piano al di sotto del livello x
C d = fattore di amplificazione di deflessione indicato nella tabella 12.2-1 [1]

Lo standard continua a specificare che θ non deve superare il valore inferiore di θ max o di 0,25 dato dall'equazione di seguito, poiché la struttura è potenzialmente pericolosa e dovrebbe essere riprogettata.

${\mathrm\theta}_\max\;=\;\frac{0.5}{\mathrm\beta\;\cdot\;{\mathrm C}_{\mathrm d}}\;\leq\;0.25$

Quando 0.10 ≤ θ ≤ θ max , tutte le forze di spostamento e di aste dovrebbero essere moltiplicate per un fattore di $ \ frac {1.0} {1 \; - \; \ mathrm \ theta} $. In alternativa, gli effetti P-Delta possono essere inclusi in un'analisi automatizzata.

NBC 2015 e Effetti P-Delta

Nella parte 4.1.8.3.8.c della NBC 2015 [2] , si deve considerare solo un breve requisito che gli effetti di oscillazione dovuti all'interazione dei carichi gravitazionali con la struttura deformata dovrebbero essere considerati. Tuttavia, il Commentario NBC 2015 [3] fornisce ulteriori spiegazioni simili alla norma ASCE 7 dove il coefficiente di stabilità (θ x ) al livello x dovrebbe essere calcolato con l'equazione data sotto.

${\mathrm\theta}_{\mathrm x}\;=\;\frac{\sum_{\mathrm i=\mathrm x}^{\mathrm n}{\mathrm W}_{\mathrm i}}{{\mathrm R}_{\mathrm o}\sum_{\mathrm i=\mathrm x}^{\mathrm n}{\mathrm F}_{\mathrm i}}\;\cdot\;\frac{{\mathrm\Delta}_{\mathrm{mx}}}{{\mathrm h}_{\mathrm s}}$

Dove,
ΣW i = porzione del carico fattorizzato più carico live al livello x determinato da Sent. 4.1.8.11. (7) [3]
ΣF i = somma delle forze sismiche laterali di progetto che agiscono al livello x o superiore
R o = fattore di modifica legato alla sovraresistenza
Δ mx = deflessione interstiziale anelastica max definita in Sent. 4.1.8.13. (3) [3]
h s = altezza superfici interne

Quando θ x è minore di 0.10, allora gli effetti P-Delta possono essere ignorati. Quando θ x è maggiore di 0.40, la struttura dovrebbe essere ridisegnata perché considerata pericolosa durante i terremoti estremi. Per 0,10 ≤ θ x ≤ 0,40, le forze e i momenti indotti da sisma possono essere moltiplicati per un fattore di amplificazione di (1 + θ x ) per tenere conto del P-Delta. Non è necessario applicare questo coefficiente di amplificazione agli spostamenti.

Considerazione approssimativa degli effetti P-Delta con i fattori di amplificazione

Il valore del fattore di stabilità deve essere calcolato in entrambe le direzioni orizzontali ortogonali per determinare se il P-Delta è un problema. Se una o entrambe le direzioni richiedono che gli effetti del secondo ordine siano considerati entro gli intervalli specificati, il fattore $ \ frac {1.0} {1 \; - \; \ mathrm \ theta} $ da ASCE 7-16 [1] o ( 1 + θ x ) da NBC 2015 [3] può essere facilmente considerato nei carichi equivalenti a RF-DYNAM Pro. Tutte le forze e / o le deflessioni risultanti saranno amplificate dal valore impostato.

Figura 01 - Considerazione approssimativa degli effetti P-Delta con i fattori di amplificazione in RF-DYNAM PRO - Carichi equivalenti

Considerazione più esatta degli effetti P-Delta con la Matrice di rigidezza geometrica

Sebbene gli effetti secondari possano essere stimati nel modo sopra descritto, si tratta di un approccio più conservativo. Per gli scenari in cui si verificano grandi derive della trama o gli effetti del P-Delta devono essere calcolati con un approccio più preciso, l'influenza delle forze assiali può essere attivata nei moduli RF- / DYNAM Pro.

Quando si esegue un'analisi dinamica, i calcoli iterativi non lineari tipici per gli effetti del secondo ordine quando si considera un'analisi statica non sono più applicabili. Il problema deve essere lineare e si esegue attivando la matrice di rigidezza geometrica durante l'analisi. Con questo approccio, si presume che i carichi verticali non cambino a causa di effetti orizzontali e che gli spostamenti generalizzati siano piccoli se confrontati con le dimensioni generali della struttura.

Il concetto alla base della matrice di rigidezza geometrica è l'effetto di irrigidimento. Le forze assiali di trazione porteranno ad una maggiore rigidezza flessionale di un'asta mentre le forze assiali di compressione porteranno ad una ridotta rigidezza flessionale. Questo può essere facilmente trasportato con l'esempio di un cavo o asta sottile. Quando l'asta subisce una forza di trazione, la rigidezza flessionale è significativamente maggiore di quando l'asta sta subendo una forza di compressione. In caso di compressione, l'asta ha una rigidezza flessionale minima o nulla per sopportare un carico laterale applicato.

La matrice geometrica di rigidezza K g può essere ricavata dalle condizioni di equilibrio statico. Ai fini della semplificazione, qui vengono visualizzati solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale.

$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_{\mathrm i}\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm i}}{{\mathrm h}_{\mathrm i}}\;\cdot\;\begin{bmatrix}1.0&-1.0\\-1.0&1.0\end{bmatrix}\;\cdot\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_{\mathrm i}\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}$

La derivazione mostrata si basa sull'approccio del momento di ribaltamento dovuto all'applicazione dello spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di piegatura e un'assunzione precisa per l'elemento di travatura. Si noti come la matrice dipenda solo dalla lunghezza dell'elemento e dalla forza assiale.

La determinazione più precisa della matrice di rigidezza geometrica per le travi flettenti può essere ottenuta utilizzando l'approccio di spostamento cubico o la soluzione analitica dell'equazione differenziale della linea di piegatura. Ulteriori informazioni sulla teoria e le derivazioni sono fornite da Werkle [4] .

La matrice di rigidezza geometrica K g è aggiunta alla matrice di rigidezza di sistema K, e si ottiene così la matrice di rigidezza modificata K mod :

K mod = K + K g

In caso di forze normali di compressione, ciò comporta la riduzione della rigidezza.

Applicazione della matrice di rigidezza geometrica in RFEM e RF-DYNAM Pro

L'applicazione della riduzione della rigidezza utilizzando la matrice di rigidezza geometrica per considerare gli effetti del secondo ordine (P-Delta) in un'analisi con spettro di risposta è eseguita parzialmente in RFEM e parzialmente in RF-DYNAM Pro.

Un esempio dettagliato per ASCE 7 si può trovare nelle FAQ Come si può considerare l'analisi del secondo sisma per la progettazione sismica? con accesso al download PDF.

Inoltre, il webinar Dlubal: L'analisi con spettro di risposta ASCE 7-16 in RFEM specificatamente alla minuto 52:25 fornirà una visione dettagliata del flusso di lavoro in RFEM e RF-DYNAM Pro per l'applicazione della matrice di rigidezza geometrica per tenere conto degli effetti P-Delta secondo ASCE 7.

Parole chiave

ASCE 7 ASCE 7-16 NBC NBCC NBC 2015 Sismica Terremoto P-Delta P-Δ Effetto secondario Matrice di rigidezza geometrica Coefficiente di stabilità

Riferimento

[1]   ASCE/SEI 7‑16, Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures
[2]   NBC 2015, National Building Code of Canada 2015
[3]   Structural commentaries (User's guide - NBC 2015: part 4 of division B)
[4]   Werkle, H. (2008). Finite Elemente in der Baustatik (3rd ed.). Wiesbaden: Vieweg & Sohn.

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