Método ZPA na análise de espectro de resposta

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Numa análise de espectro de resposta multimodal, é importante determinar um número suficiente de autovalores da estrutura e considerar as respetivas respostas dinâmicas. Regulamentações como a EN 1998-1 [1] e outras normas internacionais exigem a ativação de 90% da massa estrutural. Isto significa: para determinar o maior número de autovalores que a soma do coeficiente da massa modal efetivo é maior 0.9.

Para estruturas muito grandes com muitos graus de liberdade ou estruturas com valores próprios fundamentais na faixa de alta frequência (sistemas de condutas, por exemplo), pode ser difícil cumprir estes requisitos. Nesses casos, a ZPA (Aceleração de período zero) está a ganhar importância. Este método também é capaz de considerar massas nos próprios apoios, o que tem uma influência decisiva nas forças de apoio.

É feita uma distinção entre três intervalos de frequências, os quais são utilizados para categorizar as respostas do sistema de diferentes formas (ver Figura 01): (1) intervalo de baixa frequência, (2) intervalo de média frequência e (3) intervalo de alta frequência

Figura 01 - Aceleração espectral Sa [m / s²] versus frequência natural f [Hz] do espectro de reação de banda estreita de acordo com EN 1998-1 [1]

O intervalo de baixa e média frequência (f <fZPA ) é o intervalo geralmente considerado na dinâmica estrutural. Os edifícios têm frequências naturais dominantes nesta área e, em muitos casos, mais de 90% da massa estrutural é ativada com estes valores próprios. As respostas do sistema na gama de baixas frequências são periódicas e os resultados de vários valores próprios são deslocados de fase. A sobreposição das respostas dos valores próprios individuais é realizada quadraticamente com o SRSS ou melhor com a regra do CQC.

No intervalo de altas frequências (f> fZPA ), as respostas do sistema são pseudo-estáticas, as respostas dos valores próprios individuais têm a mesma fase. A sobreposição modal pode assim ser executada como uma soma algébrica. Em vez de considerar dinamicamente estas altas frequências, é prática comum determinar as massas ativas em falta e adicionar as respostas de todo o intervalo de altas frequências pseudo-estático através do valor de ZPA. O valor de ZPA corresponde ao valor do espectro de resposta para o período T = 0 seg; ZPA = Sa (T = 0). No entanto, um valor definido pelo utilizador para o valor de ZPA também é concebível. Este método é referido como o método ZPA, como método da falta de massa ou correção estática [2, 3, 4] .

As frequências de gama média (fSP <f <fZPA ) fornecem respostas do sistema que são em parte periódica e em parte pseudo-estática. Estas frequências podem ser combinadas com regras de sobreposição especiais, tais como o método de Gupta [2], para explicar o somatório algébrico de contribuições pseudo-estáticas. No entanto, a sobreposição também através de regras quadráticas padrão, tais como a regra CQC.

A frequência fSP (sp = pico espectral) corresponde ao valor máximo da aceleração espectral. A frequência ZPA fZPA (ZPA = Aceleração de período zero) é a frequência mínima com a qual a aceleração atinge aproximadamente o valor de ZPA.

Cálculo de componentes ZPA

Os componentes das massas ativadas em cada nó individual na estrutura podem ser determinados da seguinte forma:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
Onde:
i = 1 ... p = número de valores próprios considerados na análise do espectro de resposta
j = direção da excitação do sismo
mj = (mX, j , mY, j , mZ, j ) = quantidade das massas ativadas em cada nó na direção de excitação j
Γij = fatores da relação para o valor próprio i e a direção da excitação j
ui = (uX , uY , uZ ) T = forma própria do valor próprio i num único nó, normalizada em massa com Mi = ui TMui = 1 kg

A fração de massas ausentes não ativadas em cada nó individual é a diferença para a massa estrutural total e é determinada da seguinte forma:
mj, ausente = 1 - mj

As cargas equivalentes em cada nó e após as deformações e forças internas para a relação de massas não ativadas são determinadas da seguinte forma:
Fj = mj, ausente ∙ ZPAjM
Onde:
Fj = (FX, j , FY, j , FZ, j ) = cargas equivalentes em cada nó para a relação das massas não ativadas resultantes da direção de excitação j
ZPAj = aceleração espectral Sa, j (T = 0) na direção da excitação j
M = (MX , MY , MZ ) = massa nos nós individuais da estrutura

Os resultados dos componentes da ZPA assim determinados são considerados como outro valor próprio na sobreposição modal. A sobreposição com os resultados dos valores próprios considerados dinamicamente pode ser realizada através da regra SRSS ou como uma soma absoluta. A soma absoluta fornece resultados conservadores.

Realização em DYNAM Pro - vibrações forçadas

No DYNAM Pro - Forced Vibrations, a análise ZPA é aplicada quando a caixa de seleção "Aplicar correção estática" está selecionada. A configuração é apresentada na Figura 02.

Figura 02 - Ativação da análise ZPA no DYNAM Pro - Forced Vibrations

No DYNAM Pro, a determinação das massas não ativadas e as cargas equivalentes resultantes são realizadas internamente. O valor de ZPA é definido com o valor do espectro de resposta até o período T = 0 s; ZPA = Sa (T = 0). Os resultados da componente ZPA são sobrepostos como uma soma absoluta com os resultados de valores próprios considerados dinamicamente.

Rt = | RSRSS/CQC | + | R emfalta |
Onde:
Rt = resultados após a sobreposição modal e direcional, incluindo a componente ZPA
RSRSS/CQC = resultados dos valores próprios considerados dinamicamente sobrepostos modalmente com a regra SRSS ou CQC
R emfalta = resultados do componente ZPA

Os resultados após sobreposição são exportados como combinação de resultados para o programa principal RSTAB.

Exemplo

Um cantilever com cinco graus de liberdade demonstra como a análise ZPA é implementada no DYNAM Pro - Forced Vibrations. É considerado um sistema muito simples para permitir a rastreabilidade dos resultados. É selecionada uma secção rígida RO 508,0 x 10,0 com Iy = 48,520 cm 4 em aço S 235 para obter frequências acima do valor de fZPA com a participação de massa relevante. O peso do transportador de 612,3 kg é distribuído uniformemente pelos seis nós (incluindo os nós de apoio). Além disso, é definida uma massa de 1 t no nó 5. As massas e também a excitação do sistema atuam na direção X. A estrutura com distribuição de massa, frequências naturais resultantes e massas modais efetivas é apresentada em conjunto com o espectro de resposta definido pelo utilizador na Figura 03.

Figura 03 - Cantilever com cinco graus de liberdade: distribuição de massa, frequências resultantes e massas modais efetivas

Neste exemplo, o valor de ZPA é Sa = 2,00 m/s 2 . Este é o valor de aceleração para o período T = 0 s. Se o espectro de resposta é comparado com as frequências, a frequência fZPA resulta em 100 Hz quando utiliza a análise de valor marginal. As duas primeiras frequências f1 = 19,8 Hz e f2 = 92,8 Hz estão, portanto, na faixa de frequências médias (ver Figura 01) e são consideradas dinamicamente. As três frequências naturais restantes são de alta frequência e podem ser consideradas com o método ZPA.

Por norma, o cálculo do valor próprio no DYNAM Pro não considera as massas dos apoios fixos. Estas massas não têm influência nas frequências naturais determinadas e só então é possível obter coeficientes de massa modal efetivos de 100%.

No entanto, se a influência das massas nos apoios deve ser explicitamente considerada com o método ZPA, é necessário ativá-los no DYNAM Pro com a configuração apresentada na Figura 04. Neste exemplo, as massas são consideradas nos apoios.

Figura 04 - Configuração de detalhes no DYNAM Pro

A ativação de "Neglect masses" altera a configuração padrão das massas consideradas. Se a tabela "armazenamento de nós" estiver vazia, as massas também são consideradas nos apoios.

A tabela a seguir mostra os fatores de participação ΓX , as proporções das massas ativadas mX , as proporções das massas inativadas mX que estão faltando e as cargas equivalentes resultantes nos seis nós do sistema. As bases de cálculo do método ZPA foram discutidas na secção anterior.

Peso
Mx
Fator de participação
ΓX
forma própria
uX
Componentes de
ativado
Massas
mX
Componentes de
desaparecido
Massas
mX, em falta
Cargas equiv.
FX [N]
Forma 1Forma 2Forma 1Forma 2
161,23  0,078350-0,0562900,32200,678083,03
2122,46  0,056790-0,0085201,1325-0,1325-32,44
3122,4624.1227,850,0361400,0271901,6290-0,6290-154,05
4122,46  0,0181100,0382901,5033-0,5033-123,26
51.122,46  0,0051000,0216700,72660,2734613,82
661,23 Opção para criação automática de padrões de corte a partir de células0,0000000,0000000.00001,0000122,46

As forças de corte, momentos e forças de apoio resultantes destas cargas equivalentes são apresentadas na Figura 05.

Figura 05 - Resultados do método ZPA

Os resultados finais da análise de espectro de resposta multimodal, tendo em conta o método ZPA, resultam dos resultados dos dois primeiros valores próprios (aqui sobrepostos modalmente com a regra SRSS) e dos resultados da componente ZPA (ver Figura 05).

A Figura 06 compara os resultados da análise do espectro de resposta, tendo em conta os dois primeiros valores próprios (DLC e LC2 no modelo) e os resultados finais incluindo o componente ZPA (DLC3 e LC3 no modelo). Ao observar a Figura 05 e a Figura 06, o somatório absoluto utilizado no DYNAM Pro pode ser visto claramente.

Figura 06 - Results of Multi-Modal Response Spectrum Analysis Taking into Account (a) Two Eigenvalues and (b) Two Eigenvalues and ZPA Components

A Figura 07 mostra os resultados da análise do espectro de resposta, tendo em consideração os cinco valores próprios para comparação. O método ZPA considera as massas nos apoios. Isto resulta numa força de apoio maior PX = 2,57 kN. As forças internas estão do lado da segurança devido à sobreposição como uma soma absoluta (compare a Figura 07 com a Figura 06).

Figura 07 - Results of Multi-Modal Response Spectrum Analysis Considering Five Eigenvalues

Resumo

Este exemplo mostrou como o método ZPA é implementado no DYNAM Pro e que os resultados são verificáveis. Este método é útil e recomendado quando frequências de alta frequência da estrutura ativam componentes de massa relevantes e quando estão presentes massas de apoio maiores na estrutura.

Referência

[1] Eurocódigo 8: Dimensionamento de estruturas para resistência ao sismo - Parte 1: Regras gerais, ações sísmicas e regras para edifícios; EN 1998-1: 2004/A1: 2013
[2]Gupta, A. K .: Método do espectro de resposta em análises sísmicas e dimensionamento de estruturas (novas direções em engenharia civil). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3]Morante, R .; Wang, Y .; Chokshi, N .; Kenneally, R .; Norris, W .: Avaliação de métodos de combinação modal para análise de espectro de resposta sísmica. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4]U. S. Comissão de Regulamentação Nuclear: Revisão 3 do Guia de regulamentação (GR) 1.92 - Combinação de respostas modais e componentes espaciais na análise de respostas sísmicas. Washington: NRC, 2012
[5]Manual do RF-/DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, dezembro de 2016. Download

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