Consideração de libertações de extremidades entre superfícies

Artigo técnico

Este documento explica a consideração da conformidade entre superfícies usando junções de linha e lançamentos de linha. Juntas de linha e compartilhamentos de linha levam em consideração as conformidades entre as áreas. Exemplos disso são juntas na construção de concreto armado ou juntas de canto na construção de madeira laminada cruzada.

Figura 01 - Modelação real e sistema estrutural

Libertação de extremidade entre barras

As libertações de extremidades entre barras são definidas através de articulações de barra quando se realiza a modelação e análise estrutural. A definição realizada é comparável à condição de indeterminação estática para obtenção da indeterminação estática da estrutura:
n = r + 3 m - 3 n - h ≥ 0
com
r = reações de apoio
m = barras

n = nós

h = articulações

Portanto, é necessário atribuir sempre menos uma articulação do que barras com o mesmo grau de liberdade (h = m - 1) num nó.
A Figura 02 apresenta uma definição válida (parte superior) e uma definição inválida (parte inferior).

Figura 02 - Barra articulada a barras: correto em cima, errado em baixo

Libertações de extremidades entre superfícies

A definição de libertação de extremidade entre superfícies é mais complexa, mas é o mesmo procedimento como com barras.
Aqui também, duas articulações geram uma estrutura estaticamente indeterminada com grau de liberdade idêntico ao de uma linha.
Contrariamente às barras, as estruturas que incluem superfícies não são tão facilmente instáveis.
Isto deve-se ao facto que as superfícies podem empenar no seu plano e portanto não são mais cinemáticas.
Basicamente, quando definir as articulações na Figura 03, a linha rodará sobre o seu próprio eixo e a estrutura torna-se portanto cinemática.

Figura 03 - Linha cinética devido a duas articulações

Ligação - estruturas em betão

O caso mais simples de articulações de linha é a ligação entre superfícies de betão mencionada acima.
É utilizada para modelar a folga de montagem a qual é muitas vezes necessária nas estruturas em betão.

As articulações lineares ux, uy e uz  são libertadas para este fim (Figura 04). É também recomendada a libertação da rotação da linha neste caso. O grau de liberdade que é liberto tem de ser selecionado para as articulações de barras e superfícies.

Figura 04 - Ligação do sistema estrutural

Ligação semi-rígida - estruturas em madeira

Nas estruturas em madeira, por exemplo em madeira laminada cruzada ou estruturas em painéis de madeira, a separação entre as superfícies é geralmente realizada com a flexibilidade. É bastante fácil considerar uma mola linear entre as duas superfícies através da utilização de uma articulação linear. Contudo, a mola em estruturas de madeira apenas está disponível na direção da tração da superfície. Na área de contacto entre as superfícies, painéis de madeira ou painéis de madeira laminada cruzada resulta uma transmissão da pressão de contacto quase rígida. Assim, modelar tais libertações é muito mais complexo, uma vez que as propriedades não lineares tem de ser consideradas.

As propriedades não lineares tem desvantagens em termos de modelação, avaliação de resultados, duração do cálculo, número de incertezas e muito mais. De seguida, é explicado como é possível considerar a não linearidade da pressão de contacto com articulações de linha lineares. A Figura 05 apresenta uma estrutura constituída por quatro superfícies que se encontram unidas de forma semi-rígida. No nó de apoio, os modelos tem apoios livres em ux. À esquerda, uma superfície é unida de forma semi-rígida com molas fictícias ux = 100 kN/m² (direção longitudinal da linha) e uy = 100 kN/m² (perpendicular à linha). À direita, a direção ux = 100 kN/m² encontra-se unida de forma idêntica. Em uy, a libertação é rígida. Na parte superior, a carga horizontal é de 15 kN/m.

Figura 05 - Comparação das resistências

Como pode verificar na Figura 05, as deformações no modelo da esquerda são demasiado elevadas. Além disso, as superfícies da parte superior intersetam as superfícies da parte inferior. Esta deformação não ocorrerá assim na realidade. Contudo, a deformação do modelo da direita parece ser plausível. A Figura 06 apresenta a extensão de corte nxy entre as superfícies. O dimensionamento dos reforços é realizado para este valor. Independentemente dos valores, pode verificar que a extensão de corte do modelo da esquerda tem sempre uma rotura pós crítica nas duas direções (positiva e negativa). Isto deve-se ao facto de os resultados dos dois lados da superfície serem exibidos e os dois lados consideram a libertação na articulação. A extensão de corte reduz desde o centro em direção ao exterior no modelo da direita. Isto resulta a partir da sobreposição da resistências dentro das superfícies unidas.

Figura 06 - Extensão de corte nxy nas articulações de linha

A Figura 07 apresenta a força na direção ny. As forças exibidas nas linhas referem-se em cada caso à orientação dos eixos locais da superfície.

Figura 07 - Forças na direção ny

A direção da força é exibida com as setas a vermelho e violeta na Figura 07. O modelo da esquerda tem uma força axial distribuída no eixo vertical, o qual ainda resulta numa rotura pós-crítica com componente de tração na parte inferior.

O modelo da esquerda tem elevadas forças de tração na direção y quanto verifica o eixo horizontal.
O incremento de força axial no eixo vertical começa em zero e aumenta em direção ao centro no modelo da direita. As forças no eixo horizontal são muito diminutas. A distribuição de forças no modelo da direita é assim o mais plausível.

Teoria da libertação de linha e articulação de linha

O RFEM oferece a opção para definir as libertações de linha para considerar não linearidades do modelo acima mencionado, por exemplo, na área da transmissão da pressão de contacto. As bases teóricas são as mesmas para articulações de linha e libertações de linha. As duas são sujeitas à tecnologia conhecida como duplo nó. Ao definir a libertação, são gerados nós duplos virtuais nos nós originais. Esses nós são depois ligados entre si através de uma mola. Assim que é definida uma não linearidade adicional (por exemplo, pressão de contacto) na mola, será realizado o alinhamento de uma deformação para verificar se a condição é cumprida. O termo técnico para este método é método da penalização. A Figura 08 apresenta uma vista do esquema.

Figura 08 - Método de penalização [1]

Também é possível realizar o alinhamento baseado na força. A não linearidade apresentada na Figura 08 é controlada pelas forças na direção correspondente. A Equação 1 apresenta uma visão do esquema do sistema de equação para penalização da resistência k em N/m. Derivação adicional, bem como explicação da presente estrutura não estão incluídas neste artigo.

Equação 1:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

A equação 2 apresenta o sistema de equações idêntico com multiplicadores de Lagrange.

Equação 2:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

Os sistemas de equações apenas diferem na última parte pelo factor λ. É agora claro que o cálculo com a penalização ou os multiplicadores de Lagrange levam a resultados idênticos, pelo menos no primeiro passo. Para estruturas mais complexas, é melhor utilizar os multiplicadores de Lagrange. Após o valor inicial de zero, o esquema de iteração é extendido pelos multiplicadores de Lagrange $\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Libertação de linha

Ao definir uma libertação de linha no RFEM é possível considerar totalmente uma não linearidade para o exemplo mencionado acima. Como com o modelo rígido com libertação ux, ocorre uma deformação comparável para a libertação idêntica da pressão de contacto não linear (Figura 09).

Figura 09 - Deformação nas libertações de linha

As forças internas nxy tem uma distribuição de forças internas idênticas em relação à ligação vertical como a estrutura com apenas uma libertação (Figura 10). Apenas a linha horizontal altera no lado direito do modelo porque esta superfície está totalmente sobre pressão.

Figura 10 - Extensão de corte nas libertações de linha

Definir o lado da superfície

Independentemente de selecionar uma libertação de linha ou uma articulação de linha para definir a libertação de extremidade, é importante exibir o modelo de forma apropriada.

Figura 11 - Modelo real

A Figura 11 apresenta o acoplamento com um painel de cobertura (esquerda) e dobra (direita). A Figura 12 apresenta o correspondente modelo estrutural. Quando a estrutura é modelada, é importante definir a libertação em ux, ou seja, na direção longitudinal da ligação, duas vezes à esquerda e apenas uma vez à direita. Devido a lei de Hook, o modelo da esquerda tem o dobro da libertação.

Figura 12 - Sistema estático

Resumo

Utilize a opção da libertação de linha ou articulação de linha no RFEM para considerar a libertação entre superfícies.

A avaliação de resultados e a modelação do sistema são mais fáceis quando calcula com a articulação de linha.
No entanto, tal pode acarretar resultados menos precisos. Além de considerar a libertação entre superfícies, a libertação de linha também oferece a libertação de barras em superfícies.

Palavras-chave

ligadores não-linearidade penalização lagrange

Referência

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

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RFEM 5.xx

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Software de engenharia estrutural para análises de elementos finitos (AEF) de estruturas planas e espaciais constituídas por lajes, paredes, vigas, sólidos e elementos de contacto

Preço de primeira licença
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