Métodos de resolução de equações para cálculos não lineares

Artigo técnico

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Este artigo explica o solucionador de equações para um cálculo não linear com uma iteração de Newton-Raphson.

Introdução

O método dos elementos finitos é utilizado sempre que os problemas mecânicos não podem ser resolvidos analiticamente. Frequentemente, os efeitos não lineares, tais como rotura sob pressão (não linearidade geométrica), plastificações (não linearidade do material) e graus de liberdade de contacto ou cinemáticos também são considerados. Esses efeitos, especialmente para modelos de material não lineares, podem ser considerados através de um método de cálculo iterativo.

Configuração de MEF

Passos básicos para a configuração do MEF (mais informações podem ser encontradas em [1] ):

  1. Forma fraca de equilíbrio

    Forma fraca

    BgradδuσdVnichtlinearer Anteil = Bδu · ρbdV + Bδu · todA

    Δu Deslocamento virtual (de teste)
    t0 Fator de carga inicial
    σdV Esforços internos
    ρbdV Forças sólidas
    B Área integrada
  2. Transformação em notação Voigt com tensor de 4ª ordem

    Forma fraca na notação Voigt

    BδεεdV = BδuTbdVVolumenkräfte + BδuT · t0dAOberflächenkräfte

    C Matriz de rigidez
    δε Variação do estado de deformação
    B Área integrada
    ε deformação
    U deformação

    Esta notação é utilizada a seguir para resolver a solução aproximada da abordagem de EF para materiais não lineares.
  3. Para isso, o campo de deslocamento é multiplicado pelas funções de aproximação.

    Campo de deslocamento através da função de teste

    u(x,t) = H(x)u^(t)

    u (x, t) Deslocamentos ao longo do tempo (incremento de carga)
    h Função de formulário
    û Deslocamentos de nó
  4. Inserir derivada de deslocamento na forma fraca. A integração numérica é utilizada para calcular o deslocamento nodal e as tensões e deformações no pós-processamento através da regra do material.

Sequência de iteração Newton-Raphson

Devido ao comportamento não linear do material, a matriz de material C na Equação 2 acima muda com cada passo de expansão. O método de cálculo padrão para resolver este problema é a chamada iteração de Newton-Raphson. É utilizado para linearizar a função num ponto de partida. Na iteração, é sempre utilizada a matriz de rigidez C do passo preliminar. No passo de iteração linearizado, uma tangente é colocada no zero da função.

As equações pertencentes ao fluxograma da figura acima são as seguintes:

  1. Dividindo a carga em etapas de carga.

    fextt + t = fextt + f

  2. Etapa de previsão

    Previsão do passo

    K0t0φ = fextt+t - fint0t

    K Matriz de rigidez do intervalo de tempo anterior
    t + Δ t fext


    Forças externas aumentadas mais um passo na carga

    0tFint

    Forças internas do intervalo de tempo anterior
    ϕ deformação
  3. No ponto 3, iteração do fluxograma, é calculada a distorção total reduzida pela distorção plástica (passo de correção).

O objetivo do cálculo iterativo é sempre que a soma das cargas seja zero. No entanto, isso não é possível numericamente. Portanto, é definido um limite de interrupção ε no qual o cálculo é interrompido como suficientemente preciso.

Limite de corte

R = fextt + t - fintnt + t < ε

[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK] Limite de corte
fext Forças externas
Fint Esforços internos
ε Limite de interrupção do Epsilon
t Intervalo de tempo

No programa, o limite de interrupção pode ser definido entre os parâmetros de cálculo.

A figura a seguir mostra o fluxo de uma iteração Newton-Raphson. Na primeira iteração

1. Iteração

Rt + t - F0t + t

[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK] Limite de corte
t Intervalo de tempo
f Força

o rompimento R ou ε não é alcançado. O limite de tolerância também não é alcançado na segunda iteração (vermelho). Apenas na terceira iteração, a distância da rigidez tangente é tão pequena que a convergência é alcançada.

Conforme já mencionado, a deformação é continuamente somada durante a iteração.

Resumo

A iteração de Newton-Raphson tem a ordem de consistência ou convergência 2. O número de posições "corretas" na iteração dobra a cada passo. Assim, uma iteração de Newton-Raphson converge quadraticamente e a precisão aumenta a cada iteração quando o método converge. No entanto, se o método não convergir, o erro vai para o infinito e o cálculo é interrompido.

As causas do erro são, por exemplo, uma inclinação da curva de carga-deformação que é muito acentuada e uma inclinação da curva na área plástica que é muito plana. Se a curva de carga-deformação na figura acima mostrasse uma rotura muito forte no segundo passo de iteração, a tangente do material e, portanto, a matriz de rigidez não exibiriam corretamente a inclinação da área elástica. Neste caso, a inclinação da raiz seria incorreta para a área plástica. Esta é uma das razões pelas quais um aumento nos passos de carga é acompanhado por uma convergência melhorada.

Palavras-chave

Convergência Passo de carregamento Intervalo de tempo

Referência

[1]   Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Numerische Mechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013

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  • Atualizado 7 de janeiro de 2021

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