Considerare gli effetti della teoria del secondo ordine nell'analisi dinamica

Der Empfindlichkeitsbeiwert θ ist wie folgt definiert [1]:

Gli effetti del secondo ordine possono essere presi in considerazione approssimativamente con un coefficiente uguale a 1/(1 − θ), se 0.1 < θ ≤ 0.2. Für θ > 0,2 ist die geometrische Steifigkeitsmatrix bei der Berechnung der Eigenwerte und bei der Berechnung des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens zu berücksichtigen.

Geometrische Steifigkeitsmatrix

Für dynamische Analysen sind iterative Berechnungen zur nichtlinearen Bestimmung der Theorie II. Ordnung nicht geeignet. Das Problem kann linearisiert werden und es ist hinreichend genau, die geometrische Steifigkeitsmatrix auf Basis der axialen Lasten zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung heranzuziehen. Dabei wird angenommen, dass die vertikalen Lasten sich aufgrund horizontaler Einwirkungen nicht ändern und die Verformungen klein sind verglichen mit den Gebäudeabmessungen [2]. Die zu berücksichtigenden Lasten sollten denen der Bemessungssituation für Erdbeben nach EN 1990 Abschnitt 6.4.3.4 [3] entsprechen:

Axiale Zugkräfte erhöhen die Steifigkeit, wie beispielsweise bei einem vorgespannten Seil. Druckkräfte setzen die Steifigkeit herab und können zu einer Singularität in der Steifigkeitsmatrix führen. Die geometrische Steifigkeit K_g ist nicht abhängig von den mechanischen Eigenschaften des Systems, sondern nur von Länge L und Normalkraft N im Stab. Um das grundlegende Problem darzustellen, wird vereinfachend auf einen Kragarm zurückgegriffen, dieser ist in Bild 1 dargestellt. I singoli punti di massa dello sbalzo rappresentano i singoli piani di un edificio. An diesem Gebäude soll eine dynamische Analyse unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung durchgeführt werden. Die Normalkräfte N_i in den einzelnen Geschossen i = 1…n ergeben sich aus den Vertikalkräften in der Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2). Die Geschosshöhe ist mit h_i definiert.

Riduzione dell'edificio in una struttura a sbalzo I singoli punti di massa rappresentano piani. L'inflessione dovuta alle normali forze di compressione mostrate in (a) è (b) convertita in momenti equivalenti di spostamento o forze di taglio [2]

Die geometrische Steifigkeitsmatrix K_g kann über die statischen Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet werden:

A scopo di semplificazione, qui vengono visualizzati solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale. La derivazione mostrata si basa sull'approccio del momento ribaltante dovuto all'applicazione dello spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di flessione e un'ipotesi accurata per l'elemento biella. Eine genauere Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix für Biegebalken kann unter Verwendung eines kubischen Verschiebungsansatzes oder mit Hilfe der analytischen Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie erfolgen. Genauere Informationen und Herleitungen werden von Werkle [4] bereitgestellt. Die geometrische Steifigkeitsmatrix K_g wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix K_mod:
K_mod = K + K_g (4)

Im Falle von Drucknormalkräften führt dies folglich zu einer Verringerung der Steifigkeit.

Esempio: Eigenfrequenzen und multi-modales Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung

Nachfolgend wird gezeigt, wie die geometrische Steifigkeitsmatrix in RFEM und den Zusatzmodulen RF-DYNAM Pro berücksichtigt werden kann. Als Beispiel wird der in Bild 1 dargestellte Kragarm verwendet. Der Kragarm besteht aus fünf konzentrierten Massepunkten. Qui, 4.000 kg agiscono in ogni caso nella direzione X globale.

Il peso proprio e i carichi variabili sono combinati come carichi nodali e definiti in due casi di carico separati

La sezione trasversale è IPE 300 in materiale S 235 con I_y = 8,356 ∙ 10^-5 m⁴ ed E = 2.1 ∙ 10¹¹ N/m². Um die geometrische Steifigkeitsmatrix bei einer dynamischen Analyse berücksichtigen zu können, wird zunächst im Hauptprogramm RFEM eine Lastkombination für die Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2) definiert.

Definizione di una combinazione di carico per la situazione di progetto sismico (Equazione 2) e le forze assiali risultanti. These axial forces are used to determine the geometric stiffness matrix.

Mit RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen werden Eigenfrequenzen, Eigenformen und effektive Modalmassen einer Struktur ermittelt, dies kann unter Berücksichtigung verschiedenster Steifigkeitsmodifikationen geschehen (siehe Kapitel 2.4.7 im RF-DYNAM Pro Handbuch [5] und im Dlubal-Blog [6]). Zwei Eigenschwingungsfälle sind definiert. Im ESF2 wird die LK1 zur Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix und damit zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung importiert. Zum Vergleich ist der ESF1 definiert, dieser enthält keine Steifigkeitsmodifikationen.

Parametri per la determinazione degli autovalori in RF -DYNAM Pro - Natural Vibrations

In der nachstehenden Tabelle sind die ermittelten Eigenfrequenzen f [Hz], Eigenperioden T [sec] und die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte S_a [m/s²], mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix K_g resultierend aus den Normalkräften aus LK1, aufgelistet.

Frequenze naturali, periodi naturali e valori di accelerazione

L'analisi dello spettro di risposta multimodale utilizza le frequenze naturali per determinare i valori di accelerazione dallo spettro di risposta definito. Diese Beschleunigungswerte sind Grundlage für die Ermittlung der Ersatzlasten und Schnittgrößen des Antwortspektrenverfahrens. Die grafische Darstellung des benutzerdefinierten Antwortspektrums ist in Bild 6 gezeigt, die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte S_a [m/s²] für jeden Eigenwert sind in vorstehender Tabelle gelistet.

Spettro di risposta definito dall'utente

Um eine richtige Zuordnung der modifizierten Frequenzen sicherzustellen, muss der richtige Eigenschwingungsfall (ESF) im Dynamischen Lastfall (DLF) zugewiesen werden.

Assegnando un caso di vibrazione naturale al caso di carico dinamico per determinare i carichi equivalenti

Nel caso di forze assiali di compressione, la considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta alla riduzione della frequenza naturale e può causare valori di accelerazione S_a, come nel nostro esempio. Die Modifikation der Eigenfrequenzen alleine reicht nicht aus, um die Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, vielmehr kann dies sogar zu kleineren Ergebnissen führen und damit auf der unsicheren Seite liegen. È molto importante utilizzare anche la matrice di rigidezza modificata per la determinazione delle forze interne e degli spostamenti generalizzati. In RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die modifizierte Steifigkeit automatisch zur Ermittlung der Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens verwendet, da hier die Berechnung innerhalb von RF-DYNAM Pro stattfindet. In RF-DYNAM Pro - Ersatzlasten werden Ersatzlasten ermittelt und in Lastfälle ins Hauptprogramm RFEM exportiert. Die Berechnung findet damit teilweise in RF-DYNAM Pro und teilweise in RFEM statt. Theoretische Hintergründe zur Berechnung der Ersatzlasten finden sich im RF-DYNAM Pro Handbuch [5]. Ein Verifikationsbeispiel [7] zeigt die Berechnung an einem konkreten Beispiel. Die ermittelten Ersatzlasten, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 8 dargestellt.

Carichi equivalenti per la prima forma modale (a) senza variazioni di rigidezza da DLC1 e (b) Tenendo conto della matrice di rigidezza geometrica da DLC2

Der Export der Ersatzlasten hat viele Vorteile, aber eine korrekte Übernahme der Steifigkeitsmodifikation in die Lastfälle ist wichtig. Die Berechnungsparameter der exportierten Lastfälle müssen, wie in Bild 9 gezeigt, modifiziert werden.

Parametri di calcolo dei casi di carico con carichi equivalenti esportati: Die geometrische Steifigkeitsmatrix muss auch hier berücksichtigt werden, dafür werden Normalkräfte aus der LK1 importiert

Die einzelnen Lastfälle werden mit der SRSS- oder CQC-Regel überlagert. Dies wird automatisch von RF-DYNAM Pro gesteuert und in Ergebniskombinationen exportiert. Die Ergebnisse, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 10 dargestellt.

Spostamenti generalizzati u_X, momento M_Y e reazioni vincolari P_X risultanti dal metodo dello spettro di risposta multimodale (a) senza variazioni di rigidezza da DLC1 e (b) tenendo conto della matrice di rigidezza geometrica da DLC2

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a spostamenti generalizzati e forze interne maggiori. Die angreifenden Ersatzlasten und resultierenden Auflagerlasten hingegen sind etwas kleiner unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix.

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