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004551

1. Januar 0001

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7 Allgemeine Funktionen

8 Beispiele

9 Literatur

8.1 Stabilität

Für eine Stütze mit Doppelbiegung werden Stabilitätsuntersuchungen für Biegeknicken und Biegedrillknicken mit den Interaktionsbedingungen geführt.

Bemessungswerte

System und Belastung

Tabelle 8.0 System und Bemessungslasten (γ-fach)
Bild 8.1 System und Belastung	Bemessungswerte der statischen Lasten N_d = 300 kN q_z,d = 5 kN/m F_y,d = 7.5 kN

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

Nachweisstelle (maßgebende x-Stelle)

Der Nachweis wird für alle x-Stellen (siehe Kapitel 4.5) des Ersatzstabes geführt. Die maßgebende Stelle liegt bei x = 2.00 m. RFEM bzw. RSTAB ermittelt folgende Schnittgrößen:

Tabelle 8.1 Schnittgrößen
N	M_y	M_z	V_y	V_z
-300.00 kN	10.00 kNm	7.50 kNm	3.75 kN	0.00 kN

Querschnittswerte HE-B 160, S 235

Tabelle 8.2 Querschnittswerte HE-B 160, S 235
Querschnittsgröße	Symbol	Wert	Einheit
Querschnittsfläche	A	54.30	cm²
Trägheitsmoment	I_y	2490.00	cm⁴
Trägheitsmoment	I_z	889.00	cm⁴
Trägheitsradius	i_y	6.78	cm
Trägheitsradius	i_z	4.05	cm
Polarer Trägheitsradius	i_p	7.90	cm
Polarer Trägheitsradius	i_p,M	41.90	cm
Querschnittsgewicht	G	42.63	kg/m
Torsionsträgheitsmoment	I_T	31.40	cm⁴
Wölbwiderstand	I_ω	47940.00	cm⁶
Widerstandsmoment	W_y	311.00	cm³
Widerstandsmoment	W_z	111.00	cm³
Plastisches Widerstandsmoment	W_pl,y	354.00	cm³
Plastisches Widerstandsmoment	W_pl,z	169.96	cm³
Knicklinie	KL_y	b
Knicklinie	KL_z	c

Biegeknicken um schwache Achse (⊥ zur z-z Achse)

$N_{c r, z} = \frac{21000 \cdot 889.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 1151.60 kN$

${\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, z}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{1151.60}} = 1.053 > 0.2$

→ Nachweis Biegeknicken muss geführt werden

Profilgeometrie: h/b = 1.00 ≤ 1.2; Baustahl S 235; t ≤ 100 mm

[1] Tabelle 6.2, Zeile 3, Spalte 4: Knicklinie c
⇒ α_z = 0.49 ([1] Tabelle 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.49 \cdot (1.053 - 0.2) + 1 . 053^{2}] = 1.263$

$χ_{z} = \frac{1}{1.263 + \sqrt{1 . 263^{2} - 1 . 053^{2}}} = 0.510$

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.510 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.461$

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Tabelle 8.3 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
I_z	889.00	cm⁴
Effektive Stablänge	L_cr,z	4.000	m
Ideale Verzweigungslast	N_cr,z	1151.60	kN
Schlankheitsgrad	λ_z	1.053		> 0.2	6.3.1.2(4)
Knicklinie	KL_z	c			Tab. 6.2
Imperfektionsbeiwert	α_z	0.490			Tab. 6.1
Hilfsbeiwert	Φ_z	1.263			6.3.1.2(1)
Abminderungsbeiwert	χ_z	0.510			Gl. (6.49)

Biegeknicken um starke Achse (⊥ zur y-y Achse)

$N_{c r, y} = \frac{21000 \cdot 2490.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 3225.51 kN$

${\bar{λ}}_{y} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, y}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{3225.51}} = 0.629 > 0.2$

→ Nachweis Biegeknicken muss geführt werden

Profilgeometrie: h/b = 1.00 ≤ 1.2; Baustahl S 235; t ≤ 100 mm

[1] Tabelle 6.2, Zeile 3, Spalte 4: Knicklinie b
⇒ α_y = 0.34 ([1] Tabelle 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.629 - 0.2) + 0 . 629^{2}] = 0.771$

$χ_{y} = \frac{1}{0.771 + \sqrt{0 . 771^{2} - 0 . 629^{2}}} = 0.822$

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.822 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.286$

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Tabelle 8.4 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
Flächenträgheitsmoment	I_y	2490.00	cm⁴
Effektive Stablänge	L_cr,y	4.000	m
Ideale Verzweigungslast	N_cr,y	3225.51	kN
Querschnittsfläche	A	54.30	cm²
Streckgrenze	f_y	23.50	kN/cm²		3.2.1
Schlankheitsgrad	λ_y	0.629		> 0.2	6.3.1.2(4)
Knicklinie	KL_y	b			Tab. 6.2
Imperfektionsbeiwert	α_y	0.340			Tab. 6.1
Hilfsbeiwert	Φ_y	0.771			6.3.1.2(1)
Abminderungsbeiwert	χ_y	0.822			Gl. (6.49)

Biegedrillknicken

Ideales Biegedrillknickmoment

Für dieses Beispiel wird das ideale Biegedrillknickmoment nach dem Nationalen Anhang Österreichs bestimmt. Dabei wird eine gelenkige und wölbfreie Lagerung vorausgesetzt.

Der Lastangriffspunkt wird im Schubmittelpunkt angenommen (der Ansatzpunkt für Querlasten kann im Dialog Details angepasst werden, vgl. Kapitel 3.1.2).

$M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{z}} + \frac{l^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}}$

$M_{cr} = 1.13 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}{400^{2}} \cdot \sqrt{\frac{47940}{889} + \frac{400^{2} \cdot 8100 \cdot 31.40}{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}} = 215.71 kNm$

Das Programm gibt auch M_cr,0 aus, welches sich für einen konstanten Momentenverlauf ermittelt.

Bei den x-stellenweisen Ergebnissen werden auch die Werte M_cr,x ausgegeben. Hier handelt es sich um die idealen Biegedrillknickmomente an den x-Stellen, die auf das ideale Biegedrillknickmoment an der Stelle des maximalen Moments bezogen sind. Mit M_cr,x wird dann der bezogene Schlankheitsgrad ƛ_LT berechnet.

Schlankheitsgrad für Biegedrillknicken

Berechnung nach [1] Abschnitt 6.3.2.2 für Stelle des maximalen Moments bei x = 2.00 m:

HEB-160, Querschnittsklasse 1: W_y = W_pl,y = 354.00 cm³

${\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{354 \cdot 23.5}{215.71}} = 0.621$

Abminderungsfaktor χ_LT

Berechnung gemäß [1] Abschnitt 6.3.2.3

HEB-160: h/b = 1.0 < 2.0 ⇒ Knicklinie b nach [1] Tabelle 6.5

Hilfsbeiwert:

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT, 0}) + β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]$

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.621 - 0.40) + 0.75 \cdot 0 . 621^{2}] = 0.682$

Grenzschlankheitsgrad:

$λ_{LT, 0} = 0.40$

Parameter (Mindestwert):

$β = 0.75$

Imperfektionsbeiwert gemäß [1] Tabelle 6.3:

$α_{LT} = 0.34$

$χ_{LT} = \frac{1}{Φ_{LT} + \sqrt{Φ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}} = \frac{1}{0.682 + \sqrt{0 . 682^{2} - 0.75 \cdot 0 . 621^{2}}} = 0.908$

Nach [1] Abschnitt 6.3.2.3 darf der Abminderungsfaktor wie folgt modifiziert werden:

$χ_{LT,mod} = \frac{χ_{L T}}{f} mit f = 1 - 0.5 \cdot (1 - k_{c}) \cdot [1 - 2.0 \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - 0 . 8^{2})]$

$χ_{LT,mod} = \frac{0.908}{0.972} = 0.934$

Korrekturbeiwert k_c nach [1] Tabelle 6.6 für parabelförmige Momentenverteilung:

$k_{c} = 0.94$

$f = 1 - 0.5 \cdot (1 - 0.94) \cdot [1 - 2.0 \cdot (0.621 - 0.8)^{2}] = 0.972$

Interaktionsbeiwerte k_yy und k_yz

Ermittlung gemäß [6], Anhang B, Tabelle B2 für verdrehweiche Bauteile

Der äquivalente Momentenbeiwert C_mLT ergibt sich gemäß Tabelle B3 für ψ = 0 zu:

$C_{m y} = C_{m L T} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{y y} = C_{m y} \cdot (1 + ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m y} \cdot (1 + 0.8 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{y y} = 0.95 \cdot (1 + (0.629 - 0.2) \cdot 0.286) \leq 0.95 \cdot (1 + 0.8 \cdot 0.286) = 1.067 \leq 1.167$

$k_{y z} = 0.60 \cdot k_{z z} = 0.60 \cdot 1.481 = 0.888$

Interaktionsbeiwerte k_zy und k_zz

Ermittlung gemäß [1] Anhang B, Tabelle B2 für verdrehweiche Bauteile

Der äquivalente Momentenbeiwert C_mLT ergibt sich gemäß Tabelle B3 für ψ = 0 zu:

$C_{m z} = 0.90 + 0.01 \cdot α_{h} = 0.90 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot {\bar{λ}}_{z}}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \geq (1 - \frac{0.1}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot 1.053}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) \geq (1 - \frac{0.1}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) = 0.892 \leq 0.934$

$k_{z y} = 0.934$

$k_{z z} = C_{m z} \cdot (1 + (2 \cdot {\bar{λ}}_{z} - 0.6) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m z} \cdot (1 + 1.4 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z z} = 0.90 \cdot (1 + (2 \cdot 1.053 - 0.6) \cdot 0.461) \leq 0.90 \cdot (1 + 1.4 \cdot 0.461) = 1.525 \geq 1.481$

$k_{z z} = 1.481$

Interaktionsnachweis für Knicken um starke Achse und Biegedrillknicken

Nach [1] Gl. (6.61) muss folgende Anforderung erfüllt sein:

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{y y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{y z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

mit

$M_{y, R k} = W_{p l, y} \cdot f_{y} = 354 \cdot 23.5 = 8319 kNcm = 83.19 kNm$

$M_{z, R k} = W_{p l, z} \cdot f_{y} = 169.96 \cdot 23.5 = 3994.1 kNcm = 39.94 kNm$

$\frac{300}{0.822 \cdot 1276.05 / 1.0} + 1.067 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 0.888 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.594 \leq 1$

Interaktionsnachweis für Knicken um schwache Achse und Biegedrillknicken

Nach [1] Gl. (6.62) muss folgende Anforderung erfüllt sein:

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{z y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{z z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$\frac{300}{0.510 \cdot 1276.05 / 1.0} + 0.934 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 1.481 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.863 \leq 1$

Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung

Tabelle 8.5 Ergebnisse der RF-/STAHL EC3-Berechnung
Profilhöhe	h	160.0	mm
Profilbreite	b	160.0	mm
Kriterium	h/b	1.00		≤ 2	Tab. 6.5
Knicklinie	KL_LT	b			Tab. 6.5
Imperfektionsbeiwert	α_LT	0.340			Tab. 6.3
Schubmodul	G	8100.00	kN/cm³
Längenbeiwert	k_z	1.000
Längenbeiwert	k_w	1.000
Länge	L	4.000	m
Wölbwiderstand	I_w	47940.00	cm⁶
Torsionsträgheitsmoment	I_t	31.40	cm⁴
Ideales Biegedrillknickmoment für Ermittlung des bezogenen Schlankheitsgrades	M_cr,0	190.90	kNm
Momentenverlauf	Diagr M_y	6) Parabel
Maximales Feldmoment	M_y,max	10.00	kNm
Randmoment	M_y,A	0.00	kNm
Momentenverhältnis	ψ	0.000
Momentenbeiwert	C₁	1.130			[2]
Ideales Biegedrillknickmoment	M_cr	215.71	kNm
Widerstandsmoment	W_y	354.00	cm³
Schlankheitsgrad	λ_LT	0.621			6.3.2.2(1)
Parameter	λ_LT,0	0.400			6.3.2.3(1)
Parameter	β	0.750			6.3.2.3(1)
Hilfsbeiwert	φ_LT	0.682			6.3.2.3(1)
Abminderungsbeiwert	χ_LT	0.908			Gl. (6.57)
Korrekturbeiwert	k_c	0.940			6.3.2.3(2)
Modifikationsfaktor	f	0.972			6.3.2.3(2)
Abminderungsbeiwert	χ_LT,mod	0.934			Gl. (6.58)
Momentenverlauf	Diagr M_y	3) Max im Feld			Tab. B.3
Momentenfaktor	ψ_y	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,y	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,y	10.00	kNm		Tab. B.3
Verhältnis M_h,y / M_s,y	α_h,y	0.000			Tab. B.3
Lasttyp	Last z	Gleichlast			Tab. B.3
Momentenbeiwert	C_my	0.950			Tab. B.3
Momentenverlauf	Diagr M_z	3) Max im Feld			Tab. B.3
Momentenfaktor	ψ_z	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,z	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,z	7.50	kNm		Tab. B.3
Verhältnis M_h,z / M_s,z	α_h,z	0.000			Tab. B.3
Lasttyp	Last y	Einzellast			Tab. B.3
Momentenbeiwert	C_mz	0.900			Tab. B.3
Momentenverlauf	Diagr M_y,LT	3) Max im Feld			Tab. B.3
Momentenfaktor	ψ_y,LT	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,y,LT	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,y,LT	10.00	kNm		Tab. B.3
Verhältnis M_h,y,LT / M_s,y,LT	α_h,y,LT	0.000			Tab. B.3
Lasttyp	Last z	Gleichlast			Tab. B.3
Momentenbeiwert	C_mLT	0.950			Tab. B.3
Bauteiltyp	Bauteil	verdreh- weich
Interaktionsbeiwert	k_yy	1.067			Tab. B.2
Interaktionsbeiwert	k_yz	0.888			Tab. A.1
Interaktionsbeiwert	k_zy	0.934			Tab. A.1
Interaktionsbeiwert	k_zz	1.481			Tab. A.1
Normalkraft (Druck)	N_Ed	300.00	kN
Maßgebende Querschnittsfläche	A_i	54.30	cm²		Tab. 6.7
Druckbeanspruchbarkeit	N_Rk	1276.05	kN		Tab. 6.7
Teilsicherheitsbeiwert	γ_M1	1.000			6.1
Nachweiskomponente für N	γ_Ny	0.29		≤ 1	Gl. (6.61)
Nachweiskomponente für N	h_Nz	0.46		≤ 1	Gl. (6.62)
Moment	M_y,Ed	10.00	kNm
Momentenbeanspruchbarkeit	M_y,Rk	83.19	kNm		Tab. 6.7
Momentenkomponente	η_My	0.13			Gl. (6.61)
Moment	M_z,Ed	7.50	kNm
Widerstandsmoment	W_Z	169.96	cm³
Momentenbeanspruchbarkeit	M_z,Rk	39.94	kNm		Tab. 6.7
Momentenkomponente	η_Mz	0.19			Gl. (6.61)
Nachweis 1	η₁	0.59		≤ 1	Gl. (6.61)
Nachweis 2	η₂	0.86		≤ 1	Gl. (6.62)

Literatur

[1]	Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
[6]	Johannes Naumes, Isabell Strohmann, Dieter Ungermann und Gerhard Sedlacek. Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau nach Eurocode 3. Stahlbau, 77, 2008.

Übergeordnetes Kapitel

8 Beispiele