Leis de material ortotrópico

a lei de Hooke é geralmente incluída para materiais ortotrópicos

deformação transversal

Os seguintes parâmetros do material referem-se à rigidez bidimensional e, salvo indicação em contrário, ao material madeira. Um sistema de eixos local é a base, conforme apresentado na Figura 01.

• E_x = rigidez na direção x local da superfície
• E y = rigidez na direção y local da superfície
• G_xz = rigidez de corte na direção x local da superfície (direção da espessura da laje)
• G_yz = rigidez de corte na direção y local da superfície (direção da espessura da laje)
• G_xy = área de rigidez de corte no plano
• ν_xy = deformação transversal na direção x
• ν_yx = deformação transversal na direção y

As tensões na Figura 02 estão relacionadas com as rigidezes aqui mencionadas.

tensões de corte

A lei dos materiais está sujeita às seguintes regras.

Equação 1:

Equação 2:

Equação 3:

Equação 4 (rigidezes no plano da área):

A relação das deformações nas equações mencionadas acima destaca as relações na Figura 01.

A rigidez na área do plano é calculada como se segue.

Equação 5:

Deformação transversal ν

Como explicado na Figura 01, as deformações e tensões alteradas nesta direção resultam do comportamento do material mais suave na respetiva direção.

Relação das deformações:

Equação 6:

Equação 7:

Pergunta simples – resposta rápida:

Equação 8:

Equação 9:

Equação 10:

Equação 11:

Equação 12:

Equação 13:

Matriz de rigidez

Cálculo da matriz de rigidez global da placa.

Equação 14:

Componentes de flexão:

Equação 15:

Equação 16:

Equação 17:

Equação 18:

Componentes de membrana:

Equação 19:

Equação 20:

Equação 21:

Equação 22:

Componentes de corte:

Equação 23:

Equação 24:

Um pré-requisito para estas equações é que a matriz de rigidez seja definida como positiva, isto é, que todos os valores próprios da matriz sejam positivos.

Por esta razão, o RFEM verifica, entre outras coisas, a definição da extensão transversal de acordo com a seguinte equação.

Equação 25:

Exemplo

O comportamento do material ortotrópico será explicado com base no seguinte exemplo (Figura 03). Um material ortotrópico será comparado com um material isotrópico. Além disso, a rigidez da placa ortotrópica será definida com a rigidez elevada nas direções x e na direção y.

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Sistema

Estrutura:

• Espessura da placa 200 mm
• Material C 24
• Rigidezes ortotrópicas
  
  $\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}} = 1.100,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{y}} = 37,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{y}} = 6,9 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{x}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{xy}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{xy}} = 2,52\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{yx}} = 0,085\end{array}$

  Fórmula 29
• Rigidezes isotrópicas
  
  $\begin{array}{l}\mathrm{E} = 1.100 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{G} = 500 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{\nu } = 0,1\end{array}$

  Fórmula 30
• Dimensão w = 2,0 m, l = 4,0 m
• Carga 20 kN/m²
• Tamanho da malha de EF 50 cm

A estrutura é suportada como fixada de forma rígida na direção vertical z. As condições de apoio nas direções x e y foram selecionadas de tal forma que não ocorrem efeitos devido à restrição.

O cálculo é realizado de acorco com a análise estática linear com comportamento de material elástico linear e condições de apoio.

A seguinte deformação transversal resulta da lei de Hooke, em conjunto com os valores dados.

Equação 26:

Esta deformação transversal elevada não é possível com o modelo de material selecionado. Com as equações de [1] , os valores podem, contudo ser ajustados.

Equação 27:

Equação 28:

Equação 29:

Equação 30:

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Superfícies com rigidez

Resultados:
Conforme esperado, as maiores deformações ocorrem com a orientação da rigidez na direção y (Figura 06). A reação de apoio e o momento da placa isotrópica são apresentados na Figura 05.

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Resultados de material isotrópico

a placa com rigidez elevada na direção y (E_y = 1100 kN/cm²) tem resistência elevada nesta direção, as reações de apoio também são mais altas (125,4 kNm em comparação com 58,3 kNm).

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Deformações e reações de apoio de placas ortotrópicas

Os momentos de flexão máximos resultantes para as placas ortotrópicas são iguais para m_x com a rigidez na direção x e para m_y com uma rigidez elevada na direção y.

Para a laje com rigidez elevada na direção y, o momento fletor máximo m_y encontra-se quase no centro da laje (Figura 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Variação da deformação transversal

A deformação transversal de acordo com os diagramas de deformação pode atingir os valores máximo e mínimo listados na tabela para um material de resistência C24.

A placa introduzida no início com a rigidez elevada (E_x = 11 000) será definida com estas deformações transversais elevadas para este propósito. As outras rigidezes da laje, no entanto, permanecem inalteradas.

A Figura 08 mostra os resultados da variação de ν_xy = 5,44 até -5,44.

Para ν_xy = 5,44, as reações de apoio são qualitativamente idênticas ao comportamento do material isotrópico. O momento fletor aumenta de m_x = 18,1 kNm/m (placa isotrópica) para m_x = 34,9 kNm/m (placa ortotrópica).

Em comparação com a placa ortotrópica com deformações transversais comuns (ν_xy = 2,5), o momento fletor é ligeiramente reduzido.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, meio: νxy = 0, direita: νxy = -5,44)

Com ν_xy = 0, a amplitude alta da reação de apoio na extremidade livre da placa é deslocada para um valor constante de 43 kN/m.

O momento m_x aumenta para 38,1 kNm/m. Comparada com o resultado anterior (ν_xy =5,44), a influência da deformação transversal é apresentada aqui. Para ν =0, não é causada qualquer deformação ou distorção devido à extensão transversal.

Para ν_xy = -5,44, ocorre uma rotura pós-crítica na extremidade da placa livre e as reações de apoio tornam-se negativas. O momento máximo ocorre com 59,5 kNm/m no centro da placa.

A placa agora comporta-se mais do que uma placa sujeita a tensão uniaxial, sem o terceiro apoio na direção longitudinal.

Este comportamento pode ser explicado com base na Figura 01 e na relação aí listada.

Devido à elevada deformação transversal negativa (ν_xy = -5,44), a placa está completamente comprimida na borda livre e, portanto, não pode ser deformada.

A influência da ortotropia na direção_y é quase nula aqui (Ey ≈ 0).

Conclusão

Quase todos os parâmetros de material podem ser definidos com o modelo de material ortotrópico no RFEM. São possíveis resultados muito diferentes com a variação das deformações transversais. Uma deformação transversal após a modificação dos valores de acordo com [1] resulta em valores que se encontram próximos da solução para uma viga de vão único.

Equação 31:

As deformações transversais negativas demasiado elevadas indicam um sistema estrutural alterado que já não corresponde à modelação.