Plastické deformace představují materiálové vlastnosti, které vyžadují nelineární analýzu. Analýzu lze provést v programu RFEM ve spojení s přídavným modulem RF-MAT NL pro zohlednění pružně-plastického chování materiálu. Kromě podmínky plasticity podle von Misese jsou k dispozici také Trescova, Drucker-Pragerova a Mohr-Coulombova hypotéza přetvoření. U tažných materiálů jako ocel se doporučuje teorie plasticity podle von Misese. Podle ní pro obecnou prostorovou napjatost platí:
Bližší informace o hypotézách napětí lze najít na následujících odkazech:
https://www.dlubal.com/cs/stahovani-a-informace/dokumenty/online-manualy/rfem-5/08/22
https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung
Možnosti plastické analýzy v programu RFEM a modulu RF-MAT NL předvedeme na jednoduchém modelu s jednoosým zatížením.
Příklad taženého zkušebního tělesa
Zkušební těleso namáhané v tahu je z oceli S 235 a jeho rozměry vidíme na obr. 01. Na jednom konci je zadáno vetknutí. Model vytvoříme jako plochu s 2D prvky.
Vzhledem k velmi malým rozměrům zkušebního tělesa vybereme velikost sítě konečných prvků 1 mm. Posoudit se mají pouze napětí od namáhání v tahu lineární analýzou; stabilitní analýza se neprovádí.
Namáhání v tahu až do meze kluzu
Síla potřebná k dosažení meze kluzu se pro daný model určí následovně:
N = fy · A = 235 N/mm² · (10 mm · 3 mm) = 7 050 N
Bude se uvažovat na konci zkušebního tělesa jako liniové zatížení:
7 050 N / 14 mm = 503,57 N/mm = 503,57 kN/m
Zatěžovací stav 1 se nejdříve vypočítá lineární analýzou se standardním materiálovým modelem izotropním lineárně elastickým. Vlastní tíha se nezohledňuje.
Pro zobrazení srovnávacích napětí podle von Misese vybereme průběh výsledků „Konstantní v prvcích“. Nedochází tak k vyhlazení přes hranice prvků. Z obr. 02 je zřejmé, že napětí na mezi kluzu 235 N/mm² je překročeno v oblastech redukovaného průřezu. Výsledky proto neodrážejí průběhy napětí při tahové zkoušce se zplastizováním.
Pro realistický výpočet je vhodný materiálový model „Izotropní plastický 2D/3D“, který lze použít s licencí pro RF-MAT NL. V případě tohoto materiálového modelu se v pružné oblasti chová materiál jako izotropní. Plastická oblast vychází z podmínek plasticity Misesovy hypotézy s mezí kluzu srovnávacího napětí 235 N/mm². Výpočet probíhá iteračně s postupným zvyšováním zatížení. Použijeme přitom volbu „Počet přírůstků zatížení pro Newton-Raphsonovu metodu určit automaticky“, kterou lze aktivovat v parametrech výpočtu v programu RFEM u materiálů s nelineárním modelem. Lze tak zajistit požadovanou přesnost výsledků při relativně krátké době výpočtu.
Na obr. 03 jsou znázorněna napětí a stupeň nelinearity (podíl zplastizovaných prvků) nelineárního materiálového modelu. Mez kluzu 235 N/mm² není v žádném prvku překročena. Výpočtový diagram ukazuje průběh deformace během iterací.
Zvýšení zatížení a mez kluzu
V ZS 2 se „zatížení na mezi kluzu“ mírně zvyšuje z 503,57 kN/m na 505,00 kN/m. Výsledkem výpočtu je výrazné celkové přetvoření zkušebního tělesa 8,29 mm (pro srovnání: 0,10 mm v ZS 1). Ke konvergenci nicméně stále ještě dochází, v neposlední řadě také vlivem modulu zpevnění Ep = 2,1 N/mm² (viz článek Parametry zpevnění v nelineárních materiálových modelech). Oslabená oblast průřezu se nachází zcela v plastickém stavu.
Při pružně-plastickém výpočtu se celkové přetvoření ε rozdělí na pružnou složku εel a plastickou složku εpl. ε = εel + εpl. Toto rozdělení však platí pouze za předpokladu, že plastická přetvoření jsou malá. V tomto případě lze uvažovat přibližně εpl < 0,1 (viz COMSOL® Learning Center). Pokud jsou plastická přetvoření příliš velká, je třeba výsledky plastické analýzy hodnotit opatrně.
Změna délky ve ztenčené oblasti (za předpokladu: l = 38 mm) vlivem pružného přetvoření činí:
εel = σ / E = 235 N/mm² / 210 000 N/mm² = 0,00119
∆lel = 0,00119 · 38 mm = 0,04 mm
Tuto deformaci lze také zkontrolovat v tabulce „4.2 Deformace uzlů“ na základě rozdílu posunů uX v uzlech 4 a 5 v ZS 1.
V ZS 2 lze z posunů v těchto uzlech určit následující plastické přetvoření:
εpl = (∆ltot - ∆lel) / l = (8,24 mm - 0,05 mm - 0,04 mm) / 38 mm = 0,21 > 0,1
Tím jsou překročeny meze nelineárního materiálového modelu. Pro srovnání jsou provedeny další analýzy na 3D modelu taženého zkušebního tělesa, který zachycuje prostorovou složku v modelu tělesa.
Model tělesa
V 3D modelu zadáme také velikost sítě prvků 1 mm. Máme tak po tloušťce průřezu tři objemové konečné prvky.
Síla 7 050 N, která je potřebná k dosažení meze kluzu (viz výše), se bude uvažovat jako plošné zatížení na konci zkušebního tělesa. Stanoví se následovně:
7 050 N / (14 mm · 3 mm) = 167,857 N/mm² = 167 857 kN/m²
Jak vidíme na obr. 05, srovnávací napětí tělesa a stupeň nelinearity v ZS 1 potvrzují výsledky plošného modelu.
Výsledkem výpočtu ZS 2 - s ekvivalentním plošným zatížením 168 333 kN/m² - je menší celková deformace 0,22 mm v modelu tělesa ve srovnání s deformací 8,29 mm v plošném modelu. Ve výpočtovém diagramu lze ovšem také nelineární účinky zplastizování materiálu dobře rozpoznat.
Jak vidíme na obr. 06, tvar deformace (v nadvýšení) odráží začátek zužování včetně příčné deformace.
Model tělesa tak představuje zajímavou alternativu pro modelování procesu zplastizování. Teprve zatížení asi 177 900 kN/m² by zde vedlo k deformaci 8,29 mm jako v ZS 2 v plošném modelu. To odpovídá zvýšení zatížení na mezi kluzu o 6% (plošný model: 0,3 %).
Porovnání modelu se skutečným chováním materiálu by bylo možné nakonec provést pokusem s tahovou zkouškou.
Závěr
Na jednoduchém příkladu jsme si ukázali, jak lze v programu RFEM modelovat a analyzovat nelineární zákonitosti materiálu. Pro modelování lze použít jak plošné prvky, tak tělesa. V zásadě se doporučuje model tělesa, pokud je důležitý vliv tloušťky prvku. U relativně štíhlých objektů je ovšem první volbou plošný model; klade také menší nároky na modelování a výpočet.
Plastické vlastnosti materiálu, jako například tečení, lze modelovat pomocí přídavného modulu RF-MAT NL. V tomto případě může také uživatel zadávat pracovní diagramy na základě empiricky stanovených údajů. V našem příkladu jsme použili standardní diagram s přednastaveným součinitelem zpevnění.
Pomocí nelineárních materiálových modelů lze modelovat také redistribuční účinky v modelu například vlivem plastických kloubů. Pokud jde o plastické účinky, je třeba výsledky například u velkých deformací - zejména podle teorie III. řádu - hodnotit opatrně.
Další vysvětlení a příklady lze najít v databázi znalostí a FAQ na níže uvedených odkazech.
Databáze znalostí
.jpg?mw=350&hash=91f398b559b26a6ac36fd7ecdf5e395e7b9b856d)
.png?mw=600&hash=49b6a289915d28aa461360f7308b092631b1446e)
