Nelineární materiálový model Poškození

  • Databáze znalostí

Odborný článek

V našem předchozím příspěvku se zabýváme materiálovým modelem Izotropní nelineární elastický. Existuje ovšem mnoho materiálů, které nevykazují čistě symetrické nelineární chování. Také pravidla, která pro tečení formulovali von Mises, Drucker-Prager a Mohr-Coulomb a o kterých se v předchozím příspěvku zmiňujeme, se v tomto směru omezují na plochu plasticity v prostoru hlavních napětí.

Obr. 01

Proto tato pravidla tečení umožňují modelovat jen čistě pružno-plastické chování. Pro materiály, které podléhají procesu poškození například vlivem trhlin, je vhodnější materiálový model Poškození. Dobrým příkladem takového materiálu je beton, který vykazuje podstatně vyšší pevnost v tlaku než v tahu. Trhliny, které vznikají v tahové oblasti materiálu, snižují tuhost konstrukce. U vyztuženého betonu nebo drátkobetonu přebírá tahová napětí v takovém případě výztuž.

Teoretické pozadí

Nelineární materiálové modely jsou obecně založeny na posunu tělesa v aktuálním přetvořeném prostoru do referenční konfigurace bez napětí (viz obr. 02). Podrobnější informace na toto téma naleznete například v [2].

Obr. 02

Tenzor přetvoření udává deformace lokálního prvku v referenčním systému. Přetvoření v nedeformovaném referenčním systému se přitom odvozuje z Green-Langrandeova tenzoru přetvoření E = ½ ∙ (FT ∙ F - 1) a přetvoření v lokálním souřadném systému z Euler-Almasiho tenzoru přetvoření e = ½ ∙ (I - b-1). Dílčí integrací se z obou přetvoření vyvodí lineární deformace ε = ½ ∙ (H + HT), z které lze při zohlednění Cauchyho teorému a Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí vypočítat nominální napětí na tělese. Pomocí bilančních rovnic kontinua tak můžeme vyjádřit míru volné energie.

Bilanční rovnice kontinua:

  • Bilance hmotnosti nám říká, že hmotnost systému zůstává stejná i při přetvoření.

    Vzorec 1

    m = Btρdν (verformtes System) = B0dV (Referenzsystem) = konstant

  • Bilance hybnosti jako časová změna celkové hybnosti

    Vzorec 2

    ddtBtρẋdν = Btρbdν (Volumenkräfte)  δBttda (Oberflächenkräfte)

  • Bilance momentu hybnosti jako změna rychlosti celkové hybnosti

    Vzorec 3

    ddt Btρx · ẋdν = Btρ (x · b)   δBtx · td

  • První termodynamický zákon: celková energie tělesa zůstává zachována.

    Vzorec 4

    ddtBt(u  12 ·  · ) ρdν = Btρr  b · ẋdν  δBtt ·  - q · nda


    kinetická energie = mechanický výkon + povrchové napětí
  • Druhý termodynamický zákon: při přechodu do jiné roviny se uvolňuje energie (teplo).

    Vzorec 5

    ddtBtρsdν  Btρ rθ ν - δBt1θ q · nda

Stavové rovnice (konstituční rovnice) popisují materiálový vztah mezi tělesy. Vnitřními proměnnými (volná energie ψ, měrná entropie s, Cauchyho tenzor napětí σ, vektor tepelného toku q) se zohledňuje poškození v materiálovém modelu. V této souvislosti hraje důležitou úlohu také „paměť“ materiálu, tedy jeho časově závislé chování. Zohledňuje se kinematickým a izotropním zpevněním. S ohledem na poškození materiálu se složka deformace rozloží na pružnou a plastickou složku. Plastická složka se dále rozdělí na kinematickou a izotropní složku.
ε = εe + εp → εp = εiso + εkin

V příspěvku o nelineárním elastickém materiálovém chování jsme již uvedli, že funkce plasticity pro zohlednění účinků poškození závisí na neměnnosti tenzoru napětí. Konkrétně funkce plasticity podléhá omezující Kuhn-Tuckerově podmínce, která říká, že veškeré napěťové stavy v prostoru hlavních napětí jsou menší než 0, a tudíž jsou pružné. Napětí vně tohoto prostoru jsou nepřípustná a promítají se zpět na plochu plasticity v opravném kroku (predikční a korekční krok). Tento výpočet probíhá jako zkušební funkce, což vyžaduje nelineární Newton-Raphsonovu metodu výpočtu.

Obr. 03

Funkce plasticity (z [4]) v materiálovém modelu Poškození rozlišuje mezi namáháním materiálu v tahu a namáháním v tlaku:

Vzorec 6

d+ = g+ = 1 - r0+r+ · (1 - A+) + A+ exp B+ · 1 - r+r0+ (rovnice 54, tah)d- = g- = 1 - r0-r- · (1 - A-) + A- exp B- · 1 - r-r0- (rovnice 58, tlak) d+/- = r+/- · h+/-  0

Přitom r představuje míru energie a h je zpevnění. Proměnné A a B vyjadřují poškození materiálu. Uplatňuje se přitom také podobně jako v následující kapitole pracovní diagram v prostoru hlavních napětí.

Poškození v programu RFEM

Po základním úvodu do problematiky se nyní budeme zabývat materiálovým modelem v programu RFEM. V našem příspěvku bylo možné poskytnout pouze rámcový vhled do tématu, a do jisté míry tak mohou chybět souvislosti. Doporučujeme proto podrobnější literaturu jako např. [2].

Vzhledem k nelineární metodě výpočtu s opravným krokem je třeba provést v první úrovni diagramu lineárně pružný výpočet. Při řešení v programu RFEM přitom přetvoření v druhé úrovni diagramu závisí na modulu pružnosti, který byl stanoven v dialogu pro zadání materiálu, a dále na definovaném mezním napětí (viz obr. 04).

Obr. 04 - Zadání pracovního diagramu v programu RFEM

Pro přetvoření přitom platí Hookův zákon ε = σ/E. Po tomto prvním pružném predikčním kroku lze přistoupit k téměř libovolnému nesymetrickému zadání pracovního diagramu. Modul pružnosti materiálu přitom může být také záporný, neboť se zpětně stanoví z následujícího vztahu:

Vzorec 7

σi - σi-1εi - εi-1 = E

Protože je ovšem modul pružnosti zapotřebí pouze pro zpětný výpočet, připouští se tu také absolutní hodnota modulu. Výpočet s opravnou iterací vede u materiálového modelu Poškození k tomu, že tuhost systému se tak dlouho snižuje, až se nepřenáší žádné napětí v žádném prvku sítě KP. Přetvoření v prvku přitom mohou být značně velká.

Shrnutí

Materiálový model Poškození umožňuje nelineární výpočet s nesymetrickými, téměř libovolnými vztahy mezi napětím a přetvořením. I při poškození materiálu zůstává systém ale nadále kontinuem. To znamená, že v systému nevznikají trhliny. Numerická náročnost by ovšem byla v tomto případě značná. Například by bylo zapotřebí nové zesíťování systému s takzvanou adaptivní sítí konečných prvků. V důsledku uvedených omezení může docházet k velkým přetvořením v systému.

V případě výrazného přetvoření by měl uživatel systém rozdělit. Může k tomu například použít kontaktní tělesa s odpovídající podobnou mezí kluzu. Dále se plastické přetvoření prvku při použití tohoto materiálového modelu nezohledňuje, což může být zvlášť v tlačené oblasti výhodné. Pro řešení běžného problému, jímž je beton poškozený trhlinami v tažené oblasti, je tento materiálový model dostatečně přesný.

Literatura

[1]Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis, 2. vydání. Berlín: Beuth, 2013
[2] Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2015
[3]  Altenbach, H.: Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3. vydání. Berlín: Springer, 2015
[4] Hürkamp, A.: Micro-Mechanically Based Damage Analysis of Ultra High Performance Fibre Reinforced Concrete Structures with Uncertainties. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013
[5]Wu, J. Y.; Li J.; Faria R.: An energy release rate-based plastic-damage model for concrete, International Journal of Solids and Structures 43, str. 583 - 612. Amsterdam: Elsevier, 2006

Autor

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Vývoj produktů a péče o zákazníky

Ing. Kuhn je zodpovědný za vývoj produktů pro dřevěné konstrukce a poskytuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Napište komentář...

Napište komentář...

  • Navštíveno 756x
  • Aktualizováno 10. listopadu 2020

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD