Nelineární materiálový model Poškození

Zpět do Databáze znalostí

Obr. 01 - Plochy tečení v programu RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb)

Obr. 02 - Kinematický vztah mezi referenční a aktuální konfigurací (zdroj: [1])

Obr. 03 - Grafické znázornění plochy tečení v prostoru hlavního napětí

Obr. 04 - Zadání pracovního diagramu v programu RFEM

Odborný článek

001461 12. července 2017 Odborný článek Bastian Kuhn Modelování | Konstrukce RFEM Železobetonové konstrukce Nelineární analýza

V našem předchozím příspěvku se zabýváme materiálových modelem Izotropní nelineární elastický. Existuje ovšem mnoho materiálů, které nevykazují čistě symetrické nelineární chování. Také pravidla, která pro tečení formulovali von Mises, Drucker-Prager a Mohr-Coulomb a o kterých se v předchozím příspěvku zmiňujeme, se v tomto směru omezují na plochu plasticity v prostoru hlavních napětí.

Obr. 01 - Plochy tečení v programu RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb)

Proto tato pravidla tečení umožňují modelovat jen čistě pružno-plastické chování. Pro materiály, které podléhají procesu poškození například vlivem trhlin, je vhodnější materiálový model Poškození. Dobrým příkladem takového materiálu je beton, který vykazuje podstatně vyšší pevnost v tlaku než v tahu. Trhliny, které vznikají v tahové oblasti materiálu, snižují tuhost konstrukce. U vyztuženého betonu nebo drátkobetonu přebírá tahová napětí v takovém případě výztuž.

Teoretické pozadí

Nelineární materiálové modely jsou obecně založeny na posunu tělesa v aktuálním přetvořeném prostoru do referenční konfigurace bez napětí (viz obr. 02). Podrobnější informace na toto téma naleznete například v [2].

Obr. 02 - Kinematický vztah mezi referenční a aktuální konfigurací (zdroj: [1])

Tenzor přetvoření udává deformace lokálního prvku v referenčním systému. Přetvoření v nedeformovaném referenčním systému se přitom odvozuje z Green-Langrandeova tenzoru přetvoření E = ½ ∙ (F^T ∙ F - 1) a přetvoření v lokálním souřadném systému z Euler-Almasiho tenzoru přetvoření e = ½ ∙ (I - b^-1). Dílčí integrací se z obou přetvoření vyvodí lineární deformace ε = ½ ∙ (H + H^T), z které lze při zohlednění Cauchyho teorému a Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí vypočítat nominální napětí na tělese. Pomocí bilančních rovnic kontinua tak můžeme vyjádřit míru volné energie.

Bilanční rovnice kontinua:

• Bilance hmotnosti nám říká, že hmotnost systému zůstává stejná i při přetvoření.
$$\mathrm m\;=\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρdν}\;(\mathrm{přetvořený}\;\mathrm{systém})\;=\;\int_{\mathrm B0}\mathrm{dV}\;(\mathrm{referenční systém})\;=\;\mathrm{konstantní}$$
Bilance hybnosti jako časová změna celkové hybnosti
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm{dt}}\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρẋdν}\;=\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρbdν}\;(\mathrm{objemové síly})\;+\;\int_\mathrm{δBt}\mathrm{tda}\;(\mathrm{síly na povrchu})$$
Bilance momentu hybnosti jako změna rychlosti celkové hybnosti
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm{dt}}\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρx}\;\cdot\;\mathrm{ẋdν}\;=\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm\rho\;(\mathrm x\;\cdot\;\mathrm b)\;\mathrm{dν}\;+\;\int_\mathrm{δBt}\mathrm x\;\cdot\;\mathrm{td}$$
1. hlavní věta termodynamiky: celková energie tělesa zůstává zachována.
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm{dt}}\int_\mathrm{Bt}(\mathrm u\;+\;\frac12\;\cdot\;\mathrm ẋ\;\cdot\;\mathrm ẋ)\;\mathrm{ρdν}\;=\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρr}\;+\;\mathrm b\;\cdot\;\mathrm{ẋdν}\;+\;\int_\mathrm{δBt}\mathrm t\;\cdot\;\mathrm ẋ\;-\;\mathrm q\;\cdot\;\mathrm{nda}$$
kinetická energie = mechanický výkon + napětí na povrchu
2. hlavní věta termodynamiky: při přechodu do jiné roviny se uvolňuje energie (teplo).
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm{dt}}\int_\mathrm{Bt}\mathrm{ρsdν}\;\geq\;\int_\mathrm{Bt}\mathrm\rho\;\frac{\mathrm r}{\mathrm\theta}\;\mathrm\nu\;-\;\int_\mathrm{δBt}\frac1{\mathrm\theta}\;\mathrm q\;\cdot\;\mathrm{nda}$$

Stavovými rovnicemi (konstitutivními rovnicemi) se zavádí materiálová závislost těles. Vnitřními proměnnými (volná energie ψ, specifická entropie s, Cauchyho tenzor napětí σ, vektor tepelného toku q) se zohledňuje poškození v materiálovém modelu. V této souvislosti hraje důležitou úlohu také „paměť“ materiálu, tedy jeho časově závislé chování. Zohledňuje se kinematickým a izotropním zpevněním. S ohledem na poškození materiálu se složka deformace přídatně rozloží na pružnou a plastickou složku. Plastická složka se dále rozdělí na kinematickou a izotropní složku.
ε = ε^e + ε^p → ε^p = ε^iso + ε^kin

V příspěvku k nelineárnímu elastickému materiálovému chování jsme již uvedli, že funkce plasticity pro zohlednění účinků poškození závisí na neměnnosti tenzoru napětí. Konkrétně funkce plasticity podléhá omezující Kuhn-Tuckerově podmínce, která říká, že veškeré napěťové stavy v prostoru hlavních napětí jsou menší než 0, a tudíž jsou pružné. Napětí vně tohoto prostoru jsou nepřípustná a promítají se zpět na plochu plasticity v opravném kroku (predikční a korekční krok). Tento výpočet probíhá jako zkušební funkce, což vyžaduje nelineární Newton-Raphsonovu metodu výpočtu.

Obr. 03 - Grafické znázornění plochy tečení v prostoru hlavního napětí

Funkce plasticity (z [4]) v materiálovém modelu Poškození rozlišuje mezi namáháním materiálu v tahu a namáháním v tlaku:
$$\begin{array}{l}\mathrm d^+\;=\;\mathrm g^+\;=\;1\;-\;\frac{\mathrm r_0^+}{\mathrm r^+}\;\cdot\;\left\{(1\;-\;\mathrm A^+)\;+\;\mathrm A^+\;\exp\;\left[\mathrm B^+\;\cdot\;\left(1\;-\;\frac{\mathrm r^+}{\mathrm r_0^+}\right)\right]\right\}\;(\mathrm{rovnice}\;54,\;\mathrm{tah})\\\mathrm d^-\;=\;\mathrm g^-\;=\;1\;-\;\frac{\mathrm r_0^-}{\mathrm r^-}\;\cdot\;\left\{(1\;-\;\mathrm A^-)\;+\;\mathrm A^-\;\exp\;\left[\mathrm B^-\;\cdot\;\left(1\;-\;\frac{\mathrm r^-}{\mathrm r_0^-}\right)\right]\right\}\;(\mathrm{rovnice}\;58,\;\mathrm{tlak})\\\rightarrow\;\mathrm d^{+/-}\;=\;\mathrm r^{+/-}\;\cdot\;\mathrm h^{+/-}\;\leq\;0\end{array}$$

r tu představuje míru energie a h zpevnění. Proměnné A a B vyjadřují poškození materiálu. Uplatňuje se přitom také podobně jako v následující kapitole pracovní diagram v prostoru hlavních napětí.

Poškození v programu RFEM

Po základním úvodu do problematiky se nyní budeme zabývat materiálovým modelem v programu RFEM. V našem příspěvku bylo možné poskytnout pouze rámcový vhled do tématu, a do jisté míry tak mohou chybět souvislosti. Doporučujeme proto podrobnější literaturu jako např. [2].

Vzhledem k nelineární metodě výpočtu s opravným krokem je třeba provést v první úrovni diagramu lineárně pružný výpočet. Při řešení v programu RFEM přitom přetvoření v druhé úrovni diagramu závisí na modulu pružnosti, který byl stanoven v dialogu pro zadání materiálu, a dále na definovaném mezním napětí (viz obr. 04).

Obr. 04 - Zadání pracovního diagramu v programu RFEM

Pro přetvoření přitom platí Hookův zákon ε = σ / E. Po tomto prvním pružném predikčním kroku lze přistoupit k téměř libovolnému nesymetrickému zadání pracovního diagramu. Modul pružnosti materiálu přitom může být také záporný, neboť se zpětně stanoví z následujícího vztahu:
$$\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm i\;-\;{\mathrm\sigma}_{\mathrm i-1}}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm i\;-\;{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm i-1}}\;=\;\mathrm E$$

Protože je ovšem modul pružnosti zapotřebí pouze pro zpětný výpočet, připouští se tu také absolutní hodnota modulu. Výpočet s opravnou iterací vede u materiálového modelu Poškození k tomu, že tuhost systému se tak dlouho snižuje, až se nepřenáší žádné napětí v žádném prvku sítě KP. Přetvoření v prvku přitom mohou být značně velká.

Shrnutí

Materiálový model Poškození umožňuje nelineární výpočet s nesymetrickými, téměř libovolnými vztahy mezi napětím a přetvořením. I při poškození materiálu zůstává systém ale nadále kontinuem. To znamená, že v systému nevznikají trhliny. Numerická náročnost by ovšem byla v tomto případě značná. Například by bylo zapotřebí nové zesíťování systému s takzvanou adaptivní sítí konečných prvků. V důsledku uvedených omezení může docházet k velkým přetvořením v systému.

V případě výrazného přetvoření by měl uživatel systém rozdělit. Může k tomu například použít kontaktní tělesa s odpovídající podobnou mezí kluzu. Dále se plastické přetvoření prvku při použití tohoto materiálového modelu nezohledňuje, což může být zvlášť v tlačené oblasti výhodné. Pro řešení běžného problému, jímž je beton poškozený trhlinami v tažené oblasti, je tento materiálový model dostatečně přesný.

Literatura

[1]	Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis, 2. vydání. Berlín: Beuth, 2013
[2]	Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2015
[3]	Altenbach, H.: Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3. vydání. Berlín: Springer, 2015
[4]	Hürkamp, A.: Micro-Mechanically Based Damage Analysis of Ultra High Performance Fibre Reinforced Concrete Structures with Uncertainties. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013
[5]	Wu, J. Y.; Li J.; Faria R.: An energy release rate-based plastic-damage model for concrete, International Journal of Solids and Structures 43, str. 583 - 612. Amsterdam: Elsevier, 2006