Nelineární materiálový model Poškození

12. července 2017

001461

V našem předchozím příspěvku se zabýváme materiálovým modelem Izotropní nelineární elastický. Existuje ovšem mnoho materiálů, které nevykazují čistě symetrické nelineární chování. Také pravidla, která pro tečení formulovali von Mises, Drucker-Prager a Mohr-Coulomb a o kterých se v předchozím příspěvku zmiňujeme, se v tomto směru omezují na plochu plasticity v prostoru hlavních napětí.

Obr. 01

Proto tato pravidla tečení umožňují modelovat jen čistě pružno-plastické chování. Pro materiály, které podléhají procesu poškození například vlivem trhlin, je vhodnější materiálový model Poškození. Dobrým příkladem takového materiálu je beton, který vykazuje podstatně vyšší pevnost v tlaku než v tahu. Trhliny, které vznikají v tahové oblasti materiálu, snižují tuhost konstrukce. U vyztuženého betonu nebo drátkobetonu přebírá tahová napětí v takovém případě výztuž.

Teoretické pozadí

Nelineární materiálové modely jsou obecně založeny na posunu tělesa v aktuálním přetvořeném prostoru do referenční konfigurace bez napětí (viz obr. 02). Podrobnější informace na toto téma naleznete například v [2].

Obr. 02

Tenzor přetvoření udává deformace lokálního prvku v referenčním systému. Přetvoření v nedeformovaném referenčním systému se přitom odvozuje z Green-Langrandeova tenzoru přetvoření E = ½ ∙ (F^T ∙ F - 1) a přetvoření v lokálním souřadném systému z Euler-Almasiho tenzoru přetvoření e = ½ ∙ (I - b^-1). Dílčí integrací se z obou přetvoření vyvodí lineární deformace ε = ½ ∙ (H + H^T), z které lze při zohlednění Cauchyho teorému a Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí vypočítat nominální napětí na tělese. Pomocí bilančních rovnic kontinua tak můžeme vyjádřit míru volné energie.

Bilanční rovnice kontinua:

Bilance hmotnosti nám říká, že hmotnost systému zůstává stejná i při přetvoření.

Vzorec 1

$m = \int_{Bt} ρdν (verformtes System) = \int_{B 0} dV (Referenzsystem) = konstant$
Bilance hybnosti jako časová změna celkové hybnosti

Vzorec 2

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρẋdν = \int_{Bt} ρbdν (Volumenkräfte) \int_{δBt} tda (Oberflächenkräfte)$
Bilance momentu hybnosti jako změna rychlosti celkové hybnosti

Vzorec 3

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρx \cdot ẋdν = \int_{Bt} ρ (x \cdot b) dν \int_{δBt} x \cdot td$
První termodynamický zákon: celková energie tělesa zůstává zachována.

Vzorec 4

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} (u \frac{1}{2} \cdot ẋ \cdot ẋ) ρdν = \int_{Bt} ρr b \cdot ẋdν \int_{δBt} t \cdot ẋ - q \cdot nda$

kinetická energie = mechanický výkon + povrchové napětí
Druhý termodynamický zákon: při přechodu do jiné roviny se uvolňuje energie (teplo).

Vzorec 5

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρsdν \geq \int_{Bt} ρ \frac{r}{θ} ν - \int_{δBt} \frac{1}{θ} q \cdot nda$

Stavové rovnice (konstituční rovnice) popisují materiálový vztah mezi tělesy. Vnitřními proměnnými (volná energie ψ, měrná entropie s, Cauchyho tenzor napětí σ, vektor tepelného toku q) se zohledňuje poškození v materiálovém modelu. V této souvislosti hraje důležitou úlohu také „paměť“ materiálu, tedy jeho časově závislé chování. Zohledňuje se kinematickým a izotropním zpevněním. S ohledem na poškození materiálu se složka deformace rozloží na pružnou a plastickou složku. Plastická složka se dále rozdělí na kinematickou a izotropní složku.
ε = ε^e + ε^p → ε^p = ε^iso + ε^kin

V příspěvku o nelineárním elastickém materiálovém chování jsme již uvedli, že funkce plasticity pro zohlednění účinků poškození závisí na neměnnosti tenzoru napětí. Konkrétně funkce plasticity podléhá omezující Kuhn-Tuckerově podmínce, která říká, že veškeré napěťové stavy v prostoru hlavních napětí jsou menší než 0, a tudíž jsou pružné. Napětí vně tohoto prostoru jsou nepřípustná a promítají se zpět na plochu plasticity v opravném kroku (predikční a korekční krok). Tento výpočet probíhá jako zkušební funkce, což vyžaduje nelineární Newton-Raphsonovu metodu výpočtu.

Obr. 03

Funkce plasticity (z [4]) v materiálovém modelu Poškození rozlišuje mezi namáháním materiálu v tahu a namáháním v tlaku:

Vzorec 6

$\begin{array}{l} d^{+} = g^{+} = 1 - \frac{r_{0}^{+}}{r^{+}} \cdot \{(1 - A^{+}) + A^{+} \exp [B^{+} \cdot (1 - \frac{r^{+}}{r_{0}^{+}})]\} (rovnice 54, tah) \\ d^{-} = g^{-} = 1 - \frac{r_{0}^{-}}{r^{-}} \cdot \{(1 - A^{-}) + A^{-} \exp [B^{-} \cdot (1 - \frac{r^{-}}{r_{0}^{-}})]\} (rovnice 58, tlak) \\ \to d^{+ / -} = r^{+ / -} \cdot h^{+ / -} \leq 0 \end{array}$

Přitom r představuje míru energie a h je zpevnění. Proměnné A a B vyjadřují poškození materiálu. Uplatňuje se přitom také podobně jako v následující kapitole pracovní diagram v prostoru hlavních napětí.

Poškození v programu RFEM

Po základním úvodu do problematiky se nyní budeme zabývat materiálovým modelem v programu RFEM. V našem příspěvku bylo možné poskytnout pouze rámcový vhled do tématu, a do jisté míry tak mohou chybět souvislosti. Doporučujeme proto podrobnější literaturu jako např. [2].

Vzhledem k nelineární metodě výpočtu s opravným krokem je třeba provést v první úrovni diagramu lineárně pružný výpočet. Při řešení v programu RFEM přitom přetvoření v druhé úrovni diagramu závisí na modulu pružnosti, který byl stanoven v dialogu pro zadání materiálu, a dále na definovaném mezním napětí (viz obr. 04).

Obr. 04 - Zadání pracovního diagramu v programu RFEM

Pro přetvoření přitom platí Hookův zákon ε = σ/E. Po tomto prvním pružném predikčním kroku lze přistoupit k téměř libovolnému nesymetrickému zadání pracovního diagramu. Modul pružnosti materiálu přitom může být také záporný, neboť se zpětně stanoví z následujícího vztahu:

Vzorec 7

$\frac{σ_{i} - σ_{i - 1}}{ε_{i} - ε_{i - 1}} = E$

Protože je ovšem modul pružnosti zapotřebí pouze pro zpětný výpočet, připouští se tu také absolutní hodnota modulu. Výpočet s opravnou iterací vede u materiálového modelu Poškození k tomu, že tuhost systému se tak dlouho snižuje, až se nepřenáší žádné napětí v žádném prvku sítě KP. Přetvoření v prvku přitom mohou být značně velká.

Shrnutí

Materiálový model Poškození umožňuje nelineární výpočet s nesymetrickými, téměř libovolnými vztahy mezi napětím a přetvořením. I při poškození materiálu zůstává systém ale nadále kontinuem. To znamená, že v systému nevznikají trhliny. Numerická náročnost by ovšem byla v tomto případě značná. Například by bylo zapotřebí nové zesíťování systému s takzvanou adaptivní sítí konečných prvků. V důsledku uvedených omezení může docházet k velkým přetvořením v systému.

V případě výrazného přetvoření by měl uživatel systém rozdělit. Může k tomu například použít kontaktní tělesa s odpovídající podobnou mezí kluzu. Dále se plastické přetvoření prvku při použití tohoto materiálového modelu nezohledňuje, což může být zvlášť v tlačené oblasti výhodné. Pro řešení běžného problému, jímž je beton poškozený trhlinami v tažené oblasti, je tento materiálový model dostatečně přesný.

Literatura

[1]	Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis, 2. vydání. Berlín: Beuth, 2013
[2]	Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2015
[3]	Altenbach, H.: Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3. vydání. Berlín: Springer, 2015
[4]	Hürkamp, A.: Micro-Mechanically Based Damage Analysis of Ultra High Performance Fibre Reinforced Concrete Structures with Uncertainties. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013
[5]	Wu, J. Y.; Li J.; Faria R.: An energy release rate-based plastic-damage model for concrete, International Journal of Solids and Structures 43, str. 583 - 612. Amsterdam: Elsevier, 2006

Autor

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Vývoj produktů a péče o zákazníky

Ing. Kuhn je zodpovědný za vývoj produktů pro dřevěné konstrukce a poskytuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Software pro nelineární analýzu

Napište komentář...

0 Komentář

1 0

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

Často kladené dotazy (FAQ)

+420 227 203 203

info@dlubal.cz