Nelineární materiálový model Poškození
Odborný článek
V našem předchozím příspěvku se zabýváme materiálovým modelem Izotropní nelineární elastický. Existuje ovšem mnoho materiálů, které nevykazují čistě symetrické nelineární chování. Také pravidla, která pro tečení formulovali von Mises, Drucker-Prager a Mohr-Coulomb a o kterých se v předchozím příspěvku zmiňujeme, se v tomto směru omezují na plochu plasticity v prostoru hlavních napětí.
Proto tato pravidla tečení umožňují modelovat jen čistě pružno-plastické chování. Pro materiály, které podléhají procesu poškození například vlivem trhlin, je vhodnější materiálový model Poškození. Dobrým příkladem takového materiálu je beton, který vykazuje podstatně vyšší pevnost v tlaku než v tahu. Trhliny, které vznikají v tahové oblasti materiálu, snižují tuhost konstrukce. U vyztuženého betonu nebo drátkobetonu přebírá tahová napětí v takovém případě výztuž.
Teoretické pozadí
Nelineární materiálové modely jsou obecně založeny na posunu tělesa v aktuálním přetvořeném prostoru do referenční konfigurace bez napětí (viz obr. 02). Podrobnější informace na toto téma naleznete například v [2].
Tenzor přetvoření udává deformace lokálního prvku v referenčním systému. Přetvoření v nedeformovaném referenčním systému se přitom odvozuje z Green-Langrandeova tenzoru přetvoření E = ½ ∙ (FT ∙ F - 1) a přetvoření v lokálním souřadném systému z Euler-Almasiho tenzoru přetvoření e = ½ ∙ (I - b-1). Dílčí integrací se z obou přetvoření vyvodí lineární deformace ε = ½ ∙ (H + HT), z které lze při zohlednění Cauchyho teorému a Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí vypočítat nominální napětí na tělese. Pomocí bilančních rovnic kontinua tak můžeme vyjádřit míru volné energie.
Bilanční rovnice kontinua:
- Bilance hmotnosti nám říká, že hmotnost systému zůstává stejná i při přetvoření.
Vzorec 1
- Bilance hybnosti jako časová změna celkové hybnosti
Vzorec 2
- Bilance momentu hybnosti jako změna rychlosti celkové hybnosti
Vzorec 3
- První termodynamický zákon: celková energie tělesa zůstává zachována.
Vzorec 4
kinetická energie = mechanický výkon + povrchové napětí - Druhý termodynamický zákon: při přechodu do jiné roviny se uvolňuje energie (teplo).
Vzorec 5
Stavové rovnice (konstituční rovnice) popisují materiálový vztah mezi tělesy. Vnitřními proměnnými (volná energie ψ, měrná entropie s, Cauchyho tenzor napětí σ, vektor tepelného toku q) se zohledňuje poškození v materiálovém modelu. V této souvislosti hraje důležitou úlohu také „paměť“ materiálu, tedy jeho časově závislé chování. Zohledňuje se kinematickým a izotropním zpevněním. S ohledem na poškození materiálu se složka deformace rozloží na pružnou a plastickou složku. Plastická složka se dále rozdělí na kinematickou a izotropní složku.
ε = εe + εp → εp = εiso + εkin
V příspěvku o nelineárním elastickém materiálovém chování jsme již uvedli, že funkce plasticity pro zohlednění účinků poškození závisí na neměnnosti tenzoru napětí. Konkrétně funkce plasticity podléhá omezující Kuhn-Tuckerově podmínce, která říká, že veškeré napěťové stavy v prostoru hlavních napětí jsou menší než 0, a tudíž jsou pružné. Napětí vně tohoto prostoru jsou nepřípustná a promítají se zpět na plochu plasticity v opravném kroku (predikční a korekční krok). Tento výpočet probíhá jako zkušební funkce, což vyžaduje nelineární Newton-Raphsonovu metodu výpočtu.
Funkce plasticity (z [4]) v materiálovém modelu Poškození rozlišuje mezi namáháním materiálu v tahu a namáháním v tlaku: Vzorec 6
Přitom r představuje míru energie a h je zpevnění. Proměnné A a B vyjadřují poškození materiálu. Uplatňuje se přitom také podobně jako v následující kapitole pracovní diagram v prostoru hlavních napětí.
Poškození v programu RFEM
Po základním úvodu do problematiky se nyní budeme zabývat materiálovým modelem v programu RFEM. V našem příspěvku bylo možné poskytnout pouze rámcový vhled do tématu, a do jisté míry tak mohou chybět souvislosti. Doporučujeme proto podrobnější literaturu jako např. [2].
Vzhledem k nelineární metodě výpočtu s opravným krokem je třeba provést v první úrovni diagramu lineárně pružný výpočet. Při řešení v programu RFEM přitom přetvoření v druhé úrovni diagramu závisí na modulu pružnosti, který byl stanoven v dialogu pro zadání materiálu, a dále na definovaném mezním napětí (viz obr. 04).
Obr. 04 - Zadání pracovního diagramu v programu RFEM
Pro přetvoření přitom platí Hookův zákon ε = σ/E. Po tomto prvním pružném predikčním kroku lze přistoupit k téměř libovolnému nesymetrickému zadání pracovního diagramu. Modul pružnosti materiálu přitom může být také záporný, neboť se zpětně stanoví z následujícího vztahu: Vzorec 7
Protože je ovšem modul pružnosti zapotřebí pouze pro zpětný výpočet, připouští se tu také absolutní hodnota modulu. Výpočet s opravnou iterací vede u materiálového modelu Poškození k tomu, že tuhost systému se tak dlouho snižuje, až se nepřenáší žádné napětí v žádném prvku sítě KP. Přetvoření v prvku přitom mohou být značně velká.
Shrnutí
Materiálový model Poškození umožňuje nelineární výpočet s nesymetrickými, téměř libovolnými vztahy mezi napětím a přetvořením. I při poškození materiálu zůstává systém ale nadále kontinuem. To znamená, že v systému nevznikají trhliny. Numerická náročnost by ovšem byla v tomto případě značná. Například by bylo zapotřebí nové zesíťování systému s takzvanou adaptivní sítí konečných prvků. V důsledku uvedených omezení může docházet k velkým přetvořením v systému.
V případě výrazného přetvoření by měl uživatel systém rozdělit. Může k tomu například použít kontaktní tělesa s odpovídající podobnou mezí kluzu. Dále se plastické přetvoření prvku při použití tohoto materiálového modelu nezohledňuje, což může být zvlášť v tlačené oblasti výhodné. Pro řešení běžného problému, jímž je beton poškozený trhlinami v tažené oblasti, je tento materiálový model dostatečně přesný.
Literatura
Autor

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.
Vývoj produktů a péče o zákazníky
Ing. Kuhn je zodpovědný za vývoj produktů pro dřevěné konstrukce a poskytuje technickou podporu zákazníkům.
Odkazy
Napište komentář...
Napište komentář...
- Navštíveno 756x
- Aktualizováno 10. listopadu 2020
Kontakt
Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).
Související produkty