Полярный момент / Момент инерции для расчета на продавливание по ACI 318 и CSA A23.3

В дальнейшем будет объяснен метод расчета согласно ACI 421.1R-20 [1] на примере прямоугольной внутренней колонны. Далее будут представлены результаты аналитических формул и в конце проведено сравнение с результатами RFEM 6.

1. Формула по ACI 421.1R-20 — Пример внутренней колонны

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

Система Для расчета моментов инерции задано сечение колонны и статическая высота плиты.

План внутренней колонны с размером

• Сечение колонны: b = 12 дюймов
• Сечение колонны: h = 16 дюймов
• Статическая высота плиты: d = 8,5 дюймов

Критический контур расположен на расстоянии 0,5d от краев сечения. Для расчета момента инерции необходимы расстояния от угловых точек на критическом контуре до центра тяжести критического контура.

Для угловых узлов получены следующие координаты.

• Точка 1 (-10,25 / 12,25)
• Точка 2 (10,25 / 12,25)
• Точка 3 (10,25 / -12,25)
• Точка 4 (-10,25 / -12,25)

В следующем примере рассмотрены расчеты моментов инерции. Значения формул y_i и x_i — это соответствующие координаты из точек 1 до 4.

Расстояния каждой стороны определяются из ранее найденных координат расстояний.

• l_1-2 = 20,5 дюймов
• l_2-3 = 24,5 дюймов
• l_3-4 = 20,5 дюймов
• l_4-1 = 24,5 дюймов

Расчет момента инерции I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 дюймов⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 дюймов⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 дюймов⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 дюймов⁴

∑ I_x = 73130 дюймов⁴

Расчет момента инерции I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 дюймов⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 дюймов⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 дюймов⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 дюймов⁴

∑ I_y = 55962 дюймов⁴

2. Сравнение с аналитическими формулами - Внутренняя колонна

• 2.1 - Формула из ACI 318-19 [2], страница 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 дюймов h = 16 дюймов d = 8,5 дюймов

I_x = 75638 дюймов⁴ I_y = 58061 дюймов⁴

• 2.2 - Формула из литературы Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 дюймов h = 16 дюймов d = 8,5 дюймов L_x = 20,5 дюймов L_y = 24,5 дюймов

I_x = 73130 дюймов⁴ I_y = 55963 дюймов⁴

3. Сравнение с аналитическими формулами - Пограничная колонна

Пограничные колонны приобретают асимметрию критического контура из-за их расположения к краю плиты. Это приводит к смещению центра тяжести, что должно учитываться в дальнейшем расчете.

• 3.1 - Формула из CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Опорная колонна по краю с размером в плане

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 дюймов h = 16 дюймов d = 8,5 дюймов

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 дюйма e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 дюймов

I_x = 53125 дюймов⁴ I_y = 15581 дюймов⁴

Сравнение результатов

Как уже упоминалось в начале статьи, полярный момент инерции в RFEM 6 рассчитывается по подходу из ACI 421.1R-20 [1]. В сравнении с ручными расчетами с использованием аналитических формул получаются незначительно меньшие значения, что связано с игнорированием одной из частей инерции (при прямоугольной геометрии часть b*d³/6). Из-за меньших моментов инерции результаты проверки на пробой оказываются на безопасной стороне. Однако основное преимущество реализованной формулы заключается в универсальной применимости, что позволяет учитывать все формы сечения и геометрические условия.