Moment polaire / moment d’inertie pour la vérification de la résistance au poinçonnement selon les normes ACI 318 et CSA A23.3

Cet article explique la méthode de calcul selon l’ACI 421.1R-20 [1] à l’aide d’un exemple de poteau intérieur rectangulaire. Par la suite, les résultats des formules analytiques sont présentés et comparés à la fin avec les résultats de RFEM 6.

1. Formule selon l’ACI 421.1R-20 – Exemple de poteau interne

\(
J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right]
\)

\(
J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right]
\)

Système
Pour le calcul des moments d’inertie, la section du poteau ainsi que la hauteur statique de la dalle sont données.

Plan au sol de poteau internes avec cotations

• Section du poteau : b = 12 in
• Section du poteau : h = 16 in
• Hauteur statique de la dalle : d = 8,5 in

Le périmètre critique se trouve à une distance de 0,5d des bords de la section. Pour le calcul du moment d’inertie, les distances des angles sur le périmètre critique par rapport au centre de gravité du périmètre critique sont requises.

Les coordonnées suivantes sont obtenues pour les angles.

• Point 1 (-10,25 / 12,25)
• Point 2 (10,25 / 12,25)
• Point 3 (10,25 / -12,25)
• Point 4 (-10,25 / -12,25)

Dans l’exemple suivant, les moments d’inertie sont calculés à titre d’exemple. Les valeurs de la formule y_i et x_i sont les coordonnées respectives des points 1 à 4.

Les distances de chaque côté sont obtenues à partir des coordonnées de distance précédemment déterminées.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Calcul du moment d’inertie I_x :

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)]
I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)]
I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)]
I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)]
I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)]
I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)]
I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)]
I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)]
I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Calcul du moment d’inertie I_y :

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)]
I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)]
I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)]
I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)]
I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)]
I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)]
I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)]
I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)]
I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Comparaison avec les formules analytiques - Poteau intérieur

• 2.1 - Formule selon l’ACI 318-19 [2], page 108

\(
J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2}
\)

\(
J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2}
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴
I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Formule selon Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\(
J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right)
\)

\(
J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right)
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in
L_x = 20,5 in
L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴
I_y = 55963 in⁴

3. Comparaison avec les formules analytiques - Poteau d'angle

Les poteaux d’angle reçoivent, en raison de leur position par rapport au bord de la dalle, une asymétrie du périmètre critique. Cela déplace le centre de gravité et doit être pris en compte dans le calcul ultérieur.

• 3.1 - Formule du CAC Concrete Design Handbook - 4^e édition [4]

Plan au sol du poteau de rive avec cotations

\(
J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2
\)

\(
J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in
e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴
I_y = 15581 in⁴

Comparaison des résultats

Comme mentionné au début de l’article technique, le moment polaire d’inertie dans RFEM 6 est calculé selon l’approche de l’ACI 421.1R-20 [1]. Comparé aux calculs manuels à l’aide des formules analytiques, on obtient des valeurs légèrement inférieures, cela est dû à la négligence d’une composante d’inertie (dans les géométries rectangulaires de la composante b*d³/6). En raison des moments d’inertie inférieurs, les résultats de la vérification de la résistance au poinçonnement sont plus sûrs. Le véritable avantage de la formule implémentée réside toutefois dans son applicabilité universelle, toutes les formes de sections et les conditions géométriques peuvent être prises en compte.