极惯性矩 / 惯性矩（用于ACI 318及CSA A23.3冲切验算）

在下面的例子中，将通过一个矩形内部柱子的案例说明 ACI 421.1R-20 [1] 的计算方法。接下来，将展示分析公式的结果，并在最后与 RFEM 6 的结果进行比较。

1. ACI 421.1R-20 的公式 - 内部柱子的例子

\[ J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \]

\[ J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \]

系统 对于惯性矩的计算，提供了柱子的截面以及楼板的静态高度。

内柱平面图标注

• 柱子截面：b = 12 英寸
• 柱子截面：h = 16 英寸
• 楼板的静态高度：d = 8.5 英寸

临界穿孔线位于距截面边缘 0.5d 的距离。为了计算惯性矩，需要知道临界穿孔线的顶点到临界穿孔中心的距离。

由此得出的顶点坐标如下。

• 点 1 (-10.25 / 12.25)
• 点 2 (10.25 / 12.25)
• 点 3 (10.25 / -12.25)
• 点 4 (-10.25 / -12.25)

在以下例子中，将示范计算惯性矩。公式中的值 y_i 和 x_i 为点 1 到点 4 的相应坐标。

每条边的距离由先前得到的坐标计算得出。

• l_1-2 = 20.5 英寸
• l_2-3 = 24.5 英寸
• l_3-4 = 20.5 英寸
• l_4-1 = 24.5 英寸

计算面积惯性矩 I_x：

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8.5 * [20.5/3 * (12.25² + 12.25 * 12.25 + 12.25²)] I_x1 = 26148 英寸⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8.5 * [24.5/3 * (12.25² + 12.25 * -12.25 + (-12.25²))] I_x2 = 10417 英寸⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8.5 * [20.5/3 * ((-12.25)² - 12.25 * -12.25 + (-12.25)²)] I_x3 = 26148 英寸⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8.5 * [24.5/3 * ((-12.25)² - 12.25 * 12.25 + (12.25)²)] I_x4 = 10417 英寸⁴

∑ I_x = 73130 英寸⁴

计算面积惯性矩 I_y：

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8.5 * [20.5/3 * ((-10.25)² - 10.25 * 10.25 + 10.25²)] I_y1 = 6102 英寸⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8.5 * [24.5/3 * (10.25² + 10.25 * 10.25 + 10.25²)] I_y2 = 21879 英寸⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8.5 * [20.5/3 * (10.25² + 10.25 * -10.25 +(-10.25)²)] I_y3 = 6102 英寸⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8.5 * [24.5/3 * ((-10.25)² - 10.25 * -10.25 + (-10.25)²)] I_y4 = 21879 英寸⁴

∑ I_y = 55962 英寸⁴

2. 与分析公式的比较 - 内部柱子

• 2.1 - 来自 ACI 318-19 [2] 的公式，第 108 页

\[ J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \]

\[ J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \]

b = 12 英寸 h = 16 英寸 d = 8.5 英寸

I_x = 75638 英寸⁴ I_y = 58061 英寸⁴

• 2.2 - 来自 Jordahl [3] 美国公司 | Studrails | 03-2023 的公式

\[ J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \]

\[ J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \]

b = 12 英寸 h = 16 英寸 d = 8.5 英寸 L_x = 20.5 英寸 L_y = 24.5 英寸

I_x = 73130 英寸⁴ I_y = 55963 英寸⁴

3. 与分析公式的比较 - 边柱

由于位置导致边柱的临界穿孔线呈现非对称性。因此，重心会发生偏移，必须在后续计算中予以考虑。

• 3.1 - 来自 CAC 混凝土设计手册 - 第四版 [4] 的公式

边柱平面图标注

\[ J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \]

\[ J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \]

b = 12 英寸 h = 16 英寸 d = 8.5 英寸

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4.63 英寸 e₂ = (b + d)/ 2 = 12.25 英寸

I_x = 53125 英寸⁴ I_y = 15581 英寸⁴

结果比较

如本专业文章开头所述，极惯性矩在 RFEM 6 中按照 ACI 421.1R-20 [1] 的方法进行计算。与通过分析公式的手工计算相比，其结果略有偏低，这是由于忽略了一个惯性部分（在矩形几何体中为 b*d³/6 部分）所致。通过较小的惯性矩，穿孔设计的结果比较安全。然而，所实现公式的真正优点在于其普遍适用性，所有截面形状和几何条件可以被考虑。