2026-09-08

VE0062 | Гравитационная нагрузка

Описание

Стержень с квадратным сечением закреплён на верхнем конце согласно следующему рисунку. Стержень нагружен собственным весом. Для сравнения пример также смоделирован с сосредоточенной силовой нагрузкой, значение которой равно силе тяжести. Целью данного верификационного примера является показ различия между этими типами нагружения, хотя суммарная сила нагрузки одинакова. Задача описана следующим набором параметров.

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
		Коэффициент Пуассона	ν	0.296	-
		Плотность	ρ	7850.000	кг/м³
Геометрия	Стержень	Длина	L	10.000	м
Геометрия	Стержень	Ширина сечения	w	20.000	мм
Нагрузка		Ускорение свободного падения	g	10.000	м/с²

Гравитационная нагрузка

В первом случае собственный вес не учитывается. Определите максимальную деформацию стержня u_z,max.

Аналитическое решение

Уравнение равновесия в одномерном случае можно записать в виде:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Осевое напряжение
f_z	Объемная сила

Формула равновесия для одномерного случая

Осевое напряжение σ_z определяется законом Гука.

σ_{z} = E ε_{z}

закон Гука

Сосредоточенная нагрузка

Сначала рассматривается нагружение сосредоточенной силой. Сосредоточенная сила равна силе тяжести.

G = g ρ A L = 314.000 N

Сила гравитации

Объёмная сила f_z в этом случае равна нулю. Тогда деформация ε_z остаётся постоянной

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Условие равновесия для сосредоточенной силы

где деформация ε_z определяется как:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Осевая деформация

Тогда итоговое дифференциальное уравнение имеет вид:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Итоговое дифференциальное уравнение для сосредоточенной силы

Решение этого дифференциального уравнения имеет форму следующей линейной функции.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Общее решение дифференциального уравнения

Константы интегрирования C₁, C₂ можно получить из граничных условий.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Граничные условия

Следовательно,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Интеграционные константы

Наконец, формула для перемещения u_z может быть дополнена и рассчитано максимальное перемещение u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Максимальное перемещение

Собственный вес

В случае собственного веса объёмная сила определяется как:

f_{z} = ρ g

Объёмная сила

Снова используя упомянутое выше уравнение равновесия, дифференциальное уравнение равновесия можно переписать следующим образом:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Уравнение равновесия для собственного веса

Обратите внимание, что деформация ε_z не является постоянной. Деформация u_z тогда следующая:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Общее решение дифференциального уравнения

Граничные условия в этом случае следующие:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Граничные условия

Следовательно,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Константы интегрирования

Наконец, формула для перемещения u_z может быть дополнена и рассчитано максимальное перемещение u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Максимальное перемещение

Настройки RFEM

Смоделировано в RFEM 6.14 и RFEM 5.06
Размер элемента l_FE = 0.100 м
Используется изотропная линейно-упругая модель материала

Результаты

Тип нагружения	Аналитическое решение [мм]	RFEM 6 [мм]	Отношение [-]	RFEM 5 [мм]	Отношение [-]
Сосредоточенная нагрузка	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Собственный вес	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Модель 000145 | Verification Example 000062 | 1

Верификационный пример 000062 | 1

;