2026-09-08

VE0062 | Carga Gravitacional

Descrição

Uma barra com secção quadrada está fixada na extremidade superior de acordo com a figura seguinte. A barra é carregada pelo seu peso próprio. Para efeito de comparação, o exemplo também é modelado com a carga de força concentrada cujo valor é igual à gravidade. O objetivo deste exemplo de verificação é mostrar a diferença entre estes tipos de carregamento, embora a força de carregamento total seja igual. O problema é descrito pelo seguinte conjunto de parâmetros.

Material	Aço	Módulo de elasticidade	E	210000.000	MPa
		Coeficiente de Poisson	ν	0.296	-
		Densidade	ρ	7850.000	kg/m³
Geometria	Barra	Comprimento	L	10.000	m
Geometria	Barra	largura da secção	w	20.000	mm
Carga		aceleração da gravidade	g	10.000	m/s²

Carga de gravidade

O peso próprio é negligenciado no primeiro caso. Determinar a deformação máxima da barra u_z,max.

Solução analítica

A condição de equilíbrio no caso unidimensional pode ser escrita como:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Tensão axial
f_z	Força de volume

Equação de equilíbrio para caso unidimensional

A tensão axial σ_z é definida pela lei de Hooke.

σ_{z} = E ε_{z}

Lei de Hooke

Força concentrada

Primeiro, considera-se o carregamento pela força concentrada. A força concentrada é igual à gravidade.

G = g ρ A L = 314.000 N

Força Gravitacional

A força de volume f_z é igual a zero neste caso. Então, a deformação específica ε_z permanece constante

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Equação de Equilíbrio para Força Concentrada

onde a deformação específica ε_z é definida como:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Deformação axial

Então, a equação diferencial final é:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Equação Diferencial Final para Força Concentrada

A solução desta equação diferencial tem a forma da seguinte função linear.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Solução Geral da Equação Diferencial

As constantes de integração C₁, C₂ podem ser obtidas a partir das condições de fronteira.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Condições de fronteira

Logo,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Constantes de integração

Finalmente, a fórmula para o deslocamento u_z pode ser completada e o deslocamento máximo u_z,max calculado.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Deslocamento Máximo

Peso próprio

No caso do peso próprio, a força de volume é definida como:

f_{z} = ρ g

Força de Volume

Utilizando novamente a condição de equilíbrio mencionada acima, a equação diferencial de equilíbrio pode ser reescrita da seguinte forma:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Equação de equilíbrio para peso próprio

Note que a deformação específica ε_z não é constante. A deformação u_z é então a seguinte:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Solução Geral da Equação Diferencial

As condições de fronteira neste caso são as seguintes:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Condições de fronteira

Logo,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Constantes de integração

Finalmente, a fórmula para o deslocamento u_z pode ser completada e o deslocamento máximo u_z,max calculado.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Deslocamento Máximo

Configurações do RFEM

Modelado no RFEM 6.14 e RFEM 5.06
O tamanho do elemento é l_FE = 0.100 m
É usado o modelo de material linear elástico isotrópico

Resultados

Tipo de Carregamento	Solução analítica [mm]	RFEM 6 [mm]	Razão [-]	RFEM 5 [mm]	Razão [-]
Força concentrada	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Carga permanente	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Exemplo de Verificação 000062 | 1

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