8. September 2026

VE0062 | Eigengewichtslast

Beschreibung

Ein Stab mit quadratischem Querschnitt ist gemäß der folgenden Abbildung am oberen Ende fest eingespannt. Der Stab wird durch sein Eigengewicht belastet. Zum Vergleich wird das Beispiel auch mit einer konzentrierten Kraftbelastung modelliert, deren Wert dem Eigengewicht entspricht. Ziel dieses Verifikationsbeispiels ist es, den Unterschied zwischen diesen Belastungsarten aufzuzeigen, obwohl die gesamte Belastungskraft gleich ist. Das Problem wird durch den folgenden Parametersatz beschrieben.

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000.000	MPa
		Poissonzahl	ν	0.296	-
		Dichte	ρ	7850.000	kg/m³
Geometrie	Stab	Länge	L	10.000	m
Geometrie	Stab	Querschnittsbreite	w	20.000	mm
Last		Erdbeschleunigung	g	10.000	m/s²

Schwerkraftbelastung

Das Eigengewicht wird im ersten Fall vernachlässigt. Bestimmen Sie die maximale Verformung des Stabes u_z,max.

Analytische Lösung

Die Gleichgewichtsbedingung im eindimensionalen Fall kann wie folgt geschrieben werden:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Axialspannung
f_z	Volumenkraft

Gleichgewichtsbedingung für den eindimensionalen Fall

Die Normalspannung σ_z ist durch das Hooke'sche Gesetz definiert.

σ_{z} = E ε_{z}

Hooke'sches Gesetz

Konzentrierte Kraft

Zunächst wird die Belastung durch die konzentrierte Kraft betrachtet. Die konzentrierte Kraft entspricht der Gewichtskraft.

G = g ρ A L = 314.000 N

Gravitationskraft

Die Volumenkraft f_z ist in diesem Fall gleich null. Dann bleibt die Dehnung ε_z konstant

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Gleichgewichtsbedingung für Einzelkraft

wobei die Dehnung ε_z wie folgt definiert ist:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Axialdehnung

Die finale Differentialgleichung lautet dann:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Endgültige DGL für Einzelkraft

Die Lösung dieser Differentialgleichung hat die Form der folgenden linearen Funktion.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Integrationskonstanten C₁, C₂ können aus den Randbedingungen bestimmt werden.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Randbedingungen

Somit gilt:

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Integrationskonstanten

Schließlich kann die Formel für die Verschiebung u_z vervollständigt und die maximale Verschiebung u_z,max berechnet werden.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Maximale Verschiebung

Eigengewicht

Im Fall des Eigengewichts ist die Volumenkraft definiert als:

f_{z} = ρ g

Volumenkraft

Unter erneuter Verwendung der oben genannten Gleichgewichtsbedingung kann die Differentialgleichung des Gleichgewichts wie folgt umgeschrieben werden:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Gleichung des Gleichgewichts für Eigengewicht

Bitte beachten Sie, dass die Dehnung ε_z nicht konstant ist. Die Verformung u_z ergibt sich dann wie folgt:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Randbedingungen sind in diesem Fall die folgenden:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Randbedingungen

Somit gilt:

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Integrationskonstanten

Schließlich kann die Formel für die Verschiebung u_z vervollständigt und die maximale Verschiebung u_z,max berechnet werden.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Maximale Verschiebung

RFEM-Einstellungen

Modellierung in RFEM 6.14 und RFEM 5.06
Die Elementgröße beträgt l_FE = 0.100 m
Isotropes linear-elastisches Materialmodell wird verwendet

Ergebnisse

Belastungsart	Analytische Lösung [mm]	RFEM 6 [mm]	Verhältnis [-]	RFEM 5 [mm]	Verhältnis [-]
Konzentrierte Kraft	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Eigengewicht	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Verifikationsbeispiel 000062 | 1

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