Описание
| Материалы | Бетон | Заданная прочность бетона на сжатие | f'c | 4000 | psi |
| Армирование на изгиб | Предел текучести | fy | 60000 | psi | |
| Анкерные стержни с головками | Предел текучести | fyr | 51000 | psi | |
| Геометрия | Плита | Толщина плиты | h | 7 | in. |
| Защитный слой бетона | c | 0.75 | in. | ||
| Номинальный диаметр арматуры на изгиб | db | 5/8 | in. | ||
| Рабочая высота плиты | d | 5.62 | in. | ||
| Колонна | Размер колонны по оси x | cx | 12 | in. | |
| Размер колонны по оси y | cy | 20 | in. |
Аналитическое решение
1. Расчет рабочей высоты плиты
Рабочая высота плиты рассчитывается исходя из толщины плиты, защитного слоя бетона и номинального диаметра арматуры на изгиб:
\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)
\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)
2. Расчет геометрии расчетного контура
Расчетный контур расположен на расстоянии \(\mathsf{d/2}\) от грани колонны.
Размеры расчетного контура:
\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)
\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)
Длина расчетного периметра:
\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)
Согласно эталонному решению, рабочая площадь и полярный момент инерции расчетного контура составляют:
\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)
\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)
Максимальное расстояние от центра тяжести расчетного контура:
\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)
3. Расчет доли момента, передаваемой за счет сдвига
Доля неуравновешенного момента, передаваемая за счет эксцентриситетного сдвига, рассчитывается согласно ACI 421.1R Ур. (4.2b):
\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)
\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)
4. Расчет действующих касательных напряжений при продавливании
Максимальные касательные напряжения при продавливании рассчитываются от прямого сдвигающего усилия и неуравновешенного момента, передаваемого за счет эксцентриситетного сдвига:
\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)
\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)
С учетом коэффициента снижения прочности
\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)
расчетные касательные напряжения составляют:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)
5. Расчет сопротивления бетона сдвигу
Отношение длинной стороны колонны к короткой:
\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)
Номинальное сопротивление бетона сдвигу без поперечного армирования определяется как минимум из следующих выражений:
- \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)
Для данной геометрии:
\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)
Следовательно:
\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)
Поскольку
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)
требуется поперечная арматура с головками.
6. Расчет требуемого поперечного армирования
При наличии поперечной арматуры с головками, касательные напряжения, воспринимаемые бетоном, составляют:
\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)
Таким образом, касательные напряжения, которые должны быть восприняты анкерными стержнями:
\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)
Требуемая площадь стержней на единицу шага:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)
\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)
7. Выбор схемы расстановки анкерных стержней с головками
Первый периферийный ряд стержней и расстояние между соседними периферийными рядами должны удовлетворять условиям:
\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)
и
\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)
При
\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)
выбранные значения
\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)
и
\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)
удовлетворяют требованиям по шагу.
При использовании десяти стержней с площадью поперечного сечения примерно \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) на стержень, обеспечиваемая площадь стержней на один периферийный ряд составляет:
\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)
Обеспечиваемая площадь стержней на единицу шага:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)
Поскольку
\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)
выбранное поперечное армирование с головками является достаточным.
8. Проверка внешнего расчетного контура
Внешний расчетный контур расположен на расстоянии \(\mathsf{d/2}\) за крайним периферийным рядом стержней.
Для десяти периферийных рядов расстояние между гранью колонны и крайним рядом стержней составляет:
\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)
Следовательно, расстояние от грани колонны до внешнего расчетного контура:
\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)
Соответствующий коэффициент:
\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)
Для этого расчетного контура расчетные касательные напряжения составляют:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)
Номинальное сопротивление сдвигу за пределами зоны поперечного армирования:
\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)
Поскольку
\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)
протяженность зоны поперечного армирования достаточна. \( \)
Результаты
Ниже представлены результаты, полученные в RFEM 6.
Результаты RFEM 6 сравниваются с аналитическим эталонным решением в следующей таблице.
| Расчет на продавливание согласно ACI 318 и ACI 421.1R | |||||
| Параметры | Обозначение | Единица | RFEM | Аналитическое решение | Отношение |
| Рабочая высота плиты | d | in. | 5.625 | 5.620 | 1.001 |
| Расчетный периметр на d/2 | bo | in. | 86.50 | 86.50 | 1.000 |
| Полярный момент инерции | Jc | in.4 | 27520.8 | 28000.0 | 0.983 |
| Доля момента, передаваемая сдвигом | γv | [-] | 0.356 | 0.360 | 0.989 |
| Максимальное приложенное касательное напряжение | vu | psi | 313.2 | 294.0 | 1.065 |
| Расчетное касательное напряжение | vu/φ | psi | 417.6 | 392.0 | 1.065 |
| Сопротивление бетона сдвигу без поперечного армирования | vn | psi | 253.0 | 253.0 | 1.000 |
| Обеспеченная площадь стержней на шаг | Av/s | in. | 0.434 | 0.400 | 1.084 |
| Расчетный коэффициент | η | [-] | 0.951 | 0.992 | 0.958 |
Оценка
Сравнение показывает следующее:
- Рабочая высота плиты и расчетный периметр очень хорошо согласуются.
- Полярный момент инерции отличается примерно на 1.7%. Это незначительное отклонение идет в запас надежности результата RFEM.
- Наибольшее отклонение наблюдается в величине действующих касательных напряжений при продавливании и является следствием различного подхода к учету передачи момента.
- Сопротивление бетона сдвигу воспроизводится практически точно.
- Выбранное поперечное армирование с головками удовлетворяет расчетным требованиям.
Выбранное поперечное армирование с головками и протяженность зоны поперечного армирования удовлетворяют соответствующим расчетным требованиям.