Descrição
| Materiais | Betão | Resistência à compressão especificada do betão | f'c | 4000 | psi |
| Armadura de flexão | Resistência à cedência | fy | 60000 | psi | |
| Studs com cabeça | Resistência à cedência | fyr | 51000 | psi | |
| Geometria | Laje | Espessura da laje | h | 7 | in. |
| Recobrimento de betão | c | 0.75 | in. | ||
| Diâmetro nominal da armadura de flexão | db | 5/8 | in. | ||
| Altura útil da laje | d | 5.62 | in. | ||
| Pilar | Dimensão do pilar na direção x | cx | 12 | in. | |
| Dimensão do pilar na direção y | cy | 20 | in. |
Solução analítica
- 1. Cálculo da altura útil da laje
A altura útil da laje é calculada a partir da espessura da laje, recobrimento de betão e diâmetro nominal da armadura de flexão:
\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)
\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)
- 2. Cálculo da geometria da secção crítica
A secção crítica está localizada a uma distância de \(\mathsf{d/2}\) da face do pilar.
As dimensões da secção crítica são:
\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)
\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)
O comprimento do perímetro crítico é:
\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)
De acordo com a solução de referência, a área efetiva e o momento polar de inércia da secção crítica são:
\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)
\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)
A distância máxima ao centroide da secção crítica é:
\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)
- 3. Cálculo da fração do momento transferido por corte
A fração do momento desequilibrado transferido por corte excêntrico é calculada de acordo com ACI 421.1R Eq. (4.2b):
\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)
\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)
- 4. Cálculo da tensão de punçoamento atuante
A tensão máxima de punçoamento é calculada a partir da força de corte direta e do momento desequilibrado transferido por corte excêntrico:
\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)
\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)
Usando o fator de redução de resistência
\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)
a tensão de corte de cálculo é:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)
- 5. Cálculo da resistência ao corte do betão
A relação entre o lado maior e o lado menor do pilar é:
\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)
A resistência nominal ao corte do betão sem armadura de corte é determinada pelo mínimo das seguintes expressões:
- \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)
Para a presente geometria:
\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)
Assim:
\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)
Uma vez que
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)
é necessária armadura de corte com cabeça.
- 6. Cálculo da armadura de corte necessária
Na presença de armadura de corte com cabeça, a tensão de corte resistida pelo betão é:
\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)
A tensão de corte a ser resistida pelos studs com cabeça é, portanto:
\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)
A área de studs necessária por espaçamento é:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)
\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)
- 7. Seleção da disposição dos studs com cabeça
A primeira linha periférica de studs e o espaçamento entre linhas periféricas adjacentes devem satisfazer:
\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)
e
\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)
Com
\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)
os valores selecionados
\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)
e
\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)
satisfazem os requisitos de espaçamento.
Usando dez studs com uma área de secção transversal de aproximadamente \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) por stud, a área de studs fornecida por linha periférica é:
\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)
A área de studs fornecida por espaçamento é:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)
Uma vez que
\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)
a armadura de corte com cabeça selecionada é adequada.
- 8. Verificação da secção crítica exterior
A secção crítica exterior está localizada a uma distância de \(\mathsf{d/2}\) além da linha periférica mais externa de studs.
Para dez linhas periféricas, a distância entre a face do pilar e a linha de studs mais externa é:
\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)
Portanto, a distância da secção crítica exterior à face do pilar é:
\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)
O fator correspondente é:
\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)
Nesta secção crítica, a tensão de corte de cálculo é:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)
A resistência nominal ao corte fora da zona reforçada ao corte é:
\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)
Uma vez que
\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)
a extensão da zona reforçada ao corte é adequada. \( \)
Resultados
Os resultados do RFEM 6 são apresentados abaixo.
Os resultados do RFEM 6 são comparados com a solução analítica de referência na tabela seguinte.
| Dimensionamento ao punçoamento de acordo com ACI 318 e ACI 421.1R | |||||
| Parâmetros | Símbolo | Unidade | RFEM | Solução analítica | Rácio |
| Altura útil da laje | d | in. | 5.625 | 5.620 | 1.001 |
| Perímetro crítico a d/2 | bo | in. | 86.50 | 86.50 | 1.000 |
| Momento polar de inércia | Jc | in.4 | 27520.8 | 28000.0 | 0.983 |
| Fração do momento transferido por corte | γv | [-] | 0.356 | 0.360 | 0.989 |
| Tensão de corte máxima atuante | vu | psi | 313.2 | 294.0 | 1.065 |
| Tensão de corte de cálculo | vu/φ | psi | 417.6 | 392.0 | 1.065 |
| Resistência ao corte do betão sem armadura de corte | vn | psi | 253.0 | 253.0 | 1.000 |
| Área de studs fornecida por espaçamento | Av/s | in. | 0.434 | 0.400 | 1.084 |
| Relação de cálculo | η | [-] | 0.951 | 0.992 | 0.958 |
Avaliação
A comparação mostra o seguinte:
- A altura útil da laje e o perímetro crítico estão em muito boa concordância.
- O momento polar de inércia difere em aproximadamente 1.7%. Este pequeno desvio coloca o resultado do RFEM do lado conservador.
- O maior desvio ocorre na tensão de punçoamento atuante e resulta do tratamento diferente da transferência de momento.
- A resistência ao corte do betão é reproduzida quase exatamente.
- A armadura de corte com cabeça selecionada satisfaz os requisitos de dimensionamento.
A armadura de corte com cabeça selecionada e a extensão da zona reforçada ao corte satisfazem os respetivos requisitos de dimensionamento.