Descripción
| Materiales | Hormigón | Resistencia especificada a compresión del hormigón | f'c | 4000 | psi |
| Armadura de flexión | Límite elástico | fy | 60000 | psi | |
| Conectadores con cabeza | Límite elástico | fyr | 51000 | psi | |
| Geometría | Losa | Espesor de la losa | h | 7 | in. |
| Recubrimiento de hormigón | c | 0.75 | in. | ||
| Diámetro nominal de la armadura de flexión | db | 5/8 | in. | ||
| Canto útil de la losa | d | 5.62 | in. | ||
| Pilar | Dimensión del pilar en dirección x | cx | 12 | in. | |
| Dimensión del pilar en dirección y | cy | 20 | in. |
Solución Analítica
- 1. Cálculo del Canto Útil de la Losa
El canto útil de la losa se calcula a partir del espesor de la losa, el recubrimiento de hormigón y el diámetro nominal de la armadura de flexión:
\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)
\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)
- 2. Cálculo de la Geometría de la Sección Crítica
La sección crítica se sitúa a una distancia de \(\mathsf{d/2}\) de la cara del pilar.
Las dimensiones de la sección crítica son:
\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)
\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)
La longitud del perímetro crítico es:
\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)
Según la solución de referencia, el área efectiva y el momento polar de inercia de la sección crítica son:
\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)
\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)
La distancia máxima desde el centroide de la sección crítica es:
\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)
- 3. Cálculo de la Fracción de Momento Transferida por Cortante
La fracción del momento no equilibrado transferida por cortante excéntrico se calcula según ACI 421.1R Ec. (4.2b):
\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)
\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)
- 4. Cálculo de la Tensión Tangencial de Punzonamiento Aplicada
La tensión tangencial máxima de punzonamiento se calcula a partir del esfuerzo cortante directo y del momento no equilibrado transferido por cortante excéntrico:
\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)
\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)
Usando el factor de reducción de resistencia
\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)
la tensión tangencial de cálculo es:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)
- 5. Cálculo de la Resistencia a Cortante del Hormigón
La relación entre el lado largo y el lado corto del pilar es:
\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)
La resistencia nominal a cortante del hormigón sin armadura de cortante se determina como el mínimo de las siguientes expresiones:
- \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)
Para la geometría presente:
\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)
Por lo tanto:
\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)
Dado que
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)
se requiere armadura de cortante con cabeza.
- 6. Cálculo de la Armadura de Cortante Requerida
En presencia de armadura de cortante con cabeza, la tensión tangencial resistida por el hormigón es:
\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)
Por lo tanto, la tensión tangencial a resistir por los conectadores con cabeza es:
\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)
El área de conectadores requerida por espaciamiento es:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)
\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)
- 7. Selección de la Disposición de Conectadores con Cabeza
La primera línea periférica de conectadores y el espaciamiento entre líneas periféricas adyacentes deben satisfacer:
\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)
y
\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)
Con
\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)
los valores seleccionados
\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)
y
\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)
satisfacen los requisitos de espaciamiento.
Usando diez conectadores con un área transversal de aproximadamente \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) por conectador, el área de conectadores proporcionada por línea periférica es:
\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)
El área de conectadores proporcionada por espaciamiento es:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)
Dado que
\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)
la armadura de cortante con cabeza seleccionada es adecuada.
- 8. Verificación de la Sección Crítica Exterior
La sección crítica exterior se sitúa a una distancia de \(\mathsf{d/2}\) más allá de la línea periférica más exterior de conectadores.
Para diez líneas periféricas, la distancia entre la cara del pilar y la línea de conectadores más exterior es:
\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)
Por lo tanto, la distancia de la sección crítica exterior desde la cara del pilar es:
\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)
El factor correspondiente es:
\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)
En esta sección crítica, la tensión tangencial de cálculo es:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)
La resistencia nominal a cortante fuera de la zona reforzada a cortante es:
\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)
Dado que
\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)
la extensión de la zona reforzada a cortante es adecuada. \( \)
Resultados
Los resultados de RFEM 6 se presentan a continuación.
Los resultados de RFEM 6 se comparan con la solución analítica de referencia en la siguiente tabla.
| Cálculo de punzonamiento según ACI 318 y ACI 421.1R | |||||
| Parámetros | Símbolo | Unidad | RFEM | Solución analítica | Relación |
| Canto útil de la losa | d | in. | 5.625 | 5.620 | 1.001 |
| Perímetro crítico a d/2 | bo | in. | 86.50 | 86.50 | 1.000 |
| Momento polar de inercia | Jc | in.4 | 27520.8 | 28000.0 | 0.983 |
| Fracción de momento transferida por cortante | γv | [-] | 0.356 | 0.360 | 0.989 |
| Tensión tangencial máxima aplicada | vu | psi | 313.2 | 294.0 | 1.065 |
| Tensión tangencial de cálculo | vu/φ | psi | 417.6 | 392.0 | 1.065 |
| Resistencia a cortante del hormigón sin armadura de cortante | vn | psi | 253.0 | 253.0 | 1.000 |
| Área de conectadores proporcionada por espaciamiento | Av/s | in. | 0.434 | 0.400 | 1.084 |
| Relación de cálculo | η | [-] | 0.951 | 0.992 | 0.958 |
Evaluación
La comparación muestra lo siguiente:
- El canto útil de la losa y el perímetro crítico concuerdan muy bien.
- El momento polar de inercia difiere en aproximadamente un 1.7%. Esta pequeña desviación sitúa el resultado de RFEM del lado de la seguridad.
- La mayor desviación se produce en la tensión tangencial de punzonamiento aplicada y resulta del diferente tratamiento de la transferencia de momento.
- La resistencia a cortante del hormigón se reproduce casi exactamente.
- La armadura de cortante con cabeza seleccionada satisface los requisitos de cálculo.
La armadura de cortante con cabeza seleccionada y la extensión de la zona reforzada a cortante satisfacen los requisitos de cálculo correspondientes.