VE 9972 | Projektowanie na przebicie słupa wewnętrznego w stropie płaskim o przekroju niesymetrycznym według ACI 421

Opis

Rozwiązanie analityczne

1. Obliczenie efektywnej głębokości płyty

Efektywną głębokość płyty oblicza się na podstawie grubości płyty, otuliny betonowej i nominalnej średnicy zbrojenia na zginanie:

\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)

\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)

2. Obliczenie geometrii przekroju krytycznego

Przekrój krytyczny znajduje się w odległości \(\mathsf{d/2}\) od lica słupa.

Wymiary przekroju krytycznego wynoszą:

\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)

\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)

Długość obwodu krytycznego wynosi:

\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)

Zgodnie z rozwiązaniem referencyjnym, efektywne pole przekroju i biegunowy moment bezwładności przekroju krytycznego wynoszą:

\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)

\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)

Maksymalna odległość od środka ciężkości przekroju krytycznego wynosi:

\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)

Przekrój słupa z obwodem krytycznym

3. Obliczenie części momentu przenoszonej przez ścinanie

Część niezrównoważonego momentu przenoszona przez mimośrodowe ścinanie jest obliczana zgodnie z ACI 421.1R Równ. (4.2b):

\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)

\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)

4. Obliczenie przyłożonego naprężenia ścinającego przy przebiciu

Maksymalne naprężenie ścinające przy przebiciu oblicza się z bezpośredniej siły ścinającej i niezrównoważonego momentu przenoszonego przez mimośrodowe ścinanie:

\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)

\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)

Używając współczynnika redukcji wytrzymałości

\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)

obliczeniowe naprężenie ścinające wynosi:

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)

5. Obliczenie nośności betonu na ścinanie

Stosunek dłuższego boku do krótszego boku słupa wynosi:

\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)

Nominalna nośność betonu na ścinanie bez zbrojenia na ścinanie jest określana na podstawie minimum z następujących wyrażeń:

• \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)

Dla niniejszej geometrii:

\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)

Zatem:

\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)

Ponieważ

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)

wymagane jest zbrojenie na ścinanie w postaci sworzni z łbem.

6. Obliczenie wymaganego zbrojenia na ścinanie

W przypadku zbrojenia na ścinanie w postaci sworzni z łbem, naprężenie ścinające przenoszone przez beton wynosi:

\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)

Naprężenie ścinające, które muszą przenieść sworznie z łbem, wynosi zatem:

\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)

Wymagane pole przekroju sworzni na rozstaw wynosi:

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)

\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)

7. Wybór rozmieszczenia sworzni z łbem

Pierwszy obwodowy rząd sworzni i rozstaw między sąsiednimi rzędami obwodowymi muszą spełniać warunki:

\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)

oraz

\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)

Z

\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)

wybrane wartości

\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)

oraz

\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)

spełniają wymagania dotyczące rozstawu.

Używając dziesięciu sworzni o polu przekroju poprzecznego około \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) na sworzeń, dostarczone pole przekroju sworzni na rząd obwodowy wynosi:

\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)

Dostarczone pole przekroju sworzni na rozstaw wynosi:

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)

Ponieważ

\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)

wybrane zbrojenie na ścinanie w postaci sworzni z łbem jest odpowiednie.

Widok boczny zbrojenia na przebicie

8. Weryfikacja zewnętrznego przekroju krytycznego

Zewnętrzny przekrój krytyczny znajduje się w odległości \(\mathsf{d/2}\) za najbardziej zewnętrznym obwodowym rzędem sworzni.

Dla dziesięciu rzędów obwodowych odległość między licem słupa a najbardziej zewnętrznym rzędem sworzni wynosi:

\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)

W związku z tym odległość zewnętrznego przekroju krytycznego od lica słupa wynosi:

\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)

Odpowiadający współczynnik wynosi:

\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)

W tym przekroju krytycznym obliczeniowe naprężenie ścinające wynosi:

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)

Nominalna nośność na ścinanie na zewnątrz strefy zbrojonej na ścinanie wynosi:

\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)

Ponieważ

\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)

zasięg strefy zbrojonej na ścinanie jest odpowiedni. \( \)

Wyniki

Poniżej przedstawiono wyniki z programu RFEM 6.

Wyniki RFEM 6 porównano z analitycznym rozwiązaniem referencyjnym w poniższej tabeli.

Ocena

Porównanie pokazuje, co następuje:

• Efektywna głębokość płyty i obwód krytyczny są w bardzo dobrej zgodności.
• Biegunowy moment bezwładności różni się o około 1,7%. To niewielkie odchylenie umieszcza wynik RFEM po bezpiecznej stronie.
• Największa różnica występuje w przyłożonym naprężeniu ścinającym przy przebiciu i wynika z odmiennego podejścia do przenoszenia momentu.
• Nośność betonu na ścinanie jest odtworzona prawie dokładnie.
• Wybrane zbrojenie na ścinanie w postaci sworzni z łbem spełnia wymagania projektowe.

Wybrane zbrojenie na ścinanie w postaci sworzni z łbem i zasięg strefy zbrojonej na ścinanie spełniają odpowiednie wymagania projektowe.