Метод периода с нулевым ускорением в анализе спектра реакций

Техническая статья

В мультимодальном анализе спектра реакций очень важно определить достаточное количество собственных значений конструкции и учесть их динамические реакции. Нормы, например EN 1998-1 [1] и другие международные стандарты, требуют активировать 90 % массы конструкции. Это означает: что необходимо определить столько собственных значений, чтобы сумма коэффициентов полезных модальных масс была больше 0,9.

Для очень больших конструкций со многими степенями свободы или конструкций, у которых основные собственные значения находятся в высокочастотном диапазоне (например, трубопроводные системы), эти требования могут быть трудновыполнимы. В таких случаях метод периода с нулевым ускорением (ZPA - Zero Period Acceleration) приобретает большое значение. Данный метод позволяет учесть также массы в самих опорах, что оказывает решающее влияние на опорные реакции.

Различают три частотных диапазона, которые используются для категоризации реакций конструкции различными способами (см. Рисунок 01): 1) низкочастотный диапазон, (2) среднечастотный диапазон и (3) высокочастотный диапазон.

Рисунок 01 - Спектральное ускорение Sa [м/с²] в сравнении с собственной частотой f [Гц] узкополосного спектра реакций по норме EN 1998-1 [1]

Обычно в динамике конструкций рассматриваются низкочастотный и среднечастотный диапазоны (f < fZPA). Здания имеют доминирующие собственные частоты в этой области, и во многих случаях этими собственными значениями активируется более 90% массы конструкции. Реакции системы в низкочастотном диапазоне являются периодическими, а результаты различных собственных значений сдвинуты по фазе. Наложение откликов отдельных собственных значений выполняется квадратично либо по правилу SRSS, либо, что еще лучше, правилу CQC.

В высокочастотном диапазоне (f > fZPA) системные реакции являются псевдостатическими, отклики отдельных собственных значений имеют одну фазу. Таким образом, модальное наложение может быть выполнено как алгебраическая сумма. Вместо динамического учета данных высоких частот, общепринятой практикой является определение отсутствующих активированных масс и добавление откликов всего высокочастотного диапазона псевдостатически, с помощью значения ZPA. Значение ZPA соответствует значению из спектра реакций за период T = 0 сек; ZPA = Sa(T=0). Однако для ZPA также допустимо значение, заданное пользователем. Данный метод упоминается как метод ZPA, метод недостающей массы или как статическая поправка [2, 3, 4].

Частоты среднего диапазона (fSP < f < fZPA) вызывают системные реакции, которые являются частично периодическими, а частично псевдостатическими. Эти частоты можно комбинировать по специальным правилам наложения, например метод Гупты [2], для учета алгебраической суммы псевдостатических добавок. Однако, часто применяется наложение с использованием стандартных квадратичных правил, таких как правило CQC.

Частота fSP (sp = spectral peak - пик спектра) соответствует максимальному значению спектрального ускорения. Частота fZPA (ZPA = Zero-Period Acceleration) - это минимальная частота, при которой ускорение приближается к значению ZPA.

Расчет компонентов ZPA

Компоненты активированных масс в каждом отдельном узле конструкции можно задать следующим образом:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
где
i = 1...p = количество собственных значений, учитываемых при анализе спектра реакций
j = направление сейсмического воздействия
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = количество активированных масс в каждом узле в направлении воздействия j
Γij = коэффициенты соотношения для собственного значения i и направления воздействия j
ui = (uX, uY, uZ)T = собственная форма собственного значения i в одном узле, нормализованная по массе с Mi = uiTMui = 1 кг

Доля отсутствующих, неактивированных масс в каждом отдельном узле представляет собой разницу в общей массе конструкции и определяется следующим образом:
mj,missing = 1 - mj

Эквивалентные нагрузки в каждом узле и возникающие от них деформации и внутренние силы для соотношения неактивированных масс определяются следующим образом:
Fj = mj,missing ∙ ZPAjM
где
Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) = эквивалентные нагрузки в каждом узле для соотношения неактивированных масс в направлении воздействия j
ZPAj = спектральное ускорение Sa,j(T=0) в направлении воздействия j
M = (MX, MY, MZ) = масса в отдельных узлах конструкции

Полученные таким образом компоненты ZPA рассматриваются в модальном наложении как иное собственное значение. Наложение может быть выполнено с результатами динамически рассматриваемых собственных значений по правилу SRSS или как абсолютная сумма. Абсолютная сумма дает заниженные результаты.

Реализация в модуле DYNAM Pro - Forced Vibrations

В DYNAM Pro - Forced Vibrations метод ZPA применяется в случае, если выбран флажок на «Применить статическую поправку». Настройки показаны на рисунке 02.

Рисунок 02 - Активация метода ZPA в DYNAM Pro - Forced Vibrations

В DYNAM Pro определение неактивированных масс и результирующих эквивалентных нагрузок осуществляется внутри программы. Значение ZPA задается величиной из спектра реакций в периоде T = 0 сек; ZPA = Sa(T=0). Результаты компонента ZPA накладываются на результаты динамически рассматриваемых собственных значений как абсолютная сумма.

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmissing|
где
Rt = результаты после модального направленного наложения, включая компонент ZPA
RSRSS/CQC = результаты динамически рассматриваемых собственных значений, после модального наложения по правилу SRSS или CQC
Rmissing = результаты компонента ZPA

После наложения результаты экспортируются в виде сочетания результатов в основную программу RSTAB.

Пример

На примере консоли с пятью степенями свободы мы покажем, как метод ZPA работает в модуле DYNAM Pro - Forced Vibrations. Рассматриваемая очень простая система позволит наглядно продемонстрировать результаты. Для достижения частот выше значения fZPA с соответствующим соотношением масс мы выбрали жесткое сечение RO 508,0x10,0 с Iy = 48,520 см4 из стали S 235. Вес балки 612,3 кг равномерно распределен по шести узлам (включая опорные узлы). Кроме того, в узле 5 задана масса 1 т. Массы, а также воздействие на систему, действуют в направлении X. Конструкция с распределением массы, возникающие собственные колебания и полезные модальные массы показаны, наряду с пользовательским спектром реакций, на рисунке 03.

Рисунок 03 - Консоль с пятью степенями свободы: распределение масс, возникающие колебания и полезные модальные массы

В данном примере значение ZPA равно Sa = 2,00 м/с². Это значение ускорения для периода T = 0 сек. Если спектр реакций сравнить с частотами, частота fZPA приведет к результату 100 Гц при применении метода предельных значений. Поэтому первые две частоты f1 = 19,8 Гц и f2 = 92,8 Гц находятся в диапазоне средних частот (см. Рисунок 01) и учитываются динамически. Остальные три собственные частоты являются высокочастотными и могут быть учтены с помощью метода ZPA.

По умолчанию вычисление собственных значений в DYNAM Pro не учитывает массы жестких опор. Эти массы не влияют на установленные собственные частоты, и только в этом случае можно достичь суммы коэффициентов полезных модальных масс, равной 100%.

Однако, если влияние масс в опорах обязательно должно быть учтено с помощью метода ZPA, необходимо активировать данную опцию в DYNAM Pro, см. настройки на рисунке 04. В нашем примере учитываются массы в опорах.

Рисунок 04 - Детальные настройки в модуле DYNAM Pro

Активировав опцию «Пренебречь массами» мы изменим настройки по умолчанию, которые учитывают массы. При этом если таблица «архив узлов» останется пустой, будут также учтены массы на опорах.

В следующей таблице приведены коэффициенты соотношения ΓX, доли активированных масс mX, доли неактивированных масс mX,missing и полученные эквивалентные нагрузки в шести узлах конструкции. Основы расчета для метода ZPA обсуждались в предыдущем разделе.

Узел Масса
Mx
Коэффициент соотношения
ΓX
Форма колебаний
uX
Компоненты
активированных
масс
mX
Компоненты
недостающих
масс
mX,missing
Эквивалентные нагрузки
FX [Н]
Форма 1 Форма 2 Форма 1 Форма 2
1 61,23     0,078350 -0,056290 0,3220 0,6780 83,03
2 122,46     0,056790 -0,008520 1,1325 -0,1325 -32,44
3 122,46 24,12 27,85 0,036140 0,027190 1,6290 -0,6290 -154,05
4 122,46     0,018110 0,038290 1,5033 -0,5033 -123,26
5 1 122,46     0,005100 0,021670 0,7266 0,2734 613,82
6 61,23     0,000000 0,000000 0,0000 1,0000 122,46

Поперечная сила, моменты и опорные реакции, возникающие в результате данных эквивалентных нагрузок, показаны на рисунке 05.

Рисунок 05 - Результаты применения метода ZPA

Окончательные результаты мультимодального анализа спектра реакций с применением метода ZPA получаются из результатов первых двух собственных значений (после модального наложения по правилу SRSS) и результатов компонента ZPA (см. рисунок 05).

На рисунке 06 сравниваются результаты анализа спектра реакций с учетом первых двух собственных значений (DLC и LC2 в модели) и конечные результаты, включая компонент ZPA (DLC3 и LC3 в модели). Если посмотреть на рисунок 05 и рисунок 06, ясно видна абсолютная сумма, примененная в модуле DYNAM Pro.

Рисунок 06 - Результаты мультимодального анализа спектра реакций с учетом (а) двух собственных значений и (б) двух собственных значений и компонентов ZPA

На рисунке 07 для сравнения показаны результаты анализа спектра реакций с учетом всех пяти собственных значений. Метод ZPA учитывает массы на опорах. Это приводит к увеличению опорной силы PX = 2,57 кН. Внутренние силы имеют запас благодаря наложению в виде абсолютной суммы (сравните рисунок 07 и рисунок 06).

Рисунок 07 - Результаты мультимодального анализа спектра реакций с учетом пяти собственных значений

Резюме

На данном примере показано, как метод ZPA применяется в модуле DYNAM Pro, при этом результаты можно наглядно проверить. Данный метод эффективен и рекомендуется в случае, когда высокие частоты конструкции активируют соответствующие массовые компоненты и когда в конструкции присутствуют большие массы на опорах.

Литература

[1]  Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2]  Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3]  Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4]  U.S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. Washington: NRC, 2012
[5]  Manual RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, December 2016. Download: https://www.dlubal.com/en/downloads-and-information/documents/manuals?category=add-on-module-dynamic-analysis

Загрузки

Ссылки

Контакты

Свяжитесь с Dlubal

У вас есть какие-либо вопросы или необходим совет?
Свяжитесь с нами или ознакомьтесь с различными предлагаемыми решениями и полезными советами на странице часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RSTAB Основная программа
RSTAB 8.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций рам, балок и ферм, выполняющее линейные и неьинейные расчеты внутренних сил, деформаций и опорных реакций

Цена первой лицензии
2 550,00 USD