Método ZPA en el análisis del espectro de respuesta

Bei sehr großen Modellen mit sehr vielen Freiheitsgraden oder bei Strukturen, die fundamentale Eigenwerte im hochfrequenten Bereich aufweisen (zum Beispiel Rohrleitungssysteme), sind diese Forderungen unter Umständen schwer zu erfüllen. In solchen Fällen gewinnt die ZPA-Methode (Zero-Period-Acceleration) an Bedeutung. Este método también es capaz de considerar las masa en los apoyos por sí mismas, lo cual tiene una influencia decisiva en las fuerzas en los apoyos.

Man unterscheidet drei Frequenzbereiche, anhand welcher die Systemantworten unterschiedlich kategorisiert werden können (siehe Bild 01): (1) Niedrigfrequenzbereich, (2) Mittelfrequenzbereich und (3) der hochfrequente Bereich.

Spektrale Beschleunigung Sa [m/s²] versus Eigenfrequenz f [Hz] eines schmalbandigen Antwortspektrums nach EN 1998-1 [1]

El intervalo de baja y media frecuencia (f < f_ZPA), son los intervalos considerados normalmente en la dinámica estructural. Bauwerke besitzen dominante Eigenfrequenzen in diesem Bereich und in vielen Fällen werden mehr als 90 % der Strukturmasse mit diesen Eigenwerten aktiviert. Die Systemantworten im niederfrequenten Bereich sind periodisch und Ergebnisse von verschiedenen Eigenwerten sind phasenverschoben. Die Überlagerung der Antworten aus einzelnen Eigenwerten erfolgt quadratisch entweder mit der SRSS- oder besser mit der CQC-Regel.

El intervalo de frecuencia alta (f > f_ZPA), las respuestas del sistema son pseudo estáticas y las respuestas desde los valores propios individuales están en fase. Die modale Überlagerung kann somit als algebraische Summe ausgeführt werden. Anstatt diese Hochfrequenzen dynamisch zu berücksichtigen, ist es üblich, die fehlenden aktivierten Massen zu ermitteln und mittels des ZPA-Wertes die Antworten des gesamten hochfrequenten Bereiches pseudo-statisch hinzuzufügen. El valor de ZPA se corresponde con el valor del espectro de respuesta para el período T = 0 segundos; ZPA = S_a (T = 0). Es ist aber auch ein selbst definierter Wert für den ZPA-Wert vorstellbar. Este método se llama ZPA, método de las masas omitidas o también corrección estática [2, 3, 4].

Las frecuencias del intervalo medio (f_SP < f < f_ZPA) proporcionan respuestas del sistema que son periódicas y pseudo estáticas a las partes. Estas frecuencias se pueden combinar con las reglas de superposición especiales tales como el método Gupta [2] para considerar la suma algebráica de las componentes pseudo estáticas. Eine Überlagerung mittels üblicher quadratischer Regeln wie der CQC-Regel ist aber ebenfalls üblich.

La frecuencia f_SP (sp = "spectral peak" o pico del espectro) se corresponde con el valor máximo de la aceleración del espectro. La frecuencia f_ZPA (ZPA = "Zero-Period-Acceleration" o aceleración del periodo cero) es la frecuencia mínima con la que la aceleración alcanza aproximadamente el valor ZPA.

Berechnung der ZPA-Anteile

Die Anteile der aktivierten Massen an jedem einzelnen Knoten im System können wie folgt ermittelt werden:

Der Anteil der fehlenden, nicht aktivierten Massen an jedem einzelnen Knoten, ist die Differenz zur gesamten Strukturmasse und wird wie folgt bestimmt:
m_j,missing = 1 - m_j

Die Ersatzlasten an jedem Knoten und daraus folgend dann Verformungen und Schnittgrößen für den Anteil der nicht aktivierten Massen ermitteln sich folgendermaßen:
F_j = m_j,missing ∙ ZPA_j ∙ M
Donde
F_j = (F_X,j, F_Y,j, F_Z,j) = cargas equivalentes en cada nudo para la proporción de masas desactivadas que resultan de la dirección de excitación j
ZPA_j = aceleración espectral S_a,j(T=0) en la dirección de la excitación j
M = (M_X, M_Y, M_Z) = masa en los nudos individuales del sistema

Die so ermittelten Ergebnisse der ZPA-Anteile werden bei der modalen Überlagerung wie ein weiterer Eigenwert behandelt. La superposición con los resultados de los valores propios considerados dinámicamente se pueden realizar mediante la regla SRSS o una suma absoluta. Die absolute Summe liefert auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse.

Umsetzung in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

In DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die ZPA-Methode angewendet, wenn das Kontrollkästchen "Statische Korrektur anwenden" selektiert ist. El ajuste se muestra en la Figura 02.

Aktivierung der ZPA-Methode in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

In DYNAM Pro erfolgt die Ermittlung der nicht aktivierten Massen und der daraus resultierenden Ersatzlasten intern. El valor ZPA se define con el valor desde el espectro de respuesta para el periodo T = 0 segundos, ZPA = S_a (T = 0). Los resultados de la componente ZPA están superpuestos como una suma absoluta con los resultados de los valores propios considerados de forma dinámica.

R_t = |R_SRSS/CQC| + |R_missing|
Donde
R_t = resultados después de la superposición modal y direccional, incluyendo la componente ZPA
R_SRSS/CQC = resultados de los valores propios considerados de forma dinámica, modalmente superpuestos con la regla SRSS o CQC
R_missing = resultados del componente ZPA

Die Ergebnisse nach erfolgter Überlagerung werden als Ergebniskombination in das Hauptprogramm RSTAB exportiert.

Ejemplo

An einem Kragarm mit fünf Freiheitsgraden wird aufgezeigt, wie die ZPA-Methode in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen umgesetzt ist. Betrachtet wird ein sehr einfaches System, um die Nachvollziehbarkeit der Ergebnisse zu ermöglichen. Se selecciona una sección rígida RO 508,0x10,0508.0x10,0 con I_y508.0x10.0 = 508.0x10.048,520 cm⁴ hechos de acero S 235 para alcanzar las frecuencias superiores al valor f_ZPA con la contribución de masa relevante. Das Eigengewicht des Trägers von 612,3 kg wird gleichmäßig auf die sechs Knoten (inklusive Auflagerknoten) verteilt. Además, se define una masa de 1 t en el nudo 5. Die Massen und auch die Anregung des Systems wirken in X-Richtung. Die Struktur mit Masseverteilung, resultierenden Eigenfrequenzen und effektiven Modalmassen ist zusammen mit dem benutzerdefinierten Antwortspektrum in Bild 03 dargestellt.

Voladizo con cinco grados de libertad: Distribución de masas, frecuencias resultantes y masas modales eficaces

En este ejemplo, el valor de ZPA es S_a = 2,00 m/s². Este es el valor de aceleración para el período T = 0 seg. Si el espectro de respuesta se traza contra las frecuencias, el valor límite da como resultado una frecuencia de f_ZPA de 100 Hz. Las dos primeras frecuencias f₁ = 19,8 Hz y f₂ = 92,8 H< de este modo se encuentran en el intervalo de frecuencia media (ver figura 01) y se consideran de forma dinámica. Die restlichen drei Eigenfrequenzen sind hochfrequent und können mit der ZPA-Methode berücksichtigt werden.

Als Standardeinstellung werden bei der Eigenwertberechnung in DYNAM Pro die Massen an festen Auflagern nicht berücksichtigt. Diese Massen haben keinen Einfluss auf die ermittelten Eigenfrequenzen und nur so ist es möglich, effektive Modalmassenfaktoren von 100 % zu erzielen.

Wenn man bei der ZPA-Methode aber explizit den Einfluss der Massen in den Auflagern mitberücksichtigen möchte, muss man diese in DYNAM Pro mit der in Bild 04 gezeigten Einstellung aktivieren. In diesem Beispiel werden die Massen in den Auflagern berücksichtigt.

Configuración de detalles en DYNAM Pro

Durch Aktivierung von "Massen vernachlässigen" werden die Standardeinstellung der berücksichtigten Massen geändert. Lässt man die Tabelle der "Knotenlager" leer, werden Massen auch an Auflagern berücksichtigt.

La siguiente tabla determina los factores de participación Γ_X, las proporciones de las masas activadas m_X. las proporciones de las masas desactivadas m_{X, missing} y las cargas equivalentes resultantes en los seis nudos del sistema. Die Berechnungsgrundlagen der ZPA-Methode wurden im vorherigen Abschnitt diskutiert.

Die Querkräfte, Momente und Auflagerkräfte resultierend aus diesen Ersatzlasten sind in Bild 05 dargestellt.

Ergebnisse der ZPA-Methode

Die Endergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung der ZPA-Methode ergeben sich aus den Ergebnissen der ersten beiden Eigenwerte (hier modal überlagert mit der SRSS-Regel) und den Ergebnissen des ZPA-Anteiles (siehe Bild 05).

In Bild 06 sind die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung der ersten beiden Eigenwerte (DLF2 und EK2 im Modell) den finalen Ergebnissen inklusive dem ZPA-Anteil (DLF3 und EK3 im Modell) gegenübergestellt. Betrachtet man Bild 05 und Bild 06, ist die absolute Summenbildung, die in DYNAM Pro Verwendung findet, klar zu erkennen.

Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von (a) zwei Eigenwerten und (b) zwei Eigenwerten und der ZPA-Anteile

In Bild 07 sind die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung aller fünf Eigenwerte zum Vergleich dargestellt. Die ZPA-Methode berücksichtigt die Massen in den Auflagern. Esto da como resultado una fuerza en el apoyo mayor, de P_X = 2,57 kN. Die Schnittgrößen liegen auf der sicheren Seite aufgrund der Überlagerung als absolute Summe (vergleiche Bild 07 mit Bild 06).

Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von fünf Eigenwerten

Resumen

Mit diesem Beispiel wurde gezeigt, wie die ZPA-Methode in DYNAM Pro umgesetzt ist und dass die Ergebnisse prüfbar nachvollziehbar sind. Sinnvoll und empfohlen ist diese Methode, wenn hochfrequente Frequenzen der Struktur relevante Massenanteile aktivieren und wenn größere Auflagermassen im Bauwerk vorhanden sind.

Bibliografía