Metoda ZPA při analýze pomocí spektra odezvy

Odborný článek

Při multimodální analýze s použitím spektra odezvy je důležité vypočítat dostatečný počet vlastních čísel konstrukce a zohlednit jejich dynamickou odezvu. Podle norem jako EN 1998-1 [1] a jiných mezinárodních norem je třeba aktivovat 90 % hmoty konstrukce. To znamená, že se musí stanovit tolik vlastních čísel, aby faktory účinných modálních hmot přesahovaly v součtu 0,9.

U velmi rozsáhlých modelů s velmi mnoha stupni volnosti nebo u konstrukcí, jejichž základní vlastní čísla se nacházejí ve vysokofrekvenční oblasti (například potrubní systémy), může být tento požadavek těžko splnitelný. V takových případech nabývá na významu metoda ZPA  (Zero-Period-Acceleration). Tato metoda také umožňuje zohlednit samotné hmoty v  podporách, což má rozhodující vliv na podporové síly.

Rozlišujeme tři oblasti frekvencí, na jejichž základě se třídí odezvy konstrukce (viz obr. 01):  (1) nízkofrekvenční oblast, (2) středofrekvenční oblast a (3) vysokofrekvenční oblast.

Obr. 01 - Spektrální zrychlení Sa [m/s²] oproti vlastní frekvenci f [Hz] úzkopásmového spektra odezvy podle EN 1998-1 [1]

Obvykle se ve stavební dynamice věnuje pozornost nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti (f < fZPA). Stavby mívají dominantní vlastní frekvence v této oblasti a v mnoha případech se těmito vlastními hodnotami aktivuje více než 90 % hmotnosti konstrukce. Systémové odezvy v nízkofrekvenční oblasti jsou periodické a výsledky různých vlastních čísel vykazují fázový posun. Odezvy jednotlivých vlastních hodnot se skládají do kombinací podle pravidel kvadratické superpozice SRSS nebo ještě lépe CQC.

Ve vysokofrekvenční oblasti (f > fZPA) jsou systémové odezvy pseudostatické, odezvy jednotlivých vlastních hodnot soufázové. Modální superpozice tak může odpovídat algebraickému součtu. Místo dynamického zohlednění těchto vysokých frekvencí se obvykle vypočítají chybějící aktivované hmoty a hodnotou ZPA se k tomu pseudostaticky zohlední odezvy celé vysokofrekvenční oblasti. Hodnota ZPA odpovídá hodnotě ze spektra odezvy pro periodu T = 0 s; ZPA = Sa(T=0). Pro ZPA se ovšem připouští také uživatelsky zadaná hodnota. Tato metoda se označuje jako metoda ZPA, metoda „Missing Mass“nebo také jako statická korekce [2, 3, 4].

Frekvence ve středové oblasti (fSP < f < fZPA) vyvolávají zčásti periodické a zčásti pseudostatické systémové odezvy. Tyto frekvence lze skládat do kombinací podle speciálních pravidel superpozice například Guptovou metodou [2], a zohlednit tak algebraický součet pseudostatických složek. Kvadratická superpozice podle pravidel CQC je ovšem také běžná.

Frekvence fSP (sp = spectral peak) odpovídá maximální hodnotě spektrálního zrychlení.  Frekvence fZPA (ZPA = Zero-Period-Acceleration) představuje minimální frekvenci, při které dosahuje zrychlení přibližně hodnoty ZPA.

Výpočet složek ZPA

Složky aktivovaných hmot na každém jednotlivém uzlu v systému lze spočítat následovně:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
mit
i = 1...p = počet vlastních čísel zohledněných při analýze spektra odezvy
j = směr seizmického buzení
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = složky aktivovaných hmot na každém uzlu ve směru buzení j
Γij = podílové součinitele pro vlastní číslo i a směr buzení j
ui = (uX, uY, uZ)T = vlastní tvar vlastního čísla i na jednotlivém uzlu, normováno hmotnostně Mi = uiTMui = 1 kg

Složka chybějících, neaktivovaných hmot na každém jednotlivém uzlu odpovídá rozdílu celkové hmoty konstrukce a aktivovaných hmot a stanoví se následovně:
mj,missing = 1 - mj

Náhradní zatížení na každém uzlu a z nich plynoucí deformace a vnitřní síly pro složku neaktivovaných hmot určíme ze vztahu:
Fj = mj,missing ∙ ZPAjM
kde
Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) = náhradní zatížení na každém uzlu pro složku neaktivovaných hmot ve směru buzení j
ZPAj = spektrální zrychlení Sa,j(T=0) ve směru buzení j
M = (MX, MY, MZ) = hmota na jednotlivých uzlech konstrukce

K takto vypočítaným výsledkům složek ZPA přistupujeme při modální superpozici jako k dalšímu vlastnímu číslu. Superponovat je lze s výsledky dynamicky uvažovaných vlastních čísel podle pravidla SRSS nebo jako absolutní součet. V případě absolutního součtu jsou výsledky na straně bezpečnosti.

Použití v modulu DYNAM Pro – Forced Vibrations

V přídavném modulu DYNAM Pro – Forced Vibrations se metoda ZPA uplatní, pokud označíme možnost „Použít opravu statiky“. Příslušné nastavení je znázorněno na Obr. 02.

Obr. 02 - Aktivace metody ZPA v modulu DYNAM Pro - Forced Vibrations

V modulu DYNAM Pro se neaktivované hmoty a z nich plynoucí náhradní zatížení vypočítají interně v programu. Hodnota ZPA je definována hodnotou ze spektra odezvy při periodě T = 0 s; ZPA = Sa(T=0). Výsledky složky ZPA se superponují s výsledky dynamicky zohledněných vlastních čísel jako absolutní součet.

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmissing|
kde
Rt = výsledky po modální směrové superpozici včetně složky ZPA
RSRSS/CQC = výsledky dynamicky zohledněných vlastních čísel po modální superpozici podle pravidel SRSS nebo CQC
Rmissing = výsledky složky ZPA

Výsledky se po provedené superpozici převedou jako kombinace výsledků do hlavního programu RSTAB.

Příklad

Na konzole s pěti stupni volnosti si ukážeme, jak se v modulu DYNAM Pro – Forced Vibrations uplatňuje metoda ZPA. Pro naši analýzu jsme zvolili velmi jednoduchou konstrukci, abychom mohli výsledky snadno překontrolovat. Vybereme přitom tuhý průřez RO 508,0x10,0 s Iy = 48 520 cm4 z oceli S 235, abychom dosáhli frekvencí nad hodnotou fZPA s relevantním podílem hmot. Vlastní tíha nosníku, která činí 612,3 kg, se rovnoměrně rozloží na šest uzlů (včetně uzlu s podporou). Dodatečně zadáme hmotu 1 t na uzlu 5. Hmoty i buzení konstrukce působí ve směru X. Konstrukce s rozdělením hmot, výslednými vlastními frekvencemi a účinnými modálními hmotami je spolu s uživatelsky zadaným spektrem odezvy znázorněna na Obr. 03.

Obr. 03 - Konzola s pěti stupni volnosti: rozložení hmot, výsledné frekvence a účinné modální hmoty

Hodnota ZPA činí v našem příkladu Sa = 2,00 m/s2. Jedná se o hodnotu zrychlení při periodě T=0 s. Ze znázorněného spektra odezvy vzhledem k frekvencím a s přihlédnutím k mezní hodnotě se stanoví frekvence fZPA na 100 Hz. Obě první frekvence f1 = 19,8 Hz a f2 = 92,8 Hz tak spadají do středofrekvenční oblasti (viz Obr. 01) a zohlední se dynamicky. Ostatní tři vlastní frekvence jsou vysoké frekvence a lze je analyzovat metodou ZPA.

Při standardním nastavení se ve výpočtu vlastních čísel v modulu DYNAM Pro nezohlední hmoty na pevných podporách. Tyto hmoty nemají žádný vliv na vypočítané vlastní frekvence a pouze tímto způsobem lze dosáhnout faktorů účinných modálních hmot v součtu 100 %.

Pokud ovšem výslovně požadujeme, aby se hmoty na podporách při analýze metodou ZPA také zohlednily, musí být tyto hmoty v modulu DYNAM Pro aktivovány (viz nastavení na Obr. 04). V našem příkladu se budou hmoty na podporách uvažovat.

Obr. 04 - Detailní nastavení v modulu DYNAM Pro

Aktivací volby „Zanedbávané hmoty...“ pozměníme standardní nastavení, při kterém se hmoty zohledňují. Jestliže ponecháme tabulku „Uzlové podpory“ prázdnou, budou se uvažovat také hmoty na podporách.

V následující tabulce se uvádí podílové součinitele ΓX, složky aktivovaných hmot mX, složky neaktivovaných hmot mX,missing a výsledná náhradní zatížení na šesti uzlech v konstrukci. Základy výpočtu metodou ZPA jsme popsali výše.

UzelHmota
Mx
Podílový součinitel
ΓX
Vlastní tvar
uX
Složky aktivovaných
hmot
mX
Složky chybějících hmot
mX,missing
Náhradní zatížení
FX [N]
Tvar 1Tvar 2Tvar 1Tvar 2
161,23  0,078350-0,0562900,32200,678083,03
2122,46  0,056790-0,0085201,1325-0,1325-32,44
3122,4624,1227,850,0361400,0271901,6290-0,6290-154,05
4122,46  0,0181100,0382901,5033-0,5033-123,26
51.122,46  0,0051000,0216700,72660,2734613,82
661,23  0,0000000,0000000,00001,0000122,46

Tabulka 01 - Výpočet náhradních zatížení s použitím metody ZPA

Posouvající síly, momenty a podporové síly, které plynou z těchto náhradních zatížení, jsou znázorněny na Obr. 05.

Obr. 05 - Výsledky při použití metody ZPA

Konečné výsledky multimodální analýzy s použitím spektra odezvy a metody ZPA se stanoví z výsledných hodnot obou prvních vlastních tvarů (zde po modální superpozici podle pravidla SRSS) a z výsledků složky ZPA (viz Obr. 05).

Na Obr. 06 porovnáváme výsledky analýzy spektra odezvy, kdy se zohledňují první dvě vlastní čísla (DZS2 a KV2 v modelu), s konečnými výsledky včetně složky ZPA (DZS3 a KV3 v modelu). Jestliže si pozorně prohlédneme Obr. 05 a Obr. 06, jasně rozpoznáme použití absolutního součtu v modulu DYNAM Pro.

Obr. 06 - Výsledky multimodální analýzy spektra odezvy při zohlednění (a) dvou vlastních čísel a (b) dvou vlastních čísel a složek ZPA

Na Obr. 07 jsou pro porovnání znázorněny výsledky analýzy spektra odezvy, při které se zohledňuje všech pět vlastních čísel. Při použití metody ZPA se uvažují hmoty na podporách. Vzniká tak větší podporová síla PX = 2,57 kN. Vnitřní síly jsou na straně bezpečnosti, protože pro superpozici jsme uplatnili absolutní součet (srovnej Obr. 07 s Obr. 06).

Obr. 07 - Výsledky multimodální analýzy spektra odezvy při zohlednění pěti vlastních čísel

Shrnutí

Na tomto příkladu jsme předvedli, jak se metoda ZPA uplatňuje v modulu DYNAM Pro, a ukázali jsme, že výsledky lze spolehlivě ověřit. Tuto metodu lze doporučit v případě, kdy vysoké frekvence konstrukce aktivují relevantní podíly hmot a kdy stavba vykazuje větší množství hmot na podporách.

Literatura

[1] ČSN EN 1998-1:2006. Eurokód 8: Navrhování konstrukcí odolných proti zemětřesení – Část 1: Obecná pravidla, seizmická zatížení a pravidla pro pozemní stavby. Český normalizační úřad, Praha: 2006.
[2] Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). CRC Pres: sBoca Raton, 1992
[3] Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. IASMiR: TRaleigh, 1999
[4] U. S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. NRC: Washington, 2012
[5] Manuál RF-/DYNAM. Dlubal Software: Praha, únor 2011. Stáhnout

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RSTAB Hlavní program
RSTAB 8.xx

Hlavní program

Program pro statický výpočet a navrhování prutových a příhradových konstrukcí, provedení lineárních a nelineárních výpočtů vnitřních sil, deformací a podporových reakcí.

Cena za první licenci
2 550,00 USD