ZPA-方法,反应谱法中的零周期加速度(最大楼面加速度)

技术文章

在多模态振型分解反应谱方法中,必须选择足够多的结构振型数目进行计算并考虑其动力反应。 欧洲抗震设计规范EN 1998-1 [1] 以及其他国家规范的具体规定是必须考虑至少90 % 的振型有效质量。 其具体数学意义是: 选择的振型数目必须符合有效振型质量系数大于 0.9。

但是对于非常大的结构计算模型其自由度非常多或者结构的第一主振型位于高频率区域(例题管道结构),这种情况难以满足上述的有效振型质量系数的最低值的要求。 此种情况下可以使用 ZPA-方法 (Zero-Period-Acceleration) 进行计算。 此方法也适用于当考虑支座位置的质量时对支座反力的计算结果影响较大时。

可以将结构体系在动力荷载作用下的振动反应的频率区域分为几个区域(见图 01): (1) 低频率区域, (2) 中等频率区域,(3) 高频率区域。

图片 01 - 按照欧洲抗震设计规范 EN 1998-1 [1] 某设计反应谱中最大反应加速度 Sa [m/s²] 与自振频率 f [Hz] 关系曲线

其中低频率和中频率区域 (f < fZPA) 在结构动力计算中是最为常见的区域。 建筑结构的主要自振频率大部分都位于此区域,并且大多数情况下有效振型质量系数大于 0.9。 结构体系在低自振频率区段中的反应呈现周期性特征,不同特征值的计算结果有相位差。 各个特征振型反应的包络计算可以按照平方和开方 SRSS 方法或者使用完全方根组合法 CQC 方法计算更好。

结构体系在高自振频率区段(f > fZPA)中的反应呈现虚拟受迫振动,不同特征值的计算结果为同相振动。 各个特征振型反应的包络计算可以按照代数叠加。 通常情况下采用计算未考虑的振型有效质量,并使用 ZPA 数值计算整体结构在高自振频率区段的虚拟受迫振动的方法,替代考虑原高自振频率区段的振动分析。 ZPA 数值对应在反应谱中周期 T = 0 sec; ZPA = Sa(T=0) 的数值。 ZPA = Sa(T=0). 并且允许自定义 ZPA 的数值。 本方法一般称之为 ZPA 方法或者迷失质量方法(Missing-Mass-Methode) [2, 3, 4]

结构体系在中等自振频率区段 (fSP < f < fZPA) 中的反应呈现周期振动与虚拟受迫振动的共同特征。 为考虑这种频率在虚拟受迫振动下的代数叠加部分,可以按照特殊的包络方法例如 Gupta 方法 [2] 进行组合计算。 各个特征振型反应的包络计算可以按照完全方根组合法 CQC 方法计算。

频率 fSP (sp = spectral peak) 是指加速度反应谱的最大数值。 ZPA-频率 fZPA (ZPA = Zero-Period-Acceleration) 是指近似满足 ZPA-加速度数值的最小频率。

计算 ZPA 方法中各公式的数值

结构体系中每个节点的振型有效质量部分可以按照下列方法计算:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
mit
i = 1...p = 反应谱方法中考虑的振型数目
j = 地震作用方向
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = 方向上结构体系中每个节点的振型有效质量部分
Γij = 方向,振型 i 振型参与系数
ui = (uX, uY, uZ)T = 振型 i 各个节点位置的位移,质量标准化 Mi = uiTMui = 1 kg

各个节点位置的未考虑振型有效质量部分为与结构整体总质量差值, 按照下式计算:
mj,missing = 1 - mj

按照未考虑的振型有效质量计算的各个节点位置的等效替代荷载以及变形和内力按照下式计算:
Fj = mj,missing ∙ ZPAjM
mit
Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) =  j 方向上各个节点未考虑的振型有效质量部分的等效荷载的合力
ZPAj = 方向上基本加速度反应谱 Sa,j(T=0) 对应的值
M = (MX, MY, MZ) = 结构体系各个节点位置的质量

上述计算的 ZPA 方法中各公式的数值将按照振型分解组合方法进行包络计算。 各个特征振型反应的包络计算可以按照平方和开方 SRSS 方法或者取绝对值叠加计算。 绝对值相加计算的结果数值最大而且最安全。

转换到附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动

动力计算附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动中, 如果激活选项框“使用静力修正”后可以使用ZPA-方法。设置方法请参见图 02 中的选项。

图片 02 - 附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动中激活 ZPA-方法

附加模块 DYNAM Pro 可以计算未考虑的振型有效质量部分并计算等效荷载的合力。 ZPA-数值采用在反应谱中对应的周期 T = 0 sec; ZPA = Sa(T=0) 的数值。 ZPA = Sa(T=0)。 ZPA-数值的计算结果采用绝对值之和与动力计算时考虑的振型进行叠加。

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmissing|
式中
Rt = ZPA 部分按照振型叠加和定向叠加的计算结果
RSRSS/CQC = 动力分析考虑特征值的计算结果,振型叠加计算可以按照平方和开方SRSS 方法或者完全方根组合法CQC 方法。
Rmissing = ZPA-部分的计算结果

叠加之后的计算结果将作为结果组合导出到主程序 RSTAB 中。

例题

本例题将阐述某个悬臂梁,5个自由度,如何在附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动中使用ZPA-方法进行计算。 为了便于理解,本例题使用非常简单的结构体系。 例题中选择刚度较大的截面类型 RO 508,0x10,0,截面惯性矩 Iy = 48.520 cm4 ,钢材 S 235,便于使结构振型有效质量部分的频率大于 fZPA。 梁的自重 612,3 kg 平均分配到 6 个节点上(包括支座节点)。 此外还在节点 5 的位置附加定义了 1 t 的集中质量。 假设质量和激励作用的方向均为 X 方向。 结构体系的质量分布,自振频率以及模态质量与自定义的反应谱同时在图 03 中显示。

图片 03 - 个自由度悬臂梁:质量分布,振频率以及模态质量

本例计算的 ZPA-数值的基本地震加速度 Sa = 2,00 m/s2。 此时的加速度值为取周期 T=0 sec 时的数值。 在反应谱图形数据表格中同时显示了频率的数值,频率 fZPA  的最大值为 100 Hz。 表格前两项的频率值 f1 = 19,8 Hz 和 f2 = 92,8 Hz 定义了中等频率区段(见图 01),该区段为动力计算所考虑的区段。 在 ZPA 方法中所需考虑使用的数值是表格中其他 3 个高频率区段的频率值。

附加模块 DYNAM Pro 中计算结构的特征值时,默认的设置是固定支座位置的质量可以忽略不计。 考虑该质量不影响结构的自振频率,只会影响计算有效模态质量系数的和是否达到 100 %。

如果使用 ZPA-方法计算时需考虑支座位置的质量的影响,必须按照图 04 在附加模块 DYNAM Pro 中激活所示的设置。 本文的实例已经考虑支座位置的质量影响。

图片 04 - 附加模块 DYNAM Pro 详细设置

激活“忽略质量”按钮后将修改模块中的默认设置。 如果在表格中设置“节点支座”为空,那么计算时将考虑支座位置的质量。

下面的表格计算了mX 振型质量参与系数 ΓX,,未考虑的振型有效质量 mX,missing ,以及结构中 6 个节点位置的等效荷载。 ZPA-方法的具体计算步骤在上文中已经探讨。

节点质量
Mx
参与系数
ΓX
振型
uX
振型有效质量部分
mX
未考虑的振型有效质量部分
mX,missing
等效荷载
FX [N]
振型 1振型 2振型 1振型 2
161,23  0,078350-0,0562900,32200,678083,03
2122,46  0,056790-0,0085201,1325-0,1325-32,44
3122,4624,1227,850,0361400,0271901,6290-0,6290-154,05
4122,46  0,0181100,0382901,5033-0,5033-123,26
51.122,46  0,0051000,0216700,72660,2734613,82
661,23  0,0000000,0000000,00001,0000122,46

图 05 显示的是由等效荷载计算得出的剪力、弯矩和支座反力。

图片 05 - ZPA-方法计算结果

使用多振型反应谱方法计算并考虑 ZPA 方法时的计算结果分别为 2 个主振型的特征值(振型分解反应谱方法计算结果使用平方和开方 SRSS 进行叠加)以及 ZPA 部分的计算结果(见图 05)。

图 06 中显示的是分别按照反应谱方法计算并考虑前 2 个特征值 (模型中 DLC 与 RC2)以及包括ZPA 部分(模型中 DLC3 与 RC3)的最终计算结果(见图 05)。由图形 05  和图形 06 可知在附加模块 DYNAM Pro 中使用的是绝对值的叠加。

图片 06 - 多振型反应谱方法考虑 (a) 2 个特征值以及 (b) 同时考虑 2 个特征值与 ZPA-部分的计算结果

图 07 为考虑全部 5 个特征值的反应谱方法的计算结果,并相互比较。 ZPA-方法考虑了支座位置的质量。 因此其支座反力的计算结果较大 PX = 2,57 kN。 按照绝对值的叠加计算,内力的设计值偏于安全(比较图 07 与图 06)。

图片 07 - 多振型反应谱方法考虑 5 个特征值时计算结果

总结

本文的计算实例阐述了如何在动力计算附加模块 DYNAM Pro 中使用 ZPA-方法,并如何对计算结果进行检查。 该方法主要适用于例如当结构体系的自振频率较大和质量较大且当在支座位置的质量不可以忽略等的情况。

参考书目

[1] Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2] Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3] Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4] U. S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. Washington: NRC, 2012
[5] Handbuch RF-/DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, Dezember 2016. Download

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