ZPA-方法，反应谱法中的零周期加速度（最大楼面加速度）

但是对于非常大的结构计算模型其自由度非常多或者结构的第一主振型位于高频率区域（例题管道结构），这种情况难以满足上述的有效振型质量系数的最低值的要求。 此种情况下可以使用 ZPA-方法 (Zero-Period-Acceleration) 进行计算。 此方法也适用于当考虑支座位置的质量时对支座反力的计算结果影响较大时。

可以将结构体系在动力荷载作用下的振动反应的频率区域分为几个区域（见图 01）： (1) 低频率区域， (2) 中等频率区域，(3) 高频率区域。

Spektrale Beschleunigung Sa [m/s²] versus Eigenfrequenz f [Hz] eines schmalbandigen Antwortspektrums nach EN 1998-1 [1]

Der niederfrequente und mittelfrequente Bereich (f < f_ZPA) ist der in der Baudynamik üblicherweise betrachtete Bereich. 建筑结构的主要自振频率大部分都位于此区域，并且大多数情况下有效振型质量系数大于 0.9。 结构体系在低自振频率区段中的反应呈现周期性特征，不同特征值的计算结果有相位差。 各个特征振型反应的包络计算可以按照平方和开方 SRSS 方法或者使用完全方根组合法 CQC 方法计算更好。

Im hochfrequenten Bereich (f > f_ZPA) fallen die Systemantworten pseudo-statisch aus, die Antworten aus einzelnen Eigenwerten sind gleichphasig. 各个特征振型反应的包络计算可以按照代数叠加。 通常情况下采用计算未考虑的振型有效质量，并使用 ZPA 数值计算整体结构在高自振频率区段的虚拟受迫振动的方法，替代考虑原高自振频率区段的振动分析。 Der ZPA-Wert entspricht dem Wert aus dem Antwortspektrum zur Periode T = 0 sec; ZPA = S_a(T=0). 并且允许自定义 ZPA 的数值。 Diese Methode wird als ZPA-Methode, als Missing-Mass-Methode oder auch als Statische Korrektur bezeichnet [2, 3, 4].

Frequenzen im mittleren Bereich (f_SP < f < f_ZPA) liefern Systemantworten, die zu Teilen periodisch und zu Teilen pseudo-statisch sind. Diese Frequenzen können mit speziellen Überlagerungsvorschriften wie zum Beispiel der Gupta-Methode [2] kombiniert werden, um die algebraische Summierung der pseudo-statischen Anteile zu berücksichtigen. 各个特征振型反应的包络计算可以按照完全方根组合法 CQC 方法计算。

Die Frequenz f_SP (sp = spectral peak) entspricht dem Maximalwert der spektralen Beschleunigung. Die ZPA-Frequenz f_ZPA (ZPA = Zero-Period-Acceleration) ist die minimale Frequenz mit welcher die Beschleunigung näherungsweise den ZPA-Wert erreicht.

计算 ZPA 方法中各公式的数值

结构体系中每个节点的振型有效质量部分可以按照下列方法计算：

各个节点位置的未考虑振型有效质量部分为与结构整体总质量差值， 按照下式计算：
m_j,missing = 1 - m_j

按照未考虑的振型有效质量计算的各个节点位置的等效替代荷载以及变形和内力按照下式计算：
F_j = m_j,missing ∙ ZPA_j ∙ M
值:
F_j = (F_X,j, F_Y,j, F_Z,j) = Ersatzlasten an jedem Knoten für den Anteil der nicht aktivierten Massen, resultierend aus der Anregungsrichtung j
ZPA_j = spektrale Beschleunigung S_a,j(T=0) in Richtung der Anregung j
M = (M_X, M_Y, M_Z) = Masse an den einzelnen Knoten im System

上述计算的 ZPA 方法中各公式的数值将按照振型分解组合方法进行包络计算。 各个特征振型反应的包络计算可以按照平方和开方 SRSS 方法或者取绝对值叠加计算。 Die absolute Summe liefert auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse.

转换到附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动

In DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die ZPA-Methode angewendet, wenn das Kontrollkästchen "Statische Korrektur anwenden" selektiert ist. Die Einstellung ist in Bild 02 dargestellt.

Aktivierung der ZPA-Methode in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

附加模块 DYNAM Pro 可以计算未考虑的振型有效质量部分并计算等效荷载的合力。 Der ZPA-Wert ist definiert mit dem Wert aus dem Antwortspektrum zur Periode T = 0 sec; ZPA = S_a(T=0). ZPA-数值的计算结果采用绝对值之和与动力计算时考虑的振型进行叠加。

R_t = |R_SRSS/CQC| + |R_missing|
值:
R_t = Ergebnisse nach modaler und direktionaler Überlagerung inklusive dem ZPA-Anteil
R_SRSS/CQC = Ergebnisse der dynamisch berücksichtigten Eigenwerte, modal überlagert mit der SRSS-oder der CQC-Regel
R_missing = Ergebnisse des ZPA-Anteiles

叠加之后的计算结果将作为结果组合导出到主程序 RSTAB 中。

示例

本例题将阐述某个悬臂梁，5个自由度，如何在附加模块 DYNAM Pro – 受迫振动中使用ZPA-方法进行计算。 为了便于理解，本例题使用非常简单的结构体系。 Gewählt ist ein steifer Querschnitt RO 508,0x10,0 mit I_y = 48.520 cm⁴ aus Stahl S 235, um Frequenzen oberhalb des Wertes f_ZPA mit relevanter Massenbeteiligung zu erzielen. 梁的自重 612,3 kg 平均分配到 6 个节点上（包括支座节点）。 此外还在节点 5 的位置附加定义了 1 t 的集中质量。 假设质量和激励作用的方向均为 X 方向。 结构体系的质量分布，自振频率以及模态质量与自定义的反应谱同时在图 03 中显示。

具有五个自由度的悬臂梁： 质量分布，结果频率和有效振型质量

In diesem Beispiel ergibt sich der ZPA-Wert zu S_a = 2,00 m/s². 此时的加速度值为取周期 T=0 sec 时的数值。 Stellt man das Antwortspektrum gegenüber den Frequenzen dar, ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung die Frequenz f_ZPA mit 100 Hz. Die ersten beiden Frequenzen f₁ = 19,8 Hz und f₂ = 92,8 Hz liegen somit im mittleren Frequenzbereich (siehe Bild 01) und werden dynamisch berücksichtigt. 在 ZPA 方法中所需考虑使用的数值是表格中其他 3 个高频率区段的频率值。

附加模块 DYNAM Pro 中计算结构的特征值时，默认的设置是固定支座位置的质量可以忽略不计。 考虑该质量不影响结构的自振频率，只会影响计算有效模态质量系数的和是否达到 100 %。

如果使用 ZPA-方法计算时需考虑支座位置的质量的影响，必须按照图 04 在附加模块 DYNAM Pro 中激活所示的设置。 本文的实例已经考虑支座位置的质量影响。

附加模块 DYNAM Pro 详细设置

激活“忽略质量”按钮后将修改模块中的默认设置。 如果在表格中设置“节点支座”为空，那么计算时将考虑支座位置的质量。

In der folgenden Tabelle werden die Beteiligungsfaktoren Γ_X, die Anteile der aktivierten Massen m_X, die Anteile der nicht aktivierten Massen m_X,missing und die resultierenden Ersatzlasten an den sechs Knoten im System ermittelt. ZPA-方法的具体计算步骤在上文中已经探讨。

图 05 显示的是由等效荷载计算得出的剪力、弯矩和支座反力。

Ergebnisse der ZPA-Methode

使用多振型反应谱方法计算并考虑 ZPA 方法时的计算结果分别为 2 个主振型的特征值（振型分解反应谱方法计算结果使用平方和开方 SRSS 进行叠加）以及 ZPA 部分的计算结果（见图 05）。

In Bild 06 sind die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung der ersten beiden Eigenwerte (DLF2 und EK2 im Modell) den finalen Ergebnissen inklusive dem ZPA-Anteil (DLF3 und EK3 im Modell) gegenübergestellt. Betrachtet man Bild 05 und Bild 06, ist die absolute Summenbildung, die in DYNAM Pro Verwendung findet, klar zu erkennen.

Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von (a) zwei Eigenwerten und (b) zwei Eigenwerten und der ZPA-Anteile

图 07 为考虑全部 5 个特征值的反应谱方法的计算结果，并相互比较。 ZPA-方法考虑了支座位置的质量。 Dadurch ergibt sich eine größere Auflagerkraft P_X = 2,57 kN. 按照绝对值的叠加计算，内力的设计值偏于安全（比较图 07 与图 06）。

Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von fünf Eigenwerten

小结

本文的计算实例阐述了如何在动力计算附加模块 DYNAM Pro 中使用 ZPA-方法，并如何对计算结果进行检查。 该方法主要适用于例如当结构体系的自振频率较大和质量较大且当在支座位置的质量不可以忽略等的情况。

使用的文献材料