Méthode APN (Accélération à Période Nulle) dans l’analyse du spectre de réponse

Article technique

Lors d’une analyse du spectre de réponse multimodal, il est important de déterminer un nombre suffisant de valeurs propres de la structure et de considérer leurs réponses dynamiques. Des règlements tels qu’EN 1998-1 [1] et d’autres normes internationales requièrent d’activer 90 % de la masse structurelle. C’est-à-dire qu’il est nécessaire de déterminer autant de valeurs propres que la différence entre la somme des masses modales efficace et 0.9.

Pour les très grandes structures avec beaucoup de degrés de liberté ou des structures avec des valeurs propres fondamentales dans les fréquences hautes (par exemple, les systèmes de tuyauterie), ces exigences peuvent se montrer difficiles à respecter. Dans de telles situations, la méthode APN (Accélération à Période Nulle) est utile. Cette méthode permet également de considérer les masses dans appuis, ce qui a une influence déterminante dans les réactions d’appui.

Une distinction est faite entre trois intervalles de fréquence, utilisés pour classer les réponses de système de différentes manières (voir la Figure 01) : (1) basses fréquences, (2) fréquences moyennes et (3) hautes fréquences.

Figure 01 – Accélération spectrale Sa [m/s²] contre la fréquence naturelle f [Hz] du spectre de réponse de bande étroite conformément à EN 1998-1 [1]

Les fréquences basses et les fréquences moyennes (f < fAPN) est l’intervalle généralement considéré pour les analyses dynamiques. Les bâtiments ont des fréquences naturelles dominantes dans cette zone et dans beaucoup de cas, plus de 90 % de la masse structurelle est activée avec ces valeurs propres. Les réponses du système dans les valeurs basses sont périodiques et les résultats de plusieurs valeurs propres sont déphasés. La combinaison des réponses des valeurs propres individuelles est réalisée de manière quadratique selon la règle SRSS ou encore mieux, selon la règle CQC.

Dans les fréquences hautes (f > fAPN), les réponses du système sont pseudo-statiques, les réponses des valeurs propres individuelles ont la même phase. La combinaison modale peut ainsi être exécutée comme une somme algébrique. Plutôt que de déterminer ces fréquences hautes de manière dynamique, il est courant de déterminer les masses activées manquantes et d’ajouter les réponses des fréquences hautes pseudo-statiques via la valeur APN. La valeur APN correspond à la valeur du spectre de réponse pour la période T = 0 secondes ; APN= Sa (T=0). Toutefois, la valeur définie par l’utilisateur pour la valeur APN est également concevable. Cette méthode est connue comme la méthode APN, méthode de la masse manquante ou correction statique [2, 3, 4].

Les fréquences moyennes (fSP < f < fAPN) fournissent des systèmes de réponse en partie périodiques et en partie pseudo-statiques. Ces fréquences peuvent être combinées avec les règles de superposition spéciales, telles que la méthode Gupta [2] pour considérer l’addition algébrique des contributions pseudo-statiques. Toutefois, les combinaisons avec les règles quadratiques standard, par exemple selon la règle CQC, sont également courantes.

La fréquence fsp (sp = spectral peak, « point le plus élevé du spectre »), correspond à la valeur maximum de l’accélération spectrale. La fréquence APN fAPN (APN = Accélération à Période Nulle) est la fréquence minimale avec laquelle l’accélération atteint par approximation la valeur APN.

Calcul des composants APN

Les composants des masses activées à chaque nœud individuel de la structure peuvent être déterminés comme suit :

$${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$$

avec

i = 1…p = nombre de valeurs propres considérées dans l’analyse du spectre de réponse
j = direction de l’excitation sismique
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = quantité de masses activées pour chaque nœud dans la direction d’excitation j
Γij
= facteurs de participation modale pour la valeur propre i et la direction d’excitation j
ui = (uX, uY, uZ)T
= premier mode de la valeur propre i à un nœud unique, dont la masse est normalisée avec Mi = uiTMui = 1 kg

Les parties manquantes, les masses non-activées à chaque nœud individuel sont la différence à la masse structurelle totale déterminée comme suit :
mj,manquant = 1 - mj

Les charges équivalentes à chaque nœud et suivant ces déformations et efforts internes pour le ratio de masses non-activées sont déterminées comme suit :
Fj = mj,manquant ∙ APNjM

Avec

Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) = les charges équivalentes à chaque nœud pour le ratio de masses non-activées résultant de la direction d’excitation j

APNj = accélération spectrale Sa,j(T=0) en direction de l’excitation j
M = (MX, MY, MZ) = masse aux nœuds individuels de la structure

Les résultats des composants APN déterminés sont considérés comme une autre valeur propre dans la superposition modale. La superposition avec les résultats des valeurs propres considérées dynamiquement peuvent être réalisées avec la règle SRSS ou comme une somme absolue. La somme absolue fournit des résultats prudents.

Réalisation dans DYNAM Pro - Forced Vibrations

Dans DYNAM Pro – Forced Vibrations, l’analyse APN est appliquée lorsque la case « Appliquer une correction statique » est cochée (voir la Figure 02).

Figure 02 – Activation de l’analyse APN dans DYNAM Pro – Forced Vibrations

Dans DYNAM Pro, la détermination des masses non-activées et les charges équivalentes résultantes est réalisée en interne. La valeur APN est définie avec la valeur issue du spectre de réponse de la période T = 0 sec; APN = Sa(T=0). Les résultats du composant APN sont superposés comme une somme absolue avec les résultats des valeurs propres considérées.

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmanquant|

avec

Rt = résultats après la superposition modale et directionnelle, comprenant le composant APN
RSRSS/CQC = résultats des valeurs propres considérées dynamiquement et superposées de manière modale avec la règle SRSS ou CQC
Rmanquant = résultats du composant APN.

 

Les résultats après superposition sont exportés comme une combinaison de résultats dans le programme de base RSTAB.

Exemple

Un porte-à-faux avec cinq degrés de liberté affiche comment l’analyse APN est ajoutée à DYNAM Pro – Forced Vibrations. Un système simple est considéré pour permettre la traçabilité des résultats. Une section rigide RP 508.0x10.0 avec Iy = 48.520 cm4 en acier S 235 est sélectionnée pour obtenir les fréquences au-dessus de la valeur fAPN avec participation de masses pertinentes. Le poids du transporteur, 612,3 kg, est réparti équitablement sur six nœuds (y compris les nœuds d’appui). De plus, une masse d’1 t est définie sur le nœud 5. Les masses, ainsi que l’excitation du système, agissent en direction X. La structure avec répartition de masse, les fréquences propres naturelles et les masses modales efficaces sont affichées avec le spectre de réponse défini par l’utilisateur dans la Figure 03.

Figure 03 – Porte-à-faux avec 5 degrés de liberté : Répartition de masse, fréquences résultantes et masses modales efficaces

Dans cet exemple, la valeur APN est de Sa = 2.00 m/s². C’est la valeur d’accélération pour la période T = 0 secondes. Si le spectre de réponse est comparé avec les fréquences, la fréquence fAPN résulte de 100 Hz lorsqu’on utilise l’analyse des valeurs marginales. Les deux premières fréquences f1 = 19.8 Hz et f2 = 92.8 Hz sont ainsi dans les fréquences moyennes (voir la Figure 01) et sont considérées dynamiquement. Les trois fréquences propres sont de fréquence haute et peuvent être considérées avec la méthode APN.

Par défaut, le calcul des valeurs propres dans DYNAM Pro ne considère pas les masses d’appuis rigides. Ces masses n’ont pas d’influence sur les fréquences propres déterminées, ce qui permet d’obtenir des coefficients de masse modale efficaces de 100 %.

Toutefois, si l’influence des masses dans les appuis doit être explicitement considérée avec la méthode APN, il est nécessaire de les activer dans DYNAM Pro avec le paramètre affiché dans la Figure 04. Dans cet exemple, les masses sont considérées dans les appuis.

Figure 04 – Section « Détails » dans DYNAM Pro

L’activation de l’option « Négliger les masses » modifiera le paramètre par défaut de la masse considérée. Si le tableau est vide, les masses seront également considérées sur les appuis.

Le tableau suivant affiche les coefficients de participation ΓX, les proportions des masses activées mX, les proportions des masses désactivées mX,manquant, les charges équivalentes résultantes aux six nœuds dans le système. Les bases de calcul de la méthode APN ont été discutées dans la section précédente.

Nœud Masse
Mx
Coefficient de participation
ΓX
Mode propre
uX
Composants des
Masses
Activées
mX
Composants des
Masses
Manquantes
mX,manquant
Charges équivalentes
FX [N]
Forme 1 Forme 2 Forme 1 Forme 2
1 61.23     0.078350 -0.056290 0.3220 0.6780 83.03
2 122.46     0.056790 -0.008520 1.1325 -0.1325 -32.44
3 122.46 24.12 27.85 0.036140 0.027190 1.6290 -0.6290 -154.05
4 122.46     0.018110 0.038290 1.5033 -0.5033 -123.26
5 1,122.46     0.005100 0.021670 0.7266 0.2734 613.82
6 61.23     0.000000 0.000000 0.0000 1.0000 122.46

L’effort tranchant, les moments et réactions d’appui résultant de ces charges équivalentes sont affichées dans la Figure 05.

Figure 05 – Résultats de la méthode APN

Les résultats finaux de l’analyse de spectre de réponse multimodal, considérant la méthode APN, donne des résultats des deux premières valeurs propres (ici superposées de manière modale selon la règle SRSS) et les résultats du composant APN (voir la Figure 05).

La Figure 06 compare les résultats de l’analyse du spectre de réponse, considérant les deux premières valeurs propres (CCC et CC2 dans le modèle). Les Figure 05 et 06 démontrent clairement la méthode par addition utilisée dans DYNAM Pro.

Figure 06 – Résultats de l’analyse du spectre de réponse multimodal considérant (a) Deux valeurs propres et (b) Deux valeurs propres et des composants APN

La Figure 07 affiche les résultats de l’analyse de spectre de réponse, considérant les cinq valeurs propres pour la comparaison. La méthode APN considère les masses dans les appuis. Ceci résulte d’un effort portant PX = 2.57 kN. Les efforts internes sont fiables car la superposition est une somme absolue (comparez les Figure 07 et 06).

Figure 07 – Résultats du spectre de réponse multimodal considérant cinq valeurs propres

Résumé

Cet exemple a démontré comment la méthode APN est implémentée dans DYNAM Pro et que les résultats sont traçables. Cette méthode est utile et recommandée lorsque les fréquences hautes de la structure activent les composants de masse pertinents et lorsque de larges masses d’appuis sont présentes dans la structure. 

Littérature

[1]  Eurocode 8: Calcul des structures pour leur résistance aux séismes - Partie 1: Règles générales, actions sismiques et règles pour les bâtiments; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2]  Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3]  Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4]  U.S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. Washington: NRC, 2012
[5]  Manual RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, December 2016. Download: https://www.dlubal.com/en/downloads-and-information/documents/manuals?category=add-on-module-dynamic-analysis

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