ZPA-Methode im Antwortspektrenverfahren

Fachbeitrag

In einem multimodalen Antwortspektrenverfahren ist es wichtig, eine ausreichende Anzahl von Eigenwerten der Struktur zu ermitteln und deren dynamische Antworten zu berücksichtigen. Vorschriften wie die EN 1998-1 [1] und andere internationale Standards schreiben vor, 90 % der Strukturmasse zu aktivieren. Das heißt: so viele Eigenwerte zu bestimmen, dass die Summe der effektiven Modalmassenfaktoren größer 0.9 ist.

Bei sehr großen Modellen mit sehr vielen Freiheitsgraden oder bei Strukturen, die fundamentale Eigenwerte im hochfrequenten Bereich aufweisen (zum Beispiel Rohrleitungssysteme), sind diese Forderungen unter Umständen schwer zu erfüllen. In solchen Fällen gewinnt die ZPA-Methode (Zero-Period-Acceleration) an Bedeutung. Diese Methode ist auch in der Lage, Massen in den Auflagern selbst zu berücksichtigen, was einen entscheidenden Einfluss auf die Auflagerkräfte hat.

Man unterscheidet drei Frequenzbereiche, anhand welcher die Systemantworten unterschiedlich kategorisiert werden können (siehe Bild 01): (1) Niedrigfrequenzbereich, (2) Mittelfrequenzbereich und (3) der hochfrequente Bereich.

Bild 01 - Spektrale Beschleunigung Sa [m/s²] versus Eigenfrequenz f [Hz] eines schmalbandigen Antwortspektrums nach EN 1998-1 [1]

Der niederfrequente und mittelfrequente Bereich (f < fZPA) ist der in der Baudynamik üblicherweise betrachtete Bereich. Bauwerke besitzen dominante Eigenfrequenzen in diesem Bereich und in vielen Fällen werden mehr als 90 % der Strukturmasse mit diesen Eigenwerten aktiviert. Die Systemantworten im niederfrequenten Bereich sind periodisch und Ergebnisse von verschiedenen Eigenwerten sind phasenverschoben. Die Überlagerung der Antworten aus einzelnen Eigenwerten erfolgt quadratisch entweder mit der SRSS- oder besser mit der CQC-Regel.

Im hochfrequenten Bereich (f > fZPA) fallen die Systemantworten pseudo-statisch aus, die Antworten aus einzelnen Eigenwerten sind gleichphasig. Die modale Überlagerung kann somit als algebraische Summe ausgeführt werden. Anstatt diese Hochfrequenzen dynamisch zu berücksichtigen, ist es üblich, die fehlenden aktivierten Massen zu ermitteln und mittels des ZPA-Wertes die Antworten des gesamten hochfrequenten Bereiches pseudo-statisch hinzuzufügen. Der ZPA-Wert entspricht dem Wert aus dem Antwortspektrum zur Periode T = 0 sec; ZPA = Sa(T=0). Es ist aber auch ein selbst definierter Wert für den ZPA-Wert vorstellbar. Diese Methode wird als ZPA-Methode, als Missing-Mass-Methode oder auch als Statische Korrektur bezeichnet [2, 3, 4].

Frequenzen im mittleren Bereich (fSP < f < fZPA) liefern Systemantworten, die zu Teilen periodisch und zu Teilen pseudo-statisch sind. Diese Frequenzen können mit speziellen Überlagerungsvorschriften wie zum Beispiel der Gupta-Methode [2] kombiniert werden, um die algebraische Summierung der pseudo-statischen Anteile zu berücksichtigen. Eine Überlagerung mittels üblicher quadratischer Regeln wie der CQC-Regel ist aber ebenfalls üblich.

Die Frequenz fSP (sp = spectral peak) entspricht dem Maximalwert der spektralen Beschleunigung. Die ZPA-Frequenz fZPA (ZPA = Zero-Period-Acceleration) ist die minimale Frequenz mit welcher die Beschleunigung näherungsweise den ZPA-Wert erreicht.

Berechnung der ZPA-Anteile

Die Anteile der aktivierten Massen an jedem einzelnen Knoten im System können wie folgt ermittelt werden:
${\mathbf m}_\mathrm j\boldsymbol\;=\;\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm p\;{\mathrm\Gamma}_\mathrm{ij}\;{\mathbf u}_\mathrm i$
mit
i = 1...p = Anzahl der Eigenwerte die im Antwortspektrenverfahren berücksichtigt werden
j = Richtung der Erdbebenanregung
mj = (mX,j, mY,j, mZ,j) = Anteile der aktivierten Massen an jedem Knoten in Anregungsrichtung j
Γij = Beteiligungsfaktoren für den Eigenwert i und die Anregungsrichtung j
ui = (uX, uY, uZ)T = Eigenform des Eigenwertes i an einem einzelnen Knoten, massenormiert mit Mi = uiTMui = 1 kg

Der Anteil der fehlenden, nicht aktivierten Massen an jedem einzelnen Knoten, ist die Differenz zur gesamten Strukturmasse und wird wie folgt bestimmt:
mj,missing = 1 - mj

Die Ersatzlasten an jedem Knoten und daraus folgend dann Verformungen und Schnittgrößen für den Anteil der nicht aktivierten Massen ermitteln sich folgendermaßen:
Fj = mj,missing ∙ ZPAjM
mit
Fj = (FX,j, FY,j, FZ,j) = Ersatzlasten an jedem Knoten für den Anteil der nicht aktivierten Massen, resultierend aus der Anregungsrichtung j
ZPAj = spektrale Beschleunigung Sa,j(T=0) in Richtung der Anregung j
M = (MX, MY, MZ) = Masse an den einzelnen Knoten im System

Die so ermittelten Ergebnisse der ZPA-Anteile werden bei der modalen Überlagerung wie ein weiterer Eigenwert behandelt. Die Überlagerung mit den Ergebnissen dynamisch berücksichtigter Eigenwerte kann mittels SRSS-Regel oder als absolute Summe erfolgen. Die absolute Summe liefert auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse.

Umsetzung in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

In DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die ZPA-Methode angewendet, wenn das Kontrollkästchen "Statische Korrektur anwenden" selektiert ist. Die Einstellung ist in Bild 02 dargestellt.

Bild 02 - Aktivierung der ZPA-Methode in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

In DYNAM Pro erfolgt die Ermittlung der nicht aktivierten Massen und der daraus resultierenden Ersatzlasten intern. Der ZPA-Wert ist definiert mit dem Wert aus dem Antwortspektrum zur Periode T = 0 sec; ZPA = Sa(T=0). Die Ergebnisse des ZPA-Anteiles werden als absolute Summe mit den Ergebnissen dynamisch berücksichtigter Eigenwerte überlagert.

Rt = |RSRSS/CQC| + |Rmissing|
mit
Rt = Ergebnisse nach modaler und direktionaler Überlagerung inklusive dem ZPA-Anteil
RSRSS/CQC = Ergebnisse der dynamisch berücksichtigten Eigenwerte, modal überlagert mit der SRSS-oder der CQC-Regel
Rmissing = Ergebnisse des ZPA-Anteiles

Die Ergebnisse nach erfolgter Überlagerung werden als Ergebniskombination in das Hauptprogramm RSTAB exportiert.

Beispiel

An einem Kragarm mit fünf Freiheitsgraden wird aufgezeigt, wie die ZPA-Methode in DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen umgesetzt ist. Betrachtet wird ein sehr einfaches System, um die Nachvollziehbarkeit der Ergebnisse zu ermöglichen. Gewählt ist ein steifer Querschnitt RO 508,0x10,0 mit Iy = 48.520 cm4 aus Stahl S 235, um Frequenzen oberhalb des Wertes fZPA mit relevanter Massenbeteiligung zu erzielen. Das Eigengewicht des Trägers von 612,3 kg wird gleichmäßig auf die sechs Knoten (inklusive Auflagerknoten) verteilt. Zusätzlich ist eine Masse von 1 t am Knoten 5 definiert. Die Massen und auch die Anregung des Systems wirken in X-Richtung. Die Struktur mit Masseverteilung, resultierenden Eigenfrequenzen und effektiven Modalmassen ist zusammen mit dem benutzerdefinierten Antwortspektrum in Bild 03 dargestellt.

Bild 03 - Kragarm mit fünf Freiheitsgraden: Masseverteilung, resultierende Frequenzen und effektive Modalmassen

In diesem Beispiel ergibt sich der ZPA-Wert zu Sa = 2,00 m/s2. Dies ist der Beschleunigungswert für die Periode T=0 sec. Stellt man das Antwortspektrum gegenüber den Frequenzen dar, ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung die Frequenz fZPA mit 100 Hz. Die ersten beiden Frequenzen f1 = 19,8 Hz und f2 = 92,8 Hz liegen somit im mittleren Frequenzbereich (siehe Bild 01) und werden dynamisch berücksichtigt. Die restlichen drei Eigenfrequenzen sind hochfrequent und können mit der ZPA-Methode berücksichtigt werden.

Als Standardeinstellung werden bei der Eigenwertberechnung in DYNAM Pro die Massen an festen Auflagern nicht berücksichtigt. Diese Massen haben keinen Einfluss auf die ermittelten Eigenfrequenzen und nur so ist es möglich, effektive Modalmassenfaktoren von 100 % zu erzielen.

Wenn man bei der ZPA-Methode aber explizit den Einfluss der Massen in den Auflagern mitberücksichtigen möchte, muss man diese in DYNAM Pro mit der in Bild 04 gezeigten Einstellung aktivieren. In diesem Beispiel werden die Massen in den Auflagern berücksichtigt.

Bild 04 - Detaileinstellung in DYNAM Pro

Durch Aktivierung von "Massen vernachlässigen" werden die Standardeinstellung der berücksichtigten Massen geändert. Lässt man die Tabelle der "Knotenlager" leer, werden Massen auch an Auflagern berücksichtigt.

In der folgenden Tabelle werden die Beteiligungsfaktoren ΓX, die Anteile der aktivierten Massen mX, die Anteile der nicht aktivierten Massen mX,missing und die resultierenden Ersatzlasten an den sechs Knoten im System ermittelt. Die Berechnungsgrundlagen der ZPA-Methode wurden im vorherigen Abschnitt diskutiert.

KnotenMasse
Mx
Beteiligungsfaktor
ΓX
Eigenform
uX
Anteile der
aktivierten
Massen
mX
Anteile der
fehlenden
Massen
mX,missing
Ersatzlasten
FX [N]
Form 1Form 2Form 1Form 2
161,23  0,078350-0,0562900,32200,678083,03
2122,46  0,056790-0,0085201,1325-0,1325-32,44
3122,4624,1227,850,0361400,0271901,6290-0,6290-154,05
4122,46  0,0181100,0382901,5033-0,5033-123,26
51.122,46  0,0051000,0216700,72660,2734613,82
661,23  0,0000000,0000000,00001,0000122,46

Die Querkräfte, Momente und Auflagerkräfte resultierend aus diesen Ersatzlasten sind in Bild 05 dargestellt.

Bild 05 - Ergebnisse der ZPA-Methode

Die Endergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung der ZPA-Methode ergeben sich aus den Ergebnissen der ersten beiden Eigenwerte (hier modal überlagert mit der SRSS-Regel) und den Ergebnissen des ZPA-Anteiles (siehe Bild 05).

In Bild 06 sind die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung der ersten beiden Eigenwerte (DLF2 und EK2 im Modell) den finalen Ergebnissen inklusive dem ZPA-Anteil (DLF3 und EK3 im Modell) gegenübergestellt. Betrachtet man Bild 05 und Bild 06, ist die absolute Summenbildung, die in DYNAM Pro Verwendung findet, klar zu erkennen.

Bild 06 - Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von (a) zwei Eigenwerten und (b) zwei Eigenwerten und der ZPA-Anteile

In Bild 07 sind die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung aller fünf Eigenwerte zum Vergleich dargestellt. Die ZPA-Methode berücksichtigt die Massen in den Auflagern. Dadurch ergibt sich eine größere Auflagerkraft PX = 2,57 kN. Die Schnittgrößen liegen auf der sicheren Seite aufgrund der Überlagerung als absolute Summe (vergleiche Bild 07 mit Bild 06).

Bild 07 - Ergebnisse des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens unter Berücksichtigung von fünf Eigenwerten

Zusammenfassung

Mit diesem Beispiel wurde gezeigt, wie die ZPA-Methode in DYNAM Pro umgesetzt ist und dass die Ergebnisse prüfbar nachvollziehbar sind. Sinnvoll und empfohlen ist diese Methode, wenn hochfrequente Frequenzen der Struktur relevante Massenanteile aktivieren und wenn größere Auflagermassen im Bauwerk vorhanden sind.

Literatur

[1] Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2] Gupta, A. K.: Response Spectrum Method in Seismic Analysis and Design of Structures (New Directions in Civil Engineering). Boca Raton: CRC Press, 1992
[3] Morante, R.; Wang, Y.; Chokshi, N.; Kenneally, R.; Norris, W.: Evaluation of Modal Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis. Raleigh: IASMiRT, 1999
[4] U. S. Nuclear Regulatory Commission: Revision 3 to Regulatory Guide (RG) 1.92 - Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis. Washington: NRC, 2012
[5] Handbuch RF-/DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, Dezember 2016. Download

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