VE 9961 | Расчёт на продавливание внутренней колонны плоской плиты по CSA A23.3

Описание

В этом примере рассматривается проверка на продавливание внутренней колонны в соответствии с CSA A23.3-19 [1]. Геометрия и нагрузки взяты из внутренней колонны C2 Примера 1 в "CAC Concrete Design Handbook - 4-е издание", страницы 5-13 и 5-14 [2].

115x

30x

Верификационный пример 9961 | Расчёт на продавливание по CSA A23.3

\( \)

Контрольный пример 9961 | Размеры колонн

\( \)

\( \)

Аналитическое решение:

\( \)

1. Вычисление геометрических величин:

Размер критического круглого сечения, параллельный эксцентриситету: \( \mathsf{b_{1} = b + d} \) \( \mathsf{= 600 + 210} \) \( \mathsf{= 810\,мм} \) \( \)

\( \mathsf{b_{2} = h + d} \) \( \mathsf{= 400 + 210} \) \( \mathsf{= 610 мм} \)

\( \)

Длина критического сечения:

\( \mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)} \) \( \mathsf{= 2 \cdot (400 мм + 600 мм + 2 \cdot 210 мм)} \) \( \mathsf{= 2840 мм} \)

\( \)

2. Вычисление действия:

Индексы "1" и "2" указывают на оси главных напрягаемых систем.

• Индекс "1" относится к глобальной оси X.

• Индекс "2" относится к глобальной оси Y

\( \)

Таким образом, получаются следующие "полярные" моменты инерции:

\( \mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}} \)

\( \mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,мм^{4}} \)

\( \)

\( \mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,мм^{4}} \)

\( \)

Сниженная сила сдвига из-за передачи нагрузки через критическое окружное сечение:

\( \mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}} \)

\( \mathsf{= 11.6\,кН/м^{2} \cdot 0.810\,м \cdot 0.610\,м} \)

\( \mathsf{= 5.73\,кН} \)

\( \)

Сниженная сила сдвига рассчитывается следующим образом:

\( \mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}} \)

\( \mathsf{= 543.58\,кН - 5.73\,кН} \)

\( \mathsf{= 537.85\,кН} \)

\( \)

Расчетный момент плиты в первом направлении в центре тяжести критического круглого сечения:

\( \mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,кНм \; + \; 537.85\,кН \; \cdot \; 0.0\,мм } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,кНм} \)

\( \)

Вклад эксцентрической силы сдвига передаваемого момента в первом главном направлении:

\( \mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} } \)

\( \)

\( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,мм}{610\,мм}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.434460} \)

\( \)

Компонент момента, передаваемого эксцентрической силой сдвига во втором главном направлении:

\( \mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; -34.90\,кНм \; - \; 537.85\,кН \; \cdot \; 0.0\,мм } \)

\( = \mathsf{ \; -34.90\,кНм} \)

\( \)

Доля расчетного момента плиты во втором направлении, поглощаемая опорой: \( \mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} } \)

\( \)

\( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,мм}{810\,мм}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.366502} \)

\(

Напряжение сдвига из-за сниженной силы сдвига:

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,кН}{2.840\,м \cdot 0.210\,м}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,МПа} \)

\( \)

Примененное максимальное напряжение сдвига рассчитывается следующим образом:

\( \mathsf{ \nu_{f} = \nu_{fv} - \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}} + \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}} } \)

\( \mathsf{ = \; 0.9040\,МПа \; - \; \dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,кНм \cdot (-405\,мм)}{6.1873875 \times 10^{10}\,мм^{4}} \; + \; \dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,кНм) \cdot (-305\,мм)}{4.0532975 \times 10^{10}\,мм^{4}} } \)

\( \mathsf{ = 1.204\,МПа } \)

\(

3. Вычисление сопротивления:

Отношение длинной стороны к короткой стороне опоры:

\( \mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} } \)

\( = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,м, \; 0.400\,м \right)}{min\left( 0.600\,м, \; 0.400\,м \right)} } \)

\( = \mathsf{ \; 1.50} \)

\(

Сопротивление плиты на продавливание без арматуры по сдвигу согласно 13.3.4.1 (a):

\( \mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,МПа}, \; 8.00\,МПа \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,441\,МПа} \)

\(

Сопротивление плиты на продавливание без арматуры по сдвигу согласно 13.3.4.1 (b): \( \mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{о}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,мм}{2.840\,м} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,МПа}, \; 8.00\,МПа \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1.579\,МПа} \)

Сопротивление плиты на продавливание без арматуры по сдвигу согласно 13.3.4.1 (c): \( \mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,МПа}, \; 8.00\,МПа \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,235\,МПа} \)

\(

Минимальное сопротивление плиты на продавливание без арматуры по сдвигу: \( \mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; min\left( 1,441\,МПа, \; 1,579\,МПа, \; 1,235\,МПа \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,235\,МПа} \)

\( \mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} } \)

\( = \mathsf{ \; 1.235\,МПа} \)

\(

4. Сравнение действия и сопротивления:

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,МПа}{1.235\,МПа}} \)

\( \mathsf{\eta \approx 0.975} \)

\( \mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Доказательство выполнено}} \)

Введение арматуры по сдвигу не требуется. \( \)

Результаты

Ниже представлены результаты из RFEM 6.

Верификационный пример 9961 - Подробные результаты расчёта на прогиб в RFEM 6

Результаты из RFEM 6 сравниваются с эталонными результатами ниже.

\( \)

VE 9961 - Расчётное соотношение

Оценка

Результаты из RFEM 6 очень хорошо согласуются с эталонным решением.

RFEM 6 рассчитывает немного меньшие (приблизительно на 2%) значения полярного момента инерции, чем в ручных расчетах. RFEM 6 рассчитывает полярный момент инерции в соответствии с ACI 421.1R.

Подход в ACI 421.1 применим к общим круглым геометриям и очень хорошо подходит для программного решения.

В отличие от аналитической формулы, которая применима только к прямоугольным круглым сечениям, ACI 421.1R игнорирует инерционную компоненту \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Меньший полярный момент инерции по ACI 421.1R приводит к консервативному подходу в расчете на продавливание.