VE 9961 | 根据 CSA A23.3 的平板楼板内柱抗冲切设计

描述

本示例根据CSA A23.3-19 [1] 检查室内柱的冲剪分析。几何形状和载荷取自"CAC混凝土设计手册 - 第四版"示例1中的室内柱C2，第5-13页和第5-14页 [2]。

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验算示例 9961 | 根据 CSA A23.3 的冲切验算

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验算示例 9961 | 柱子尺寸

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分析解

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1. 几何量的计算

平行于偏心率的关键圆形截面的尺寸： \( \mathsf{b_{1} = b + d} \) \( \mathsf{= 600 + 210} \) \( \mathsf{= 810\,mm} \) \( \)

\( \mathsf{b_{2} = h + d} \) \( \mathsf{= 400 + 210} \) \( \mathsf{= 610 mm} \) \( \)

关键截面的长度：

\( \mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)} \) \( \mathsf{= 2 \cdot (400 mm + 600 mm + 2 \cdot 210 mm)} \) \( \mathsf{= 2840 mm} \) \( \)

2. 作用力的计算

索引“1”和“2”指的是系统中的主轴。

• 下标“1”指的是全局X轴。

• 下标“2”指的是全局Y轴。

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因此，得出如下“极性”惯性矩：

\( \mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}} \)

\( \mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)

\( \mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)

由于关键圆周截面内的载荷转移而减少的剪力：

\( \mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}} \)

\( \mathsf{= 11.6\,kN/m^{2} \cdot 0.810\,m \cdot 0.610\,m} \)

\( \mathsf{= 5.73\,kN} \) \( \)

减小后的剪力计算如下：

\( \mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}} \)

\( \mathsf{= 543.58\,kN - 5.73\,kN} \)

\( \mathsf{= 537.85\,kN} \) \( \)

在关键圆形截面的质心中第一方向的板力矩计算：

\( \mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm \; + \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm} \) \( \)

传递力矩在第一主方向上偏心剪力的贡献：

\( \mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} } \) \( \)

\( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,mm}{610\,mm}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.434460} \) \( \)

传递力矩在第二主方向上偏心剪力的成分：

\( \mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm \; - \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \)

\( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm} \) \( \)

第二方向上的板力矩，吸收了支撑：

\( \mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} } \) \( \)

\( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,mm}{810\,mm}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.366502} \) \( \)

减小剪力引起的剪应力：

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,kN}{2.840\,m \cdot 0.210\,m}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,MPa} \) \( \)

施加的最大剪应力计算如下：

\( \mathsf{ \nu_{f} = \nu_{fv} - \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}} + \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}} } \)

\( \mathsf{ = \; 0.9040\,MPa \; - \; \dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,kNm \cdot (-405\,mm)}{6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \; + \; \dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,kNm) \cdot (-305\,mm)}{4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} } \)

\( \mathsf{ = 1.204\,MPa } \)

\( \)

3. 抗力的计算

支撑长边与短边的比例：

\( \mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} } \)

\( = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)}{min\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)} } \)

\( = \mathsf{ \; 1.50} \) \( \)

根据13.3.4.1 (a)无剪力钢筋的板的冲剪抗力：

\( \mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,441\,MPa} \) \( \)

根据13.3.4.1 (b)无剪力钢筋的板的冲剪抗力： \( \mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{o}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,mm}{2.840\,m} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1.579\,MPa} \)

根据13.3.4.1 (c)无剪力钢筋的板的冲剪抗力： \( \mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \) \( \)

没有剪力钢筋板的最小冲剪抗力： \( \mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) } \)

\( = \mathsf{ \; min\left( 1,441\,MPa, \; 1,579\,MPa, \; 1,235\,MPa \right) } \)

\( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \)

\( \mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} } \)

\( = \mathsf{ \; 1.235\,MPa} \) \( \)

4. 作用力与抗力的比较

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,MPa}{1.235\,MPa}} \)

\( \mathsf{\eta \approx 0.975} \)

\( \mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{证明成立}} \)

不需要引入剪力钢筋。 \( \)

结果

以下是RFEM 6的结果。

验证示例 9961 - RFEM 6 冲切验算的详细结果

下面将RFEM 6的结果与参考结果进行比较。

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VE 9961 - 利用率

评估

RFEM 6的结果与参考解非常一致。

RFEM 6计算的极惯性矩值略低（约2%）于手动计算。RFEM 6根据ACI 421.1R计算极惯性矩。

ACI 421.1的方法适用于一般圆形几何形状，非常适合软件解决方案。

与仅适用于矩形圆形截面的解析公式不同，ACI 421.1R忽略了惯性成分\(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\)。

根据ACI 421.1R的较小极惯性矩导致冲剪设计的保守方法。