VE 9961 | Verificação ao punçoamento de pilar interior em laje-viga plana segundo a CSA A23.3

Descrição

Este exemplo analisa a verificação ao punçoamento de um pilar interior de acordo com CSA A23.3-19 [1]. A geometria e as cargas foram retiradas do pilar interior C2 do Exemplo 1 no "CAC Concrete Design Handbook - 4ª Edição", páginas 5-13 e 5-14 [2].

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Exemplo de verificação 9961 | Verificação ao punçoamento segundo a norma CSA A23.3

Exemplo de verificação 9961 | Dimensões de pilar

Solução Analítica:

\( \)

1. Cálculo das Quantidades Geométricas:

Dimensão da seção circular crítica paralela à excentricidade: \( \mathsf{b_{1} = b + d} \) \( \mathsf{= 600 + 210} \) \( \mathsf{= 810\,mm} \) \( \) \( \mathsf{b_{2} = h + d} \) \( \mathsf{= 400 + 210} \) \( \mathsf{= 610 mm} \) \( \) Comprimento da seção crítica:

\( \mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)} \) \( \mathsf{= 2 \cdot (400 mm + 600 mm + 2 \cdot 210 mm)} \) \( \mathsf{= 2840 mm} \) \( \)

2. Cálculo da Ação:

Os índices "1" e "2" referem-se aos eixos principais no sistema.

• O subscrito "1" refere-se ao eixo X global.

• O subscrito "2" refere-se ao eixo Y global

\( \) Assim, os seguintes momentos de inércia "polar" resultam em:

\( \mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}} \)

\( \mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)

\( \mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}} \)

\( = \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)

Força de cisalhamento reduzida devido à transferência de carga dentro da seção circunferencial crítica:

\( \mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}} \)

\( \mathsf{= 11.6\,kN/m^{2} \cdot 0.810\,m \cdot 0.610\,m} \)

\( \mathsf{= 5.73\,kN} \) \( \)

A força de cisalhamento reduzida é calculada como segue:

\( \mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}} \)

\( \mathsf{= 543.58\,kN - 5.73\,kN} \)

\( \mathsf{= 537.85\,kN} \) \( \)

O momento de placa calculado na primeira direção no centróide da seção circular crítica:

\( \mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm \; + \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \)

\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm} \) \( \)

A contribuição das forças de cisalhamento excêntricas do momento transmitido na primeira direção principal:

\( \mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} } \) \( \) \( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,mm}{610\,mm}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.434460} \) \( \)

O componente do momento transmitido por forças de cisalhamento excêntricas na segunda direção principal:

\( \mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} } \)

\( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm \; - \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \) \( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm} \) \( \)

Com a fração do momento de placa calculado na segunda direção, que é absorvido pelo suporte \( \mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} } \) \( \) \( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,mm}{810\,mm}}} } \)

\( = \mathsf{ \; 0.366502} \) \( \)

Tensão de cisalhamento devido à força de cisalhamento reduzida:

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,kN}{2.840\,m \cdot 0.210\,m}} \)

\( \mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,MPa} \) \( \)

A tensão máxima de cisalhamento aplicada é calculada como segue:

\( \mathsf{ \nu_{f} = \nu_{fv} - \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}} + \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}} } \) \( \mathsf{ = \; 0.9040\,MPa \; - \; \dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,kNm \cdot (-405\,mm)}{6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \; + \; \dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,kNm) \cdot (-305\,mm)}{4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} } \) \( \mathsf{ = 1.204\,MPa } \)

\( \)

3. Cálculo da Resistência:

Razão do lado longo ao lado curto do suporte:

\( \mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} } \)

\( = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)}{min\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)} } \) \( = \mathsf{ \; 1.50} \) \( \)

Resistência ao punçoamento da laje sem armadura de cisalhamento de acordo com 13.3.4.1 (a):

\( \mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,441\,MPa} \) \( \)

Resistência ao punçoamento da laje sem armadura de cisalhamento de acordo com 13.3.4.1 (b): \( \mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{o}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,mm}{2.840\,m} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1.579\,MPa} \)

Resistência ao punçoamento da laje sem armadura de cisalhamento de acordo com 13.3.4.1 (c): \( \mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \) \( \)

Resistência mínima ao punçoamento da laje sem armadura de cisalhamento: \( \mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) } \) \( = \mathsf{ \; min\left( 1,441\,MPa, \; 1,579\,MPa, \; 1,235\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \)

\( \mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} } \) \( = \mathsf{ \; 1.235\,MPa} \) \( \)

4. Comparação de Ação e Resistência:

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,MPa}{1.235\,MPa}} \)

\( \mathsf{\eta \approx 0.975} \)

\( \mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Prova cumprida}} \)

A introdução de uma armadura de cisalhamento não é necessária. \( \)

Resultados

Os resultados do RFEM 6 são apresentados abaixo.

Exemplo de verificação 9961 – Resultados detalhados da verificação de punçoamento do RFEM 6

Os resultados do RFEM 6 são comparados com os resultados de referência abaixo.

\( \)

VE 9961 – Relação de cálculo

Avaliação

Os resultados do RFEM 6 concordam muito bem com a solução de referência.

O RFEM 6 calcula ligeiramente valores mais baixos (aproximadamente 2%) para o momento de inércia polar do que a cálculo manual. O RFEM 6 calcula o momento de inércia polar de acordo com ACI 421.1R.

A abordagem do ACI 421.1 é aplicável a geometrias circulares gerais e é muito bem adequada para uma solução de software.

Em contraste com a fórmula analítica, que é aplicável apenas para seções circulares retangulares, o ACI 421.1R negligencia o componente de inércia \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

O menor momento de inércia polar de acordo com ACI 421.1R resulta em uma abordagem conservadora no projeto de punçoamento.