Description
Cet exemple examine l'analyse de la résistance au poinçonnement d'une colonne intérieure selon CSA A23.3-19 [1]. La géométrie et les charges ont été reprises de la colonne intérieure C2 de l'exemple 1 dans le "Manuel de conception du béton du CAC - 4e édition", pages 5-13 et 5-14 [2].
| Matériaux | Béton | Valeur de calcul de la résistance à la compression du béton | f'c | 25 | MPa |
| Acier d'armature | Valeur de calcul de la limite d'élasticité | fy | 400 | MPa | |
| Géométrie | Dalle | Épaisseur de la dalle | h | 250 | mm |
| Hauteur efficace statique moyenne | d | 210 | mm | ||
| Colonne | Longueur | lColumn | 3.000 | m | |
| Largeur | b | 600 | mm | ||
| Hauteur | h | 400 | mm | ||
| Charges | Charge surfacique | Dalle en béton armé | p | 11.6 | kN/m² |
| Efforts internes | Forces | Effort tranchant pénétrant de la colonne | Vf,res | 537.85 | kN |
| Moments | Moment de dalle dans la première direction | Mf,1,sl | 73.40 | kNm | |
| Moment de dalle dans la deuxième direction | Mf,2,sl | 34.90 | kNm |
Solution analytique :
\( \)
1. Calcul des quantités géométriques :
Dimension de la section circulaire critique parallèle à l'excentricité : \( \mathsf{b_{1} = b + d} \) \( \mathsf{= 600 + 210} \) \( \mathsf{= 810\,mm} \) \( \) \( \mathsf{b_{2} = h + d} \) \( \mathsf{= 400 + 210} \) \( \mathsf{= 610 mm} \) \( \) Longueur de la section critique :
\( \mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)} \) \( \mathsf{= 2 \cdot (400 mm + 600 mm + 2 \cdot 210 mm)} \) \( \mathsf{= 2840 mm} \) \( \)
2. Calcul de l'action :
Les indices "1" et "2" se réfèrent aux axes principaux dans le système.
- L'indice "1" se réfère à l'axe X global.
- L'indice "2" se réfère à l'axe Y global
\( \) Ainsi, les moments d'inertie "polaires" suivants résultent :
\( \mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}} \)
\( \mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}} \)
\( = \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)
\( \mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}} \)
\( = \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} \) \( \)
Effort tranchant réduit dû au transfert de charge dans la section circonférentielle critique :
\( \mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}} \)
\( \mathsf{= 11.6\,kN/m^{2} \cdot 0.810\,m \cdot 0.610\,m} \)
\( \mathsf{= 5.73\,kN} \) \( \)
L'effort tranchant réduit est calculé comme suit :
\( \mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}} \)
\( \mathsf{= 543.58\,kN - 5.73\,kN} \)
\( \mathsf{= 537.85\,kN} \) \( \)
Le moment de plaque calculé dans la première direction au centroïde de la section circulaire critique :
\( \mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} } \)
\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm \; + \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \)
\( = \mathsf{ \; 73.40\,kNm} \) \( \)
La contribution des forces tranchantes excentriques du moment transmis dans la première direction principale :
\( \mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} } \) \( \) \( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,mm}{610\,mm}}} } \)
\( = \mathsf{ \; 0.434460} \) \( \)
La composante du moment transmis par des forces tranchantes excentriques dans la deuxième direction principale :
\( \mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} } \)
\( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm \; - \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm } \) \( = \mathsf{ \; -34.90\,kNm} \) \( \)
Avec la fraction du moment de plaque calculé dans la deuxième direction, qui est absorbée par le support \( \mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} } \) \( \) \( = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,mm}{810\,mm}}} } \)
\( = \mathsf{ \; 0.366502} \) \( \)
Contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant réduit :
\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}} \)
\( \mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,kN}{2.840\,m \cdot 0.210\,m}} \)
\( \mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,MPa} \) \( \)
La contrainte de cisaillement maximale appliquée est calculée comme suit :
\( \mathsf{ \nu_{f} = \nu_{fv} - \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}} + \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}} } \) \( \mathsf{ = \; 0.9040\,MPa \; - \; \dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,kNm \cdot (-405\,mm)}{6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}} \; + \; \dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,kNm) \cdot (-305\,mm)}{4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}} } \) \( \mathsf{ = 1.204\,MPa } \)
\( \)
3. Calcul de la résistance :
Rapport du côté long au côté court du support :
\( \mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} } \)
\( = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)}{min\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)} } \) \( = \mathsf{ \; 1.50} \) \( \)
Résistance au poinçonnement de la dalle sans renforcement de cisaillement selon 13.3.4.1 (a) :
\( \mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,441\,MPa} \) \( \)
Résistance au poinçonnement de la dalle sans renforcement de cisaillement selon 13.3.4.1 (b) : \( \mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{o}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,mm}{2.840\,m} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1.579\,MPa} \)
Résistance au poinçonnement de la dalle sans renforcement de cisaillement selon 13.3.4.1 (c) : \( \mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) } \) \( = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \) \( \)
Résistance minimale au poinçonnement de la dalle sans renforcement de cisaillement : \( \mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) } \) \( = \mathsf{ \; min\left( 1,441\,MPa, \; 1,579\,MPa, \; 1,235\,MPa \right) } \) \( = \mathsf{ \; 1,235\,MPa} \)
\( \mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} } \) \( = \mathsf{ \; 1.235\,MPa} \) \( \)
4. Comparaison de l'action et de la résistance :
\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)
\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,MPa}{1.235\,MPa}} \)
\( \mathsf{\eta \approx 0.975} \)
\( \mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Preuve réussie}} \)
L'introduction d'un renforcement de cisaillement n'est pas nécessaire. \( \)
Résultats
Les résultats de RFEM 6 sont présentés ci-dessous.
Les résultats de RFEM 6 sont comparés aux résultats de référence ci-dessous.
| Poinçonnement selon RFEM 6 selon CSA A23.3 | |||||
| Paramètre | Symboles | Unité | RFEM | Solution analytique | Rapport |
| Effort de poinçonnement maximal | Vf | kN | 543.58 | 543.58 | 1,000 |
| Effort de poinçonnement réduit appliqué | Vf,res | kN | 537.84 | 537.85 | 1.000 |
| Moment maximal dans la première direction | Mf,1,sl | kNm | 73.40 | 73.40 | 1.000 |
| Moment maximal dans la deuxième direction | Mf,2,sl | kNm | 34.90 | 34.90 | 1.000 |
| Moment d'inertie polaire dans la première direction | J1 | mm4 | 6.0623600 * 1010 | 6.1873875 * 1010 | 0.980 |
| Moment d'inertie polaire dans la deuxième direction | J2 | mm4 | 3.9591400 * 1010 | 4.0532975 * 1010 | 0.978 |
| Contrainte totale due à l'effort tranchant et aux moments | vf | MPa | 1.223 | 1.204 | 1.016 |
| Résistance au cisaillement | νc(a) | MPa | 1.441 | 1.441 | 1.000 |
| Résistance au cisaillement | νc(b) | MPa | 1.579 | 1.579 | 1.000 |
| Résistance au cisaillement minimale | νc(c) | MPa | 1.235 | 1.235 | 1.000 |
| Rapport de conception | η | [-] | 0.982 | 0.975 | 1.007 |
\( \)
Évaluation
Les résultats de RFEM 6 concordent très bien avec la solution de référence.
RFEM 6 calcule des valeurs légèrement inférieures (environ 2%) pour le moment d'inertie polaire par rapport au calcul manuel. RFEM 6 calcule le moment d'inertie polaire selon ACI 421.1R.
L'approche dans ACI 421.1 est applicable aux géométries circulaires générales et est très bien adaptée pour une solution logicielle.
Contrairement à la formule analytique, applicable uniquement aux sections circulaires rectangulaires, ACI 421.1R néglige la composante d'inertie \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).
Le plus petit moment d'inertie polaire selon ACI 421.1R conduit à une approche conservatrice de la conception du poinçonnement.