VE 9961 | Durchstanznachweis bei innenliegender Stütze unter einer Flachdecke gemäß CSA A23.3

Beschreibung

Dieses Beispiel untersucht die Durchstanzanalyse einer Innenstütze nach CSA A23.3-19 [1]. Die Geometrie und Lasten wurden aus der Innenstütze C2 aus Beispiel 1 im "CAC Concrete Design Handbook - 4th Edition", Seiten 5-13 und 5-14, übernommen [2].

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Verification Example 9961 | Punching Design according to CSA A23.3

Analytische Lösung:

\(
\)

1. Berechnung der geometrischen Größen:

Abmessung des kritischen kreisförmigen Schnittes parallel zur Exzentrizität:
\(
\mathsf{b_{1} = b + d}
\)
\(
\mathsf{= 600 + 210}
\)
\(
\mathsf{= 810\,mm}
\)
\(
\)
\(
\mathsf{b_{2} = h + d}
\)
\(
\mathsf{= 400 + 210}
\)
\(
\mathsf{= 610 mm}
\)
\(
\)
Länge des kritischen Schnittes:

\(
\mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)}
\)
\(
\mathsf{= 2 \cdot (400 mm + 600 mm + 2 \cdot 210 mm)}
\)
\(
\mathsf{= 2840 mm}
\)
\(
\)

2. Berechnung der Einwirkungen:

Die Indizes "1" und "2" beziehen sich auf die Hauptachsen im System.

• Der Index "1" bezieht sich auf die globale X-Achse.

• Der Index "2" bezieht sich auf die globale Y-Achse

\(
\)
Daraus ergeben sich die folgenden "Polaren" Trägheitsmomente:

\(
\mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}}
\)

\(
\mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}}
\)

\(
= \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\)
\(
\)

\(
\mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}}
\)

\(
= \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\)
\(
\)

Reduzierte Scherkraft aufgrund des Lasttransfers innerhalb des kritischen Umfangschnittes:

\(
\mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}}
\)

\(
\mathsf{= 11.6\,kN/m^{2} \cdot 0.810\,m \cdot 0.610\,m}
\)

\(
\mathsf{= 5.73\,kN}
\)
\(
\)

Die reduzierte Scherkraft wird wie folgt berechnet:

\(
\mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}}
\)

\(
\mathsf{= 543.58\,kN - 5.73\,kN}
\)

\(
\mathsf{= 537.85\,kN}
\)
\(
\)

Das berechnete Plattenmoment in der ersten Richtung am Schwerpunkt des kritischen kreisförmigen Schnittes:

\(
\mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 73.40\,kNm \; + \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm }
\)

\(
= \mathsf{ \; 73.40\,kNm}
\)
\(
\)

Der Beitrag der Exzentrizität der Scherkräfte des übertragenen Momentes in der ersten Hauptachse:

\(
\mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} }
\)
\(
\)
\(
= \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,mm}{610\,mm}}} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 0.434460}
\)
\(
\)

Die Komponente des Momentes, das durch exzentrische Scherkräfte in der zweiten Hauptachse übertragen wird:

\(
\mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} }
\)

\(
= \mathsf{ \; -34.90\,kNm \; - \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm }
\)
\(
= \mathsf{ \; -34.90\,kNm}
\)
\(
\)

Mit dem Bruchteil des berechneten Plattenmomentes in der zweiten Richtung, der vom Auflager absorbiert wird
\(
\mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} }
\)
\(
\)
\(
= \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,mm}{810\,mm}}} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 0.366502}
\)
\(
\)

Scherkraft infolge der reduzierten Scherkraft:

\(
\mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}}
\)

\(
\mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,kN}{2.840\,m \cdot 0.210\,m}}
\)

\(
\mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,MPa}
\)
\(
\)

Die angewandte maximale Scherkraft wird wie folgt berechnet:

\(
\mathsf{
\nu_{f}
=
\nu_{fv}
- \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}
+ \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}}
}
\)
\(
\mathsf{
= \; 0.9040\,MPa
\; - \;
\dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,kNm \cdot (-405\,mm)}{6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\; + \;
\dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,kNm) \cdot (-305\,mm)}{4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}}
}
\)
\(
\mathsf{
= 1.204\,MPa
}
\)

\(
\)

3. Berechnung der Tragfähigkeit:

Verhältnis der langen zur kurzen Seite des Auflagers:

\(
\mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} }
\)

\(
= \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)}{min\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)} }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.50}
\)
\(
\)

Durchstanzwiderstand der Platte ohne Scherbewehrung nach 13.3.4.1 (a):

\(
\mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,441\,MPa}
\)
\(
\)

Durchstanzwiderstand der Platte ohne Scherbewehrung nach 13.3.4.1 (b):
\(
\mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{o}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,mm}{2.840\,m} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.579\,MPa}
\)

Durchstanzwiderstand der Platte ohne Scherbewehrung nach 13.3.4.1 (c):
\(
\mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,235\,MPa}
\)
\(
\)

Minimaler Durchstanzwiderstand der Platte ohne Scherbewehrung:
\(
\mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; min\left( 1,441\,MPa, \; 1,579\,MPa, \; 1,235\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,235\,MPa}
\)

\(
\mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.235\,MPa}
\)
\(
\)

4. Vergleich von Einwirkung und Tragfähigkeit:

\(
\mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}}
\)

\(
\mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,MPa}{1.235\,MPa}}
\)

\(
\mathsf{\eta \approx 0.975}
\)

\(
\mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Nachweis erfüllt}}
\)

Die Einbringung einer Scherbewehrung ist nicht erforderlich.
\(
\)

Ergebnisse

Die Ergebnisse aus RFEM 6 werden unten dargestellt.

Verifikationsbeispiel 9961 - Detailergebnisse des Durchstanznachweises aus RFEM 6

Die Ergebnisse aus RFEM 6 werden mit den Referenzergebnissen unten verglichen.

\(
\)

VE 9961 - Design Ratio

Auswertung

Die Ergebnisse aus RFEM 6 stimmen sehr gut mit der Referenzlösung überein.

RFEM 6 berechnet etwas niedrigere (ca. 2 %) Werte für das polare Trägheitsmoment als die manuelle Berechnung. RFEM 6 berechnet das polare Trägheitsmoment gemäß ACI 421.1R.

Der Ansatz in ACI 421.1 ist auf allgemeine kreisförmige Geometrien anwendbar und eignet sich sehr gut für eine Softwarelösung.

Im Gegensatz zur analytischen Formel, die nur auf rechteckige Kreisschnitte anwendbar ist, vernachlässigt ACI 421.1R die Komponente \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Das kleinere polare Trägheitsmoment nach ACI 421.1R führt zu einem konservativen Ansatz für die Durchstanzbemessung.