Учет высвобождений концов между поверхностями

Техническая статья

Эта статья посвящена учету высвобождений концов между поверхностями с линейными шарнирами и высвобождениями линий. Примерами являются соединения в железобетонных конструкциях или рамные узлы в поперечно-клеёных деревянных конструкциях.

Pисунок 01 - Реальная модель и конструктивная система

Высвобождение концов между стержнями

Высвобождения концов между стержнями определяются шарнирами стержней при выполнении моделирования и расчета конструкций. Определение выполняется путем сопоставления с критерием расчета для определения статической определимости конструкции:
n = r + 3 m - 3 n - h ≥ 0
где
r = опорные реакции
m = стержни
n = узлы
h = шарниры

Поэтому необходимо всегда назначать на один шарнир меньше, чем у стержней с такой же степенью свободы (h = m - 1) в узле. На рисунке 02 показано правильное определение (сверху) и неправильное определение (снизу).

Pисунок 02 - Шарниры на концах стержней: сверху правильно, снизу неправильно

Высвобождение концов между поверхностями

Определение высвобождений концов между поверхностями является более сложным процессом, но это та же процедура, что и для стержней. Здесь также два шарнира создают статически неопределимую конструкцию с одинаковой степенью свободы на линии. В отличие от стержней, конструкции, включающие поверхности, не теряют устойчивость так быстро. Отчасти это связано с тем, что поверхности могут деформироваться в своей плоскости и поэтому не являются более кинематическими. В основном, при определении шарниров на рисунке 03, линия будет поворачиваться вокруг своей оси, и поэтому конструкция будет кинематической.

Pисунок 03 - Кинематическая линия от двух шарниров

Соединение - железобетонные конструкции

Простейшим случаем линейных шарниров является соединение железобетонных поверхностей, упомянутых выше. Он используется для моделирования монтажного зазора, который часто необходим в железобетонных конструкциях.
Линейные шарниры по ux, uy и uz высвобождаются для этой цели (рисунок 04). В этом случае также рекомендуется высвободить вращение линии. Степень свободы, которая высвобождается, должна выбираться для стержней и поверхностей с шарнирами.

Pисунок 04 - Конструктивная система соединения

Полужесткое соединение - деревянные конструкции

В деревянных конструкциях, например в поперечно-клеёных деревянных конструкциях или конструкциях из древесных плит, разделение между поверхностями обычно выполняется гибко. Достаточно просто учесть линейную пружину между двумя поверхностями, используя линейные шарниры. Однако, в деревянных конструкциях пружина на самом деле доступна только в направлении растяжения поверхности. В контактной зоне между поверхностями, древесными плитами или поперечно-клеёными деревянными панелями, находится практически контактная передача давления в жестком шаблоне. Таким образом, моделирование таких высвобождений концов намного сложнее, поскольку необходимо учитывать нелинейные свойства.

Нелинейные свойства имеют недостатки с точки зрения моделирования, оценки результатов, времени расчета, количества неизвестных и так далее. Далее объясняется, как можно учесть нелинейность контакта давления с линейными шарнирами линий. На рисунке 05 показана конструкция, состоящая из четырех поверхностей, которые соединены полужестко. На опорном узле модели имеют свободные опоры вдоль ux. Слева поверхность полужестко соединена с фиктивными пружинами ux = 100 кН/м² (продольное направление линии) и uy = 100 кН/м² (перпендикулярно линии). Справа направление ux = 100 кН/м² соединено одинаково. Вдоль uy высвобождение конца является жестким. На верхней грани горизонтальная нагрузка составляет 15 кН/м.

Pисунок 05 - Сравнение жесткостей

Как можно увидеть на рисунке 05, деформация левой модели слишком велика. Кроме того, верхние поверхности пересекаются с нижними поверхностями. Эта деформация на практике так не возникнет. Однако деформация правой модели кажется правдоподобной. На рисунке 06 показана деформация сдвига nxy между поверхностями. Расчет крепежных элементов выполняется именно по этой величине. Независимо от величин, можно заметить, что деформация сдвига левой модели всегда имеет посткритический выход из работы в обоих направлениях (положительном и отрицательном). Это связано с тем, что изображаются результаты с обеих сторон поверхности, и обе стороны учитывают высвобождение конца на шарнире. Деформация сдвига уменьшается от центра к краю в правой модели. Это является результатом перехлеста элементов жесткости внутри соединенных поверхностей.

Pисунок 06 - Деформация сдвига nxy в линейных шарнирах

На рисунке 07 показана сила в направлении ny. Силы, изображаемые на линиях, в каждом случае относятся к местным осям поверхности.

Pисунок 07 - Силы в направлении ny

Направление силы показано пунктирными красными и фиолетовыми стрелками на рисунке 07. Левая модель имеет нарушенное распределение осевой силы вдоль вертикальной оси, что приводит к посткритическому выходу из работы с компонентом растяжения в нижней части. Левая модель имеет очень высокие силы растяжения в направлении y, если смотреть на горизонтальную ось. Приращение осевой силы вдоль вертикальной оси начинается с нуля и увеличивается к центру в правой модели. Силы на горизонтальной оси очень малы. Таким образом, распределение силы в правой модели является наиболее правдоподобным.

Теория высвобождения линии и линейного шарнира

RFEM предлагает возможность определения высвобождения линий для учета нелинейности вышеупомянутой модели, например, в области контактной передачи давления. Теоретические основы одинаковы для линейных шарниров и высвобождений линий. Оба подчиняются так называемой технологии двойного узла. При определении высвобождения фактически создаются двойные узлы в исходных узлах. Эти узлы затем соединяются друг с другом с помощью пружины. Как только на этой пружине заданы дополнительные нелинейности (например, давление контакта), будет выполнено выравнивание деформации, чтобы проверить, выполняется ли условие. Технический термин для этого метода - штрафной метод. На рисунке 08 показан схематический вид.

Pисунок 08 - Штрафной метод [1]

Также возможно выполнить выравнивание на основе силы. Нелинейность, показанная на рисунке 08, контролируется силами в соответствующем направлении. Формула 1 показывает схематический вид системы уравнений для штрафной жесткости k в Н/м. Дополнительные выводы, а также объяснение существующей конструкции не включены в данную статью.

Формула 1:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

Формула 2 показывает идентичную систему уравнений с множителями Лагранжа.

Формула 2:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

Системы уравнений отличаются только в последней части коэффициентом λ. Теперь ясно, что расчет штрафным методом или с множителями Лагранжа приводит к одинаковым результатам, по крайней мере, на первом этапе. Для более сложных конструкций лучше использовать множители Лагранжа. После нулевого начального значения схема итерации расширяется множителями Лагранжа $\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Высвобождение линии

Определив высвобождение линии в RFEM, можно полностью учесть нелинейность для вышеупомянутого примера. Как и в случае жесткой модели с высвобождением конца вдоль ux, возникает аналогичная деформация для идентичного высвобождения конца выпуска нелинейного контактного давления (рисунок 09).

Pисунок 09 - Деформация на высвобождениях линий

Внутренние силы nxy имеют идентичное распределение внутренних сил по отношению к вертикальному соединению, как у конструкции с только с одним высвобождением конца (рисунок 10). Только горизонтальная линия изменяется с правой стороны модели, потому что эта поверхность полностью находится под давлением.

Pисунок 10 - Деформация сдвига на высвобождениях линий

Определение стороны поверхности

Вне зависимости от выбора высвобождения линии или линейного шарнира, для определения высвобождения конца важно правильно изобразить модель.

Pисунок 11 - Реальная модель

На рисунке 11 показана покрывающая панель, закрепленная гвоздями (слева) и конструкция с пазом (справа). На рисунке 12 показана соответствующая конструктивная модель. Когда конструкция смоделирована, важно определить высвобождение конца вдоль ux, таким образом, чтобы в продольном направлении соединения было два раза слева и только один раз справа. По закону Гука левая модель имеет двойное высвобождение конца.

Pисунок 12 - Статическая система

Резюме

Используйте опцию высвобождения линии или линейного шарнира в RFEM, чтобы учесть высвобождение конца между поверхностями.

Оценка результатов и моделирование системы будет проще при расчете с помощью линейного шарнира.
Неточные результаты могут считаться результатом. Наряду с учетом высвобождения конца между поверхностями, высвобождение линии также предлагает высвобождения стержней на поверхностях.

Ключевые слова

соединительные элементы нелинейность штрафной метод лагранж

Литература

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

Загрузки

Ссылки

Контакты

Свяжитесь с Dlubal

У вас есть какие-либо вопросы или необходим совет?
Свяжитесь с нами или ознакомьтесь с различными предлагаемыми решениями и полезными советами на странице часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

Цена первой лицензии
3 540,00 USD