Zohlednění poddajností mezi plochami

Reálný model a statický systém

Klouby na koncích mezi pruty

Při statickém modelování a analýze jsou koncové klouby mezi pruty definovány pomocí kloubů na koncích prutů. Definice se provádí srovnatelně s podmínkou statické neurčitosti pro stanovení statické neurčitosti konstrukce:
n = r + 3 m − 3 n − h ≥ 0
kde
r jsou podporové reakce,
m jsou pruty,
n je uzlů,
h jsou klouby.

Proto je třeba vždy v jednom uzlu přiřadit o jeden kloub méně než prutům se stejným stupněm volnosti (h = m − 1). Na Obrázku 02 je znázorněna platná definice (nahoře) a neplatná definice (dole).

Klouby na koncích prutů: nahoře správné, dole chybné zadání

Klouby na koncích mezi plochami

Zadání koncových kloubů mezi plochami je složitější, postup je však stejný jako u prutů. Také zde dva klouby vytvoří staticky neurčitou konstrukci se stejným stupněm volnosti na linii. Na rozdíl od prutů nejsou konstrukce včetně ploch tak rychle nestabilní. To je částečně způsobeno tím, že plochy se mohou ve své rovině deformovat, a proto již nejsou kinematické. V zásadě se při zadání kloubů na Obrázku 03 bude linie natáčet okolo vlastní osy, a konstrukce tak bude kinematická.

Kinematická linie v důsledku zadání dvou kloubů

Přípoj - Betonové konstrukce

Nejjednodušším případem liniových kloubů je výše zmíněná spára mezi betonovými plochami. Slouží k modelování montážní spáry, což je u betonových konstrukcí často nezbytné.
Pro tento účel se uvolní liniové klouby v u_x, u_y a u_z (Obrázek 04). V tomto případě doporučujeme uvolnit také natočení linie. U prutů a ploch s klouby je třeba vybrat stupeň volnosti, který se uvolní.

Statický systém styčné plochy

Polotuhý spoj - dřevěné konstrukce

V dřevěných konstrukcích, například v konstrukcích z křížem lepeného dřeva nebo desek na bázi dřeva, je oddělení ploch obvykle provedeno flexibilně. Lineární pružinu mezi dvěma plochami lze velmi snadno zohlednit pomocí liniových kloubů. U dřevěných konstrukcí je ovšem pružina k dispozici pouze ve směru tahu plochy. V oblasti kontaktu mezi plochami dochází u desek na bázi dřeva nebo desek z křížem lepeného dřeva k téměř tuhému kontaktnímu přenosu tlaku. Modelování takových koncových kloubů je tak mnohem složitější, protože je třeba zohlednit nelineární vlastnosti.

Nelineární vlastnosti mají nevýhody z hlediska modelování, vyhodnocení výsledků, doby výpočtu, počtu neznámých atd. V následujícím textu vysvětlíme, jak je možné zohlednit nelinearitu tlakového kontaktu pomocí lineárních liniových kloubů. Na Obrázku 05 je znázorněna konstrukce sestávající ze čtyř ploch, které jsou spojeny polotuhou. V uzlu podpory mají modely volné podpory v u_x. Vlevo je polotuhá plocha spojena s fiktivními pružinami u_x = 100 kN/m² (v podélném směru linie) a u_y = 100 kN/m² (kolmo k linii). Vpravo je směr u_x = 100 kN/m² připojen stejně. V u_y je kloub tuhý. Vodorovné zatížení v hlavě je 15 kN/m.

Porovnání tuhostí

Jak je vidět na obrázku 5, deformace levého modelu je příliš vysoká. Kromě toho horní plochy protínají dolní plochy. Tato deformace se v praxi nevyskytuje. Nicméně deformace správného modelu se zdá být pravděpodobná. Na obrázku 6 je znázorněno smykové přetvoření n_xy mezi plochami. Pro tuto hodnotu se provede posouzení spojovacích prostředků. Bez ohledu na hodnoty vidíme, že smykové přetvoření levého modelu má vždy postkritickou neúčinnost v obou směrech (kladném i záporném). Důvodem je skutečnost, že se zobrazí výsledky na obou stranách plochy a obě strany zohlední koncový kloub v kloubu. Smykové přetvoření se u pravého modelu od středu směrem k okraji zmenšuje. To vyplývá z překrytí tuhostí uvnitř spojených ploch.

Smykové přetvoření nxy při použití liniových kloubů

Na obrázku 7 je znázorněna síla ve směru n_y. Síly zobrazené na liniích se vztahují vždy k orientaci lokálních os plochy.

Kräfte in ny-Richtung

Směr síly je znázorněn tečkovanými červenými a fialovými šipkami na obrázku 7. Levý model vykazuje narušený průběh normálové síly ve svislé ose, což vede dokonce k postkritickému selhání s tahovou složkou ve spodní části. Levý model vykazuje při pohledu na vodorovnou osu velmi vysoké tahové síly ve směru y. Přírůstek normálové síly ve svislé ose začíná na nule a v pravém modelu se zvyšuje do středu. Síly ve vodorovné ose jsou minimální. Rozložení sil správného modelu je tak nejvěrohodnější.

Teorie liniového uvolnění a liniového kloubu

RFEM nabízí možnost definovat liniová uvolnění pro zohlednění nelinearity výše uvedeného modelu, například v oblasti kontaktního přenosu tlaku. Teoretické základy jsou pro liniové klouby a liniová uvolnění stejné. Oba podléhají technologii dvou uzlů. Zadáním kloubu se vytvoří prakticky dvojité uzly na původních uzlech. Tyto uzly jsou pak navzájem spojeny pomocí pružiny. Jakmile jsou na této pružině definovány další nelinearity (např. tlakový kontakt), provede se vyrovnání deformací pro kontrolu, zda byla podmínka splněna. Odborný termín pro tuto metodu je penalizační metoda. Na obrázku 8 je schematický pohled.

Penalizační metoda [1]

Uspořádání lze provést také na základě síly. Nelinearita znázorněná na Obrázku 08 je řízena silami v příslušném směru. Rovnice 1 ukazuje schematický pohled na systém rovnic pro penalizační tuhost k v N/m. Další odvození a vysvětlení stávající konstrukce se v tomto příspěvku nebudeme zabývat.

Rovnice 1:

Rovnice 2 ukazuje identickou soustavu rovnic s Lagrangeovými násobiteli.

Rovnice 2:

Součinitele λ se liší pouze v poslední části. Nyní je zřejmé, že výpočet s Penalty nebo Lagrangeovým násobitelem vede alespoň v prvním kroku ke stejným výsledkům. U složitějších konstrukcí je lepší použít Lagrangeův multiplikátor. Po počáteční hodnotě nula se iterační schéma rozšíří o Langrangeovy násobitele

Liniové uvolnění

Zadáním liniového uvolnění v programu RFEM je možné ve výše uvedeném příkladu plně zohlednit nelinearitu. Stejně jako u tuhého modelu s koncovým uvolněním v u_x dochází u identického koncového kloubu nelinearity tlakového kontaktu ke srovnatelné deformaci (obrázek 9).

Deformace při použití liniových uvolnění

Vnitřní síly n_xy mají stejný průběh vnitřních sil s ohledem na svislý spoj jako konstrukce s pouze jedním koncovým kloubem (obrázek 10). Změní se pouze vodorovná linie na pravé straně modelu, protože tato plocha je zcela pod tlakem.

Smykové přetvoření v případě použití liniových uvolnění

Zadání strany plochy

Bez ohledu na to, zda jsme pro zadání koncového uvolnění vybrali liniové uvolnění nebo liniový kloub, je důležité správně zobrazit model.

Reálný model

Na obr. 11 je znázorněno hřebíky s krycí deskou (vlevo) a se zářezem (vpravo). Na obrázku 12 je znázorněn příslušný statický model. Při modelování konstrukce je důležité zadat koncový kloub v u_x, tedy v podélném směru přípoje, dvakrát vlevo a pouze jednou vpravo. Levý model má podle Hookova zákona dvojité kloubové uvolnění.

Statický systém

Závěr

Pomocí volby Liniové uvolnění nebo Liniový kloub v programu RFEM lze zohlednit koncové uvolnění mezi plochami. Vyhodnocení výsledků a modelování systému je snazší, pokud počítáme s liniovým kloubem. Výsledkem mohou být nepřesné výsledky. Kromě zohlednění koncového kloubu mezi plochami nabízí liniové uvolnění také kloub prutů na plochách.