Zohlednění polotuhého spojení mezi plochami

Odborný článek

V tomto příspěvku si ukážeme, jak lze zohlednit polotuhé spojení mezi plochami pomocí liniových kloubů a liniových uvolnění. Příkladem mohou být styčné spáry v železobetonových konstrukcích nebo rohová spojení v konstrukcích z křížem lepeného dřeva.

Obr. 01 - Reálný model a statický systém

Polotuhé spojení mezi pruty

Polotuhý spoj mezi pruty se ve statickém modelu zadává pomocí kloubů na koncích prutů. Definujeme tak přitom statickou určitost konstrukce:
n = r + 3 s - 3 k - g ≥ 0
kde
r = podporové reakce
s = pruty
k = uzly
g = klouby

Na uzlu je tak třeba zadat vždy o jeden kloub méně než prutů se stejným stupněm volnosti (g = s - 1). Na obr. 02 vidíme platné (nahoře) a neplatné (dole) zadání.

Obr. 02 - Klouby na koncích prutů: nahoře správné, dole chybné zadání

Polotuhé spojení mezi plochami

Zadání polotuhého spojení mezi plochami je složitější, vychází ovšem ze stejného základu. I v tomto případě vytvářejí dva klouby se stejným stupněm volnosti na linii staticky neurčitý systém. Na rozdíl od prutů ovšem plošné systémy neztrácejí stabilitu tak rychle. Důvodem je mimo jiné to, že plochy mohou deplanovat, a nejsou tak již kinematické. V podstatě by se ovšem v případě zadání kloubů jako na obr. 03 linie pootáčela okolo vlastní osy, a jednalo by se tak o kinematický systém.

Obr. 03 - Kinematická linie v důsledku zadání dvou kloubů

Styčná spára - železobetonová konstrukce

Nejjednodušším případem liniových kloubů jsou shora uvedené styčné spáry mezi betonovými plochami. Tímto způsobem modelujeme tak často nezbytné pracovní spáry v železobetonových konstrukcích.
Liniové klouby uvolníme ve směru ux, uy a uz (obr. 04). V tomto případě by se měla linie uvolnit také v otáčení. Při zadání kloubů u prutů i ploch je třeba uvolněné stupně volnosti označit.

Obr. 04 - Statický systém styčné plochy

Polotuhý spoj - dřevěné konstrukce

V dřevěných konstrukcích, například z křížem lepeného dřeva nebo z panelů na bázi dřeva, je spojení mezi plochami obvykle poddajné. Lineární pružinu mezi dvěma plochami můžeme zohlednit poměrně jednoduše pomocí liniových kloubů. Pružinu v dřevěné konstrukci zadáváme ovšem v podstatě pouze ve směru tahu u příslušné plochy. V oblasti kontaktu mezi plochami, respektive mezi dřevěnými panely nebo stěnami z křížem lepeného dřeva je spojení pro přenos tlaku téměř tuhé. Modelování poddajnosti je v takovém případě mnohem složitější, protože je třeba zohlednit nelineární vlastnosti.

Nelineární vlastnosti mimo jiné komplikují modelování i vyhodnocení výsledků, prodlužují dobu výpočtu, zvyšují počet neznámých. Níže popíšeme, jak lze nelineární kontakt v tlaku zohlednit pomocí lineárních liniových kloubů. Na obr. 05 vidíme konstrukci ze čtyř ploch, jejichž spojení je polotuhé. Podepření ve spodní části konstrukce je v obou modelech posuvné v ux. Na levé straně má vždy jedna plocha polotuhý přípoj, pro který zadáme pomyslné pružiny ux = 100 kN/m² (podélný směr linie) a uy = 100 kN/m² (kolmo na linii). Na pravé straně zadáme stejný přípoj ve směru ux = 100 kN/m². Ve směru uy je spojení tuhé. Na horní hranu zadáme vodorovné zatížení 15 kN/m.

Obr. 05 - Porovnání tuhostí

Jak je zřejmé z obr. 05, deformace levého modelu je příliš velká. Navíc horní plochy pronikají dolními plochami. V praxi by taková deformace nenastala. Oproti tomu deformace pravého modelu vypadá realisticky. Na obr. 06 je znázorněno smykové přetvoření nxy mezi plochami. Na tuto hodnotu jsou dimenzovány spojovací prostředky. Nezávisle na hodnotách lze rozpoznat u levého modelu poskritický stav v obou směrech (kladném i záporném) v důsledku smykového přetvoření, což plyne ze zobrazení výsledků na obou stranách plochy, respektive zohlednění polotuhého spojení na obou stranách. V pravém modelu se smykové přetvoření zmenšuje od středu k okraji, protože tuhosti se ve vnitřní oblasti připojených ploch překrývají.

Obr. 06 - Smykové přetvoření nxy při použití liniových kloubů

Na obr. 07 je znázorněna síla ve směru ny. Pro síly zobrazené na liniích je vždy směrodatná orientace lokálních os plochy.

Obr. 07 - Síly ve směru ny

Směr síly je na obr. 07 vyznačen čárkovanými červenými a fialovými šipkami. U levého modelu je ve směru svislé osy průběh normálové síly narušen a v dolní oblasti dokonce vykazuje s tahovou složkou poskritický stav. Ve směru vodorovné osy lze u levého modelu pozorovat značné tahové síly ve směru y. V pravém modelu lze ve svislém směru zaznamenat postupné narůstání normálové síly od nuly směrem ke středu. Ve vodorovném směru jsou síly naprosto minimální. Průběh sil u pravého modelu se tak zdá být realističtější.

Teorie liniového uvolnění a liniových kloubů

Pro zohlednění nelinearity například v oblasti kontaktu mezi plochami pro přenos tlaku ve výše uvedeném modelu nabízí RFEM možnost zadat liniová uvolnění. Liniové klouby i liniová uvolnění přitom vycházejí ze stejných teoretických základů. V obou případech se používá takzvaná technika dvojitých uzlů. Při zadání uvolnění se přitom vytvoří na původních uzlech pomyslné dvojité uzly. Tyto uzly se pak navzájem spojí pružinou. Jakmile na pružině definujeme přídavné nelinearity (například kontakt v tlaku), prověří se porovnáním deformace, jestli je podmínka dodržena. Tuto metodu můžeme v odborné literatuře najít pod pojmem „penalizační metoda“. Na obr. 08 vidíme příslušné schematické znázornění.

Obr. 08 - Penalizační metoda [1]

Další možností je provést porovnání na základě sil. Nelinearitu znázorněnou na obr. 08 pak zkontrolujeme porovnáním sil v příslušném směru. Rovnice 1 představuje schematické znázornění soustavy rovnic pro penalizační tuhost k v N/m. Další odvození a podrobnosti ponecháme v našem příspěvku stranou.

Rovnice 1:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

Rovnice 2 představuje stejnou soustavu rovnic s Lagrangeovými multiplikátory.

Rovnice 2:
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

Soustavy rovnic se liší pouze ve svém posledním členu, do něhož je v druhém případě zahrnut součinitel λ. Z toho vyplývá, že výpočet penalizační metodou nebo metodou Lagrangeových multiplikátorů vede přinejmenším v prvním kroku ke stejným výsledkům. U složitějších konstrukcí je ovšem v případě použití metody Lagrangeových multiplikátorů konvergence lepší. Iterační schéma se po nulové počáteční hodnotě rozšíří o Lagrangeovy multiplikátory $\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Liniové uvolnění

Nelinearitu ve výše uvedeném příkladu můžeme v programu RFEM komplexně zohlednit tak, že zadáme liniové uvolnění. V našem příkladu je při zadání nelineárního kontaktu v tlaku se stejnou poddajností deformace obdobná jako u tuhého modelu s poddajností v ux (obr. 09).

Obr. 09 - Deformace při použití liniových uvolnění

Co se týče svislého spoje, vykazují vnitřní síly nxy kvalitativně stejný průběh jako model s jedinou poddajností (obr. 10). Pouze vodorovná linie se mění na pravé straně modelu, protože je tato plocha zcela přetížena tlakem.

Obr. 10 - Smykové přetvoření v případě použití liniových uvolnění

Zadání strany plochy

Nezávisle na tom, zda zvolíme pro zadání poddajnosti liniové uvolnění nebo liniový kloub, je důležité zadat staticky správný model konstrukce.

Obr. 11 - Reálný model

Na obr. 11 je znázorněna sbíjená konstrukce se spojovacím prknem (vlevo) a konstrukce s drážkou (vpravo). Na obr. 12 je znázorněn příslušný statický systém. Při modelování je důležité definovat poddajnost v ux, tedy v podélném směru spoje, v levé konstrukci dvakrát a v pravé pouze jednou. Na základě zákona pružnosti tak má levý model dvojitou poddajnost.

Obr. 12 - Statický systém

Shrnutí

Polotuhé spojení mezi plochami můžeme v programu RFEM zadat buď pomocí liniového uvolnění anebo liniového kloubu. V případě zadání liniového kloubu je výpočet, respektive vyhodnocení výsledků a modelování systému jednodušší. Zato musí uživatel eventuálně počítat s méně přesnými výsledky. Kromě zohlednění polotuhého spojení mezi plochami nabízí liniové uvolnění také možnost uvolnění prutů na plochách.

Klíčová slova

spojovací prostředky nelinearita penalizace lagrange

Literatura

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD