Considérer des articulations entre des surfaces

Article technique

Ce document explique la prise en compte de la conformité entre les surfaces à l'aide de joints de lignes et de déclencheurs de lignes. Les jonctions et les parts de ligne prennent en compte les conformités entre les zones. Les joints dans les constructions en béton armé ou les joints de coin dans les constructions en bois lamellé-collé en sont des exemples.

Figure 01 - Modèle réel et système structurel

Articulations entre des barres

Les articulations entre des barres sont définies à l'aide d'articulations de barre lors de la modélisation et de l'analyse structurales. Le nombre d'articulations assignées aux barres peut être déterminé à partir du calcul du degré d'hyperstaticité :
n = r + 3 m - 3 n - h ≥ 0

r = réactions d'appui
m = barres
n = nœuds
h = articulations

Par conséquent, il est nécessaire de toujours assigner à un nœud une articulation de moins que les barres avec le même degré de liberté (h = m - 1). La Figure 2 représente une définition valide (en haut) et une définition incorrecte (en bas).

Figure 02 - Articulation de barres, barres : correcte (en haut) et incorrecte (en bas)

Articulations entre des surfaces

Définir des articulations entre des surfaces est une opération plus complexe, mais la procédure est la même que pour des barres. Dans ce cas également, deux articulations génèrent une structure hyperstatique avec un degré de liberté identique au niveau d'une ligne. Les structures incluant des surfaces ne deviennent pas instables aussi rapidement que des barres. Ce phénomène résulte en partie du fait que les surfaces peuvent se déformer dans le plan et ne sont donc plus cinématiques. Lors de la définition des articulations de la Figure 03, la ligne pivote en principe autour de son propre axe et la structure est ainsi cinématique.

Figure 03 - Ligne cinématique résultant de deux articulations

Joint de dilatation - structures en béton

Le cas le plus simple d'articulation linéique est l'assemblage entre des surfaces en béton mentionné précédemment. Il sert à modéliser une séparation permettant la maîtrise de la fissuration, souvent nécessaire dans les structures en béton.
Les articulations linéiques en ux, uy et uz sont libérées dans ce but (Figure 04). Il est également recommandé de libérer la rotation de la ligne dans ce cas. Le degré de liberté qui est libéré doit être sélectionné pour les barres et les surfaces à articulations.

Figure 04 - Assemblage d'un système structurel

Assemblage articulé  - structures en bois

Dans les structures en bois (structure en CLT ou ossature bois, par exemple), la liaison entre les surfaces est généralement effectuée de manière flexible. Considérer une raideur de ressort linéaire entre deux surfaces est relativement simple si l'on utilise des articulations linéiques. Cependant, cette raideur de ressort est en fait uniquement disponible dans la direction tendue de la surface dans les structures en bois. Une transmission presque rigide du contact en compression s'exerce dans la zone de contact entre les murs de panneaux CLT ou en ossature bois. Modéliser des articulations de ce type est bien plus complexe, car des propriétés non-linéaires doivent être prises en compte.

Les propriétés non-linéaires présentent des inconvénients en termes de modélisation, d'évaluation des résultats, de durée de calcul, du nombre d'inconnues, etc. Il est ensuite expliqué comment la non-linéarité du contact en compression avec des articulations linéiques linéaires peut être considérée. La Figure 05 se compose de quatre surfaces qui sont reliées de manière articulée. Les modèles disposent d'appuis libres en ux au niveau du nœud d'appui. À gauche, une surface est connectée de façon articulée avec les cinq ressorts fictifs ux = 100 kN/m² (direction longitudinale de la ligne) et uy = 100 kN/m² (perpendiculaire par rapport à la ligne). À droite, la direction ux = 100 kN/m² est liée de manière identique. L'articulation est rigide en uy. La charge horizontale s'élève à 15 kN/m en tête.

Figure 05 - Comparaison des rigidités

Comme le montre la Figure 05, la déformation du modèle de gauche est bien trop importante. De plus, les surfaces supérieures et inférieures se croisent. En conditions réelles, une telle déformation ne se produit pas. La déformation du modèle de droite semble cependant vraisemblable. La Figure 06 indique la contrainte de cisaillement nxy entre les surfaces. La vérification des organes d'assemblage est effectuée pour cette valeur. Quelles que soient les valeurs, vous pouvez voir que la contrainte de cisaillement du modèle de gauche présente toujours une déformation post-critique dans les deux directions (positive et négative). Les résultats de faces des deux côtés sont en effet affichés et ces deux côtés prennent en compte l'articulation. Sur le modèle de droite, la contrainte de cisaillement diminue à partir du centre vers le bord. Ce résultat provient de la superposition des rigidités à l'intérieur des surfaces connectées.

Figure 06 - Contrainte de cisaillement nxy au niveau des articulations linéiques

La Figure 07 montre l'effort dans la direction ny. Les efforts affichés au niveau des lignes correspondent à chaque fois à l'orientation des axes des surfaces locales.

Figure 07 - Efforts dans la direction ny

La direction de l'effort est représentée par des flèches rouges en pointillés et des flèches violettes sur la Figure 07. La distribution de l'effort axial du modèle de gauche est perturbée sur l'axe vertical, ce qui provoque une déformation post-critique avec le composant en tension dans la partie inférieure.

On constate au niveau de l'axe horizontal que le modèle de gauche présente des efforts de traction très importants dans la direction y.

L'incrément de l'effort normal de l'axe vertical est d'abord nul, puis augmente vers le centre sur le modèle de droite. Les efforts sur l'axe horizontal sont extrêmement faibles. La distribution de l'effort du modèle de droite est donc la plus plausible.

Principes théoriques relatifs aux libérations linéiques et aux articulations linéiques

RFEM permet de définir les libérations linéiques pour considérer la non-linéarité du modèle mentionné précédemment, dans la zone de transfert du contact en compression, par exemple. Les principes théoriques fondamentaux sont les mêmes pour les articulations linéiques et les libérations linéiques. Elles sont toutes concernées par la « technique des nœuds doubles ». En définissant la libération, des nœuds virtuellement doubles sont générés au niveau des nœuds d'origine. Ces nœuds sont ensuite connectés les uns aux autres à l'aide d'un ressort. Dès que des non-linéarités supplémentaires sont définies (un contact en compression, par exemple) au niveau de ce ressort, on effectue un alignement des déformations pour vérifier que les conditions sont remplies. Cette méthode s'appelle la « méthode de la pénalisation ». La Figure 08 est un schéma de cette méthode.

Figure 08 - Méthode de la pénalisation [1]

Il est également possible d'effectuer l'alignement en se basant sur les efforts. La non-linéarité représentée sur la Figure 08 dépend des efforts s'exerçant dans la direction correspondante. L'Équation 1 schématise le système d'équations de la rigidité k de la pénalisation en N/m. Cet article ne contient ni dérivation supplémentaire ni explications sur la structure traitée ici.

Équation 1 :
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\end{bmatrix}$

L'Équation 2 est le même système d'équations, avec les multiplicateurs de Lagrange.

Équation 2 :
$\begin{bmatrix}2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&0\\-\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}&\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k&-\;\mathrm k\\0&-\;\mathrm k&2\;\frac{\mathrm E\;\mathrm A}{\mathrm l}\;+\;\mathrm k\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_1\\{\mathrm u}_2\\{\mathrm u}_3\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\mathrm F\\\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;+\;\mathrm\lambda^\mathrm i\\-\;\mathrm k\;{\mathrm d}_0\;-\;\mathrm\lambda^\mathrm i\end{bmatrix}$

Le facteur λ constitue la seule différence entre ces systèmes d'équation, dans leur dernière partie. Il devient alors évident que les calculs avec la pénalisation ou les multiplicateurs de Lagrange aboutissent à des résultats identiques, du moins à la dernière étape. Les multiplicateurs de Lagrange sont mieux adaptés aux structures plus complexes. Après la valeur de départ nulle, l’itération est étendue à l'aide des multiplicateurs de Lagrange $\mathrm\lambda^{\mathrm{li}+1}\;=\;\mathrm\lambda^\mathrm i\;+\;\mathrm k\;\mathrm d^\mathrm i$.

Libération linéique

Définir une libération linéique dans RFEM permet de considérer une non-linéarité dans son intégralité pour l'exemple mentionné précédemment. Dans le cas du modèle rigide présentant une articulation en ux, une déformation comparable se produit sur l'articulation identique du point de contact comprimé non-linéaire (Figure 09).

Figure 09 - Déformation au niveau des libérations linéiques

En ce qui concerne la liaison verticale, les efforts internes nxy présentent une distribution identique des efforts internes, tout comme la structure avec une seule articulation (Figure 10). Seule la ligne horizontale change sur la face droite du modèle, car cette surface est totalement comprimée.

Figure 10 - Contrainte de cisaillement au niveau des libérations linéiques

Définir le côté de surface

Il est important d'afficher le modèle correctement, mais on peut sélectionner indifféremment une libération linéique ou une articulation linéique afin de définir l'articulation.

Figure 11 - Modèle réel

La Figure 11 montre le clouage avec panneau (à gauche) et entaille (à droite). La Figure 12 représente le modèle structural correspondant. Une fois la structure modélisée, l'articulation doit être définie en ux, donc dans la direction longitudinale de l'assemblage, deux fois à gauche, mais une fois seulement à droite. Le modèle de gauche présente une double articulation en raison de la loi de Hooke.

Figure 12 - Structure

Résumé

Dans RFEM, les libérations linéiques ou les articulations linéiques permettent de considérer les articulations entre des surfaces.

Il est plus facile d'évaluer les résultats et de modéliser le système en réalisant les calculs avec une articulation linéique.

Il est alors possible que les résultats soient imprécis. Outre la considération des articulations entre des surfaces, les libérations linéiques permettent également la libération des barres sur des surfaces.

Mots-Clés

organes d'assemblage non-linéarité pénalisation lagrange

Littérature

[1]   Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012

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Logiciel de calcul de structures aux éléments finis (MEF) pour les structures 2D et 3D composées de plaques, voiles, coques, barres (poutres), solides et éléments d'assemblage

Prix de la première licence
3 540,00 USD