Общие сведения
Симуляции, выполняемые с помощью метода конечных элементов, основаны на так называемой дискретизации. При этом задача с неизвестным решением разбивается на подзадачи, для которых может быть определено приближённое решение. В данном случае это касается геометрического разбиения на конечные (finite) составляющие (элементы), физическое поведение которых может быть приближённо описано с помощью аппроксимирующих функций. Отсюда следует актуальность выполнения исследования сходимости сетки. Обычно конечно-элементная сетка, начиная с грубой сетки, итеративно уточняется. Цель такого исследования — выбрать сетку, которая обеспечивает достаточно точные результаты. При этом стремятся найти компромисс. Сетка должна быть, с одной стороны, достаточно мелкой, чтобы дополнительное уточнение не приводило к дальнейшему существенному повышению точности, но, с другой стороны, как можно более грубой, чтобы экономить ресурсы (время расчёта/объём памяти). Достижение предела сходимости, например менее чем 1% изменения результатов между шагами, указывает на стабильное решение. В общем случае следует отметить, что сходимость для перемещений обычно достигается раньше, чем для более высокоуровневых результатов, таких как напряжения и деформации. Важно при этом выбрать конкретную точку для контроля, поскольку изменение сетки может также привести к изменению координат узлов конечно-элементной сетки. В RFEM это, например, можно сделать посредством оценки в геометрически заданных узлах или через дополнительные точки результатов по поверхности.
Сетку в RFEM можно настраивать с помощью различных параметров сетки. Также может быть целесообразно, если возникает локальная зависимость результатов от сетки, не уточнять всю модель. Для этого RFEM предоставляет возможность локального сгущения конечно-элементной сетки.
Пример: перемещение на консольной балке
Как уже упоминалось, достижение сходимости по перемещениям является наиболее простым. Ниже приведён пример по Бернду Кляйну [1], в котором исследуется влияние сетки на конечное перемещение консольной балки. Модель представляет собой консольную балку длиной 100 мм из алюминия с модулем упругости 70 ГПа. Поперечное сечение — плоский вертикально стоящий лист высотой 20 мм и шириной 1 мм. На конце консольной балки прикладывается нагрузка 1 кН.
Целью является проверка перемещения на конце консольной балки, смоделированной с помощью поверхностей, в зависимости от плотности сетки. Дополнительно были исследованы различные типы сетки: треугольные и четырёхугольные элементы. Для сравнения модель также была выполнена с помощью балочных элементов, с учётом (Тимошенко) и без учёта сдвиговой деформации (Бернулли). Модель балочных и четырёхугольных элементов, а также полученные результаты показаны на следующем рисунке.
Как видно, в данном случае сетка балочного элемента не влияет на перемещение конечного узла. Однако, как и ожидается, влияет учёт сдвиговой деформации. Перемещение без учёта сдвиговой деформации (Бернулли) составляет 7,145 мм и меньше, чем по Тимошенко, где оно равно 7,365 мм. Перемещения поверхностей консольной балки с уменьшением размера сетки приближаются к этому значению. Эти зависимости хорошо видны на следующей диаграмме.
Пример: напряжения и деформации в пластине
Следующий пример должен показать влияние сетки на вычисленные результаты напряжений и деформаций. Для этого была смоделирована поверхность со свободной прямоугольной нагрузкой и отрывающимися линейными опорами.
Сходимость сетки проверяется в точке результатов по поверхности в одном из углов свободной прямоугольной нагрузки. Следующий рисунок должен это проиллюстрировать. Верхнее окно показывает модель с сеткой, среднее — полученные значения первых главных напряжений, а нижнее — первых главных деформаций. Сетка в моделях увеличивается по плотности слева направо.
Следующая диаграмма показывает приближение значений напряжений и деформаций к предельному значению с увеличением плотности сетки, то есть так называемое поведение сходимости. Поскольку здесь фактическое значение напряжения определить нетривиально, целесообразно оценивать относительное изменение по сравнению с предыдущим шагом уточнения сетки. Это показано в нижней части диаграммы. При целевой длине конечных элементов 0,01 м как напряжение, так и деформация отличаются от предыдущего шага уточнения лишь примерно на 0,2 %
Пример: линейный анализ потери устойчивости цилиндрической оболочки
При определении собственных значений также следует ожидать существенного влияния плотности сетки. Это касается, с одной стороны, числа форм собственных колебаний, которое напрямую зависит от степеней свободы. С другой стороны, важны также локальные эффекты жёсткости и распределение массовых точек. Поэтому для выполнения анализов устойчивости и динамических расчётов, в частности модального анализа, также следует проводить исследование сходимости сетки.
Следующий пример вдохновлён публикацией доктора Лукуша Скотны [2] и был впервые опубликован Ондржеем Шворцем в LinkedIn. Модель представляет собой алюминиевую цилиндрическую оболочку высотой 0,2 м и толщиной 2 мм (EN AW-3004 H14) с диаметром 0,1 м. Верхняя и нижняя поверхности выполнены в виде жёстких поверхностей и нагружены силой 1 кН, соответственно, закреплены от перемещений. Путём последовательного уточнения сетки с 15 мм до 3 мм исследуется влияние плотности сетки на критическую нагрузку потери устойчивости в линейном анализе потери устойчивости.
На следующем рисунке показаны результаты анализа потери устойчивости для длины конечно-элементной сетки 15, 6 и 3 мм с деформированной сеткой.
Идеальную нагрузку бифуркации для этого случая также можно аналитически определить по EN 1999-1-5 на основе классической теории оболочек Лоренца/Тимошенко/Саутвелла. Определение для длинного цилиндра с проверкой предельной стройности показано в следующей формуле:
Исследование сходимости сетки показало, что критическая нагрузка бифуркации уменьшается с увеличением плотности сетки и приближается к предельному значению. Следующая диаграмма показывает критическую нагрузку бифуркации в зависимости от числа элементов (слева) и от обратного значения этого числа (справа). Самая грубая сетка (15 мм) тем самым завышает критическую нагрузку бифуркации примерно на 25,5 %. Критическая нагрузка бифуркации для самой мелкой сетки составляет 1008 кН и, таким образом, примерно на 5,3 % ниже аналитически определённой. Возможные причины этого — влияние граничных условий, а также жёсткостные свойства оболочечных элементов, реализованных в RFEM.
На следующем рисунке показано отклонение критической нагрузки бифуркации от результата самой мелкой исследованной сетки в зависимости от времени расчёта (слева) и размера сетки (справа). При размере сетки 5 мм относительное изменение по сравнению со следующим более грубым шагом составляет менее 2 %, как и по сравнению с результатом самой мелкой сетки (3 мм). Время расчёта, напротив, почти утраивается — с примерно 11 до 30 с. Эта зависимость хорошо демонстрирует компромисс между временем расчёта и точностью, типичный для конечно-элементных симуляций.
Для этого примера также могут быть найдены аналитические и нормативные предельные значения плотности сетки. Согласно EN 1993-1-6:2007, приложение §C.3, исследование сходимости должно выполняться как минимум с 3 уровнями сетки и коэффициентом уточнения, большим либо равным 1,5. Критерием сходимости при этом является изменение αcr не более чем на 1 % между двумя последними уровнями. Согласно пока ещё не внедрённому prEN 1993-1-14 §4, сетка должна быть способна разрешить определяющую форму разрушения. В анализе потери устойчивости это критическая полуволна потери устойчивости. Для хорошего разрешения здесь можно принять 4 элемента как достаточные. Таким образом, для данной геометрии размер сетки составляет около 4 мм. Это также согласуется с результатами проведённого здесь исследования сходимости (относительное изменение ~ 1 %).
Следует также отметить, что слишком мелкая сетка не автоматически лучше. При очень малых элементах возрастает число обусловленности матрицы жёсткости, что может способствовать численным неточностям в решателе собственных значений (Ланцош, итерация подпространства). Оптимальное значение при чётко разрешённой форме потери устойчивости составляет размер сетки около 3,5 мм.
Заключительные замечания
Выбранные здесь примеры должны показать упрощённый подход к исследованию сходимости сетки. Однако следует учитывать, что в индивидуальной симуляции другие показатели могут быть целью этого исследования. Кроме того, различные факторы могут привести к изменению требований. Это может быть, например, геометрическая природа, когда кривизна должна быть очень точно отображена элементами. Также исследование локальных повреждений (например, хрупкого разрушения) требует сравнительно более мелкой сетки, чем при пластической деформации.
Если при увеличении плотности сетки не происходит приближения к предельному значению, это может быть сингулярность. Дополнительную информацию по этому вопросу вы найдёте в специализированной статье по следующей ссылке.