Geral
As simulações realizadas com auxílio do Método dos Elementos Finitos baseiam-se na chamada discretização. Nesse processo, um problema com solução desconhecida é decomposto em subproblemas para os quais é possível determinar uma solução aproximada. No caso aqui apresentado, isso diz respeito a uma discretização geométrica em componentes finitos (elementos), cujo comportamento físico pode ser descrito aproximadamente por meio de funções de forma. Daí decorre a relevância da realização de um estudo de convergência da malha. Normalmente, a malha de EF é refinada iterativamente a partir de uma malha grossa. O objetivo é escolher uma malha que forneça resultados suficientemente precisos. Busca-se um meio-termo. A malha deve ser, por um lado, suficientemente refinada para que um refinamento adicional não resulte em novo aumento relevante da precisão; por outro lado, deve ser o mais grosseira possível para poupar recursos (tempo de cálculo/espaço de armazenamento). O alcance do limite de convergência, por exemplo, menos de 1% de alteração dos resultados entre os passos, indica uma solução estável. Em geral, a convergência é atingida mais facilmente para deslocamentos do que para resultados de ordem superior, como tensões e deformações. É importante escolher um ponto específico para o monitoramento, pois a alteração da malha também pode levar à alteração das coordenadas dos nós da malha de EF. Isso pode ser obtido, no RFEM, por exemplo, pela avaliação em nós geometricamente definidos ou por meio de pontos adicionais de resultados de superfícies.
No RFEM, pode controlar a malha por meio de diversas configurações de malha. Também pode ser recomendável, caso ocorra uma dependência local dos resultados em relação à malha, não refiná-la em todo o modelo. Para isso, o RFEM oferece a possibilidade de um adensamento local da malha de EF.
Exemplo: deformação em uma consola
Como já mencionado, a obtenção de convergência em relação às deformações é a mais simples. A seguir, vê um exemplo de Bernd Klein [1], que investiga a influência da malha no deslocamento final de uma consola. O modelo consiste numa consola de alumínio com 100 mm de comprimento e módulo de elasticidade de 70 GPa. A seção transversal é uma chapa plana em pé, com 20 mm de altura e 1 mm de largura. É aplicada uma carga de 1 kN na extremidade da consola.
O objetivo aqui é verificar a deformação na extremidade da consola, modelada por superfícies, em função da densidade da malha. Além disso, foram investigados diferentes tipos de malha, elementos triangulares e quadriláteros. Para comparação, a modelação também foi realizada através de elementos de barra, com (Timoshenko) e sem a consideração da deformação por corte (Bernoulli). O modelo dos elementos de barra e quadriláteros, bem como os resultados obtidos, são apresentados na figura a seguir.
Como se pode ver, neste caso, a malha do elemento de barra não tem influência sobre a deformação do nó final. Contudo, como esperado, a consideração da deformação tem influência. A deformação sem corte (Bernoulli) é de 7,145 mm, menor que a de Timoshenko, com 7,365 mm. As deformações das superfícies da consola aproximam-se desse valor à medida que a malha se torna mais fina. Essas relações ficam bem evidentes no diagrama a seguir.
Exemplo: tensão e deformação numa placa
O próximo exemplo deve mostrar a influência da malha nos resultados calculados de tensão e deformação. Para isso, foi modelada uma superfície com carga retangular livre e apoios lineares que se desprendem.
A convergência da malha é verificada em um ponto de resultados da superfície, num canto da carga retangular livre. A figura a seguir ilustra isso. A janela superior mostra o modelo com malha, a do meio as primeiras tensões principais obtidas e a inferior as primeiras deformações principais. A malha torna-se mais refinada nos modelos da esquerda para a direita.
O diagrama a seguir mostra a aproximação dos valores de tensão e deformação, com o aumento da finura da malha, a um valor limite, o chamado comportamento de convergência. Como aqui o valor real da tensão não é trivialmente determinado, é conveniente avaliar a variação relativa em relação ao passo de refinamento anterior. Isso é apresentado na parte inferior do diagrama. Para um comprimento alvo dos elementos de EF de 0,01 m, tanto a tensão quanto a deformação diferem apenas cerca de 0,2% do passo de refinamento anterior
Exemplo de análise linear de encurvadura de uma casca cilíndrica
Na determinação dos valores próprios, também é esperado um efeito não negligenciável da densidade da malha. Isso diz respeito, por um lado, ao número de modos próprios, que depende diretamente dos graus de liberdade. Por outro lado, também são relevantes os efeitos locais de enrijecimento e a distribuição dos pontos de massa. Por isso, também para a realização de análises de estabilidade e simulações dinâmicas, explicitamente análises modais, deve ser realizada uma convergência da malha.
O exemplo a seguir foi inspirado em uma contribuição de Łukasz Skotny Ph.D. [2] e foi inicialmente publicado por Ondřej Švorc no LinkedIn. O modelo consiste numa casca cilíndrica de alumínio (EN AW-3004 H14) com 0,2 m de altura e 2 mm de espessura, com diâmetro de 0,1 m. As superfícies superior e inferior são executadas por meio de superfícies rígidas e carregadas com 1 kN, respectivamente apoiadas sem deslocamento. Por meio de um refinamento sucessivo da malha de 15 mm para 3 mm, investiga-se a influência da finura da malha na carga crítica de bifurcação da análise linear de flambagem.
Na figura a seguir, são apresentados os resultados da análise de encurvadura para um comprimento de malha de EF de 15, 6 e 3 mm, com a malha deformada.
A carga ideal de bifurcação também pode ser determinada analiticamente para este caso, de acordo com a EN 1999-1-5, com base na teoria clássica de cascas segundo Lorenz/Timoshenko/Southwell. A determinação para um cilindro longo, com verificação da esbeltez limite, é apresentada na fórmula a seguir:
No estudo de convergência da malha, verificou-se que a carga crítica de bifurcação diminui com o aumento da finura da malha e se aproxima de um valor limite. O diagrama a seguir mostra a carga crítica de bifurcação em função do número de elementos (à esquerda) ou de seu recíproco (à direita). Assim, a malha mais grosseira (15 mm) superestima a carga crítica de bifurcação em cerca de 25,5%. A carga crítica de bifurcação da malha mais fina é de 1008 kN e, portanto, cerca de 5,3% inferior à determinada analiticamente. Possíveis razões para isso são a influência das condições de contorno, bem como o comportamento de rigidez dos elementos de casca implementados no RFEM.
Na figura seguinte, é apresentada a diferença da carga crítica de bifurcação em relação ao resultado da malha mais fina investigada, em função do tempo de cálculo (à esquerda) ou do tamanho da malha (à direita). A partir de um tamanho de malha de 5 mm, a variação relativa em relação ao próximo passo mais grosseiro é inferior a 2%, assim como em relação ao resultado da malha mais fina (3 mm). O tempo de cálculo, por sua vez, quase triplica, passando de cerca de 11 para 30 s. Essa relação mostra bem o equilíbrio entre tempo de cálculo e precisão, típico de simulações de EF.
Para este exemplo, também podem ser encontrados valores limite analíticos e normativos para a finura da malha. De acordo com a EN 1993-1-6:2007, anexo §C.3, deve ser realizado um estudo de convergência com pelo menos 3 níveis de malha e um fator de refinamento maior ou igual a 1,5. O critério de convergência é, nesse caso, uma variação do αcr menor ou igual a 1% entre os dois últimos níveis. De acordo com a ainda não introduzida EN 1993-1-14 §4, a malha deve ser capaz de reproduzir o modo de rotura determinante. Na análise de encurvadura, isso é o comprimento de meia onda crítico da encurvadura. Para uma boa resolução, podem ser considerados aqui 4 elementos como suficientes. O tamanho da malha resulta, assim, para esta geometria, em cerca de 4 mm. Isso também está de acordo com os resultados do estudo de convergência realizado aqui (variação relativa ~ 1%).
Também é importante observar, neste caso, que uma malha muito fina não é automaticamente melhor. Com elementos muito pequenos, o número de condicionamento da matriz de rigidez aumenta, o que pode favorecer imprecisões numéricas no solucionador de autovalores (Lanczos, subspace iteration). O valor ótimo situa-se numa forma de encurvadura bem definida, com tamanho de malha em torno de 3,5 mm.
Observações finais
Os exemplos escolhidos aqui devem mostrar um procedimento simplificado para a investigação da convergência da malha. No entanto, deve-se considerar que, em uma simulação individual, outros parâmetros de referência podem ser o objetivo desta investigação. Além disso, diferentes fatores podem levar a requisitos modificados. Estes podem, por exemplo, ser de natureza geométrica, quando uma curvatura deve ser representada com muita precisão pelos elementos. Da mesma forma, a análise de danos locais (por exemplo, comportamento de ruptura frágil) requer uma malha comparativamente mais fina do que no caso de plastificação.
Caso, com o aumento da finura da malha, não ocorra aproximação a um valor limite, pode tratar-se de uma singularidade. Mais informações sobre isso podem ser encontradas no artigo técnico no link a seguir.