Obecně
Simulace prováděné pomocí metody konečných prvků jsou založeny na tzv. diskretizaci. Přitom je problém s neznámým řešením rozdělen na dílčí problémy, pro které lze určit přibližné řešení. V daném případě se jedná o geometrické rozdělení na konečné (finální) části (prvky), jejichž fyzikální chování lze přibližně popsat pomocí aproximačních funkcí. Z toho vyplývá význam provedení studie konvergence sítě. Obvykle se FE síť od hrubého zhuštění postupně iterativně zpřesňuje. Cílem takové studie je zvolit síť, která poskytuje dostatečně přesné výsledky. Přitom se usiluje o kompromis. Síť má být na jedné straně dostatečně jemná, aby další zpřesnění již nevedlo k dalšímu relevantnímu zvýšení přesnosti, avšak na straně druhé co nejhrubší, aby šetřila zdroje (výpočetní čas/paměť). Dosažení hranice konvergence, např. změna výsledků mezi jednotlivými kroky menší než 1 %, ukazuje na stabilní řešení. Obecně platí, že konvergence se zde dosahuje spíše u posunutí než u vyšších výsledků, jako jsou napětí a přetvoření. Důležité je přitom zvolit si jednoznačný bod pro sledování, protože změna zhuštění může vést i ke změně souřadnic uzlů FE sítě. To lze v RFEMu například provést vyhodnocením na geometricky definovaných uzlech nebo pomocí dodatečných bodů výsledků plochy.
Zhuštění sítě můžete v RFEMu řídit prostřednictvím různých nastavení sítě. Doporučitelné může být také to, aby se při lokální závislosti výsledků na síti nezpřesňoval celý model. K tomu nabízí RFEM možnost lokálního zhuštění FE sítě.
Příklad deformace konzoly
Jak již bylo uvedeno, je dosažení konvergence vzhledem k deformacím nejsnazší. Níže je uveden příklad podle Bernda Kleina [1], který zkoumá vliv zhuštění sítě na koncový posun konzoly. Model se skládá z 100 mm dlouhé hliníkové konzoly s modulem pružnosti 70 GPa. Průřez tvoří plochý stojící plech o výšce 20 mm a šířce 1 mm. Na konec konzoly je působeno zatížení 1 kN.
Cílem je zde ověření deformace na konci konzoly, která byla modelována pomocí ploch, v závislosti na hustotě sítě. Kromě toho byly zkoumány různé typy zhuštění, trojúhelníkové a čtyřúhelníkové prvky. Pro porovnání bylo modelování provedeno také pomocí prutových prvků, s (Timoshenko) i bez zohlednění smykového přetvoření (Bernoulli). Model prutových a čtyřúhelníkových prvků a získané výsledky jsou zobrazeny na následujícím obrázku.
Jak lze vidět, nemá v tomto případě zhuštění prutového prvku žádný vliv na deformaci koncového uzlu. Očekávaně však má vliv zohlednění smykového přetvoření. Deformace bez smykového přetvoření (Bernoulli) je s 7,145 mm menší než podle Timoshenka s 7,365 mm. Deformace ploch konzoly se s rostoucí jemností sítě tomuto hodnotě přibližují. Tyto souvislosti jsou dobře patrné v následujícím diagramu.
Příklad napětí a přetvoření na desce
Další příklad má ukázat vliv zhuštění sítě na vypočtené výsledky napětí a přetvoření. Za tímto účelem byla modelována plocha se svobodným obdélníkovým zatížením a liniovými podporami zabraňujícími nadzvednutí.
Konvergence sítě je ověřována v bodě výsledků plochy v rohu svobodného obdélníkového zatížení. Následující obrázek to ilustruje. Horní okno zobrazuje model se zhuštěním sítě, prostřední získaná první hlavní napětí a spodní první hlavní přetvoření. Zhuštění sítě se u modelů zvyšuje zleva doprava.
Následující diagram ukazuje přibližování hodnot napětí a přetvoření s rostoucí jemností sítě ke koncové hodnotě, tzv. konvergenční chování. Protože zde skutečnou hodnotu napětí nelze snadno určit, nabízí se vyhodnocení relativní změny vůči předchozímu kroku zhuštění. To je znázorněno v dolní části diagramu. Při požadované délce FE prvků 0,01 m se jak napětí, tak přetvoření liší od předchozího kroku zpřesnění již jen asi o 0,2 %
Příklad lineární analýzy vzpěru válcové skořepiny
Při určování vlastních hodnot lze rovněž očekávat nezanedbatelný vliv jemnosti sítě. To se týká jednak počtu vlastních tvarů, který přímo závisí na počtu stupňů volnosti. Dále jsou relevantní také lokální zpevňující účinky a rozdělení hmotových bodů. Z tohoto důvodu by měla být i pro provádění stabilitních analýz a dynamických simulací, zejména modálních analýz, provedena konvergence sítě.
Následující příklad je inspirován příspěvkem Łukasze Skotnyho Ph.D. [2] a byl nejprve zveřejněn Ondřejem Švorcem na LinkedIn. Model se zde skládá z 0,2 m vysoké a 2 mm tlusté hliníkové válcové skořepiny (EN AW-3004 H14) o průměru 0,1 m. Horní a dolní plocha jsou realizovány pomocí tuhých ploch a jsou zatíženy 1 kN, resp. uloženy tak, že se nemohou posouvat. Postupným zpřesňováním sítě z 15 mm na 3 mm se zkoumá vliv jemnosti sítě na kritické bifurkační zatížení lineární analýzy vzpěru.
Na následujícím obrázku jsou zobrazeny výsledky analýzy vzpěru pro délku FE sítě 15, 6 a 3 mm s deformovanou sítí.
Ideální bifurkační zatížení lze pro tento případ také stanovit analyticky podle EN 1999-1-5, a to na základě klasické teorie skořepin podle Lorenz/Timoshenko/Southwell. Určení pro dlouhý válec s ověřením mezní štíhlosti je uvedeno v následujícím vzorci:
Při studii konvergence sítě se ukázalo, že kritické bifurkační zatížení se s rostoucí jemností sítě snižuje a blíží se mezní hodnotě. Následující diagram ukazuje kritické bifurkační zatížení v závislosti na počtu prvků (vlevo) resp. jejich převrácené hodnoty (vpravo). Nejhrubší síť (15 mm) tedy nadhodnocuje kritické bifurkační zatížení asi o 25,5 %. Kritické bifurkační zatížení nejjemnější sítě činí 1008 kN a je tedy asi o 5,3 % nižší než analyticky stanovené. Možnými důvody jsou vliv okrajových podmínek a tuhostní chování skořepinových prvků implementovaných v RFEMu.
Na dalším obrázku je zobrazeno odchýlení kritického bifurkačního zatížení od výsledku nejjemnější zkoumané sítě v závislosti na výpočetním čase (vlevo) resp. velikosti sítě (vpravo). Od velikosti sítě 5 mm je relativní změna vůči dalšímu hrubšímu kroku pod 2 %, stejně jako vůči výsledku nejjemnější sítě (3 mm). Výpočetní čas se naproti tomu téměř ztrojnásobí z přibližně 11 na 30 s. Tato souvislost dobře ukazuje kompromis mezi výpočetním časem a přesností, který je pro FE simulace typický.
Pro tento příklad lze rovněž nalézt analytické a normové mezní hodnoty jemnosti sítě. Podle EN 1993-1-6:2007, příloha §C.3, musí být provedena studie konvergence s alespoň 3 úrovněmi sítě a s poměrem zpřesnění větším nebo rovným 1,5. Kritériem konvergence je zde změna αcr menší nebo rovná 1 % mezi posledními dvěma úrovněmi. Podle dosud nezavedené prEN 1993-1-14 §4 musí být síť schopna vyřešit rozhodující poruchový tvar. U analýz vzpěru je jím kritická délka půlvlny vzpěru. Pro dobré rozlišení lze zde předpokládat, že 4 prvky jsou dostatečné. Velikost sítě tedy pro tuto geometrii vychází přibližně na 4 mm. To se také shoduje s výsledky zde provedené studie konvergence (relativní změna ~ 1 %).
V tomto případě je rovněž třeba poznamenat, že příliš jemná síť není automaticky lepší. Při velmi malých prvcích roste podmíněnost matice tuhosti, což může podporovat numerické nepřesnosti v řešiči vlastních hodnot (Lanczos, subspace iteration). Optimální hodnota leží při ostře rozlišeném tvaru vzpěru při velikosti sítě přibližně 3,5 mm.
Závěrečné poznámky
Zde zvolená příklady mají ukázat zjednodušený postup při zkoumání konvergence sítě. Je však třeba mít na paměti, že v individuální simulaci mohou být cílem této studie jiné charakteristické veličiny. Kromě toho mohou různé faktory vést ke změně požadavků. Ty mohou být například geometrické povahy, kdy má být zakřivení velmi přesně zachyceno prvky. Stejně tak vyžaduje zkoumání lokálních poškození (např. křehkého lomového chování) ve srovnání s plasticitou relativně jemnější zhuštění sítě.
Pokud při rostoucí jemnosti sítě nedochází k přiblížení ke koncové hodnotě, může se jednat o singularitu. Další informace k tomu naleznete v odborném článku na následujícím odkazu.