一般说明
利用有限元方法进行的仿真基于所谓的离散化。在此过程中，具有未知解的问题被分解为若干子问题，并可为这些子问题确定近似解。在此情况下，这涉及几何上的离散，将其划分为有限（finite）部分（单元），其物理行为可通过形函数近似描述。因此，进行网格收敛性研究具有重要意义。通常从较粗的网格开始，逐步迭代细化有限元网格。其目标是选取一个能够提供足够精确结果的网格。这里追求一种折中：一方面，网格应足够细，使得进一步细化不会带来显著的精度提升；另一方面，又应尽可能粗，以节省资源（计算时间/存储空间）。达到收敛阈值，例如各步骤之间结果变化小于 1%，表明解是稳定的。一般而言，位移的收敛通常比应力和应变等高阶结果更容易达到。需要注意的是，应选择一个明确的监测点，因为网格变化也可能导致有限元网格节点坐标发生变化。例如，您可以在 RFEM 中通过对几何固定节点的评估，或通过附加的面结果点来实现。
您可以在 RFEM 中通过多种网格设置来控制网格划分。同样，若结果存在局部网格依赖性，通常建议不要细化整个模型。为此，RFEM 提供了局部有限元网格加密的功能。
悬臂梁挠度示例
如前所述，针对变形进行收敛分析最为简单。下文给出一个由 Bernd Klein [1]] 提出的示例，用于研究网格划分对悬臂梁端部位移的影响。该模型由一根长度为 100 mm 的铝制悬臂梁组成，弹性模量为 70 GPa。截面为竖直放置的薄板，高 20 mm、宽 1 mm。在悬臂梁端部施加 1 kN 的荷载。
此处的目标是检验由面单元建模的悬臂梁末端挠度随网格密度的变化情况。此外，还研究了不同的网格类型，即三角形单元和四边形单元。作为对比，也采用梁单元进行建模，分别考虑（Timoshenko）和不考虑剪切变形（Bernoulli）。梁单元与四边形单元的模型以及所得结果如下图所示。
可以看出，在此情况下，梁单元的网格划分对端点位移没有影响。但正如预期的那样，考虑剪切变形会产生影响。不考虑剪切变形（Bernoulli）时的挠度为 7.145 mm，小于 Timoshenko 理论下的 7.365 mm。随着网格逐渐加密，悬臂梁面单元的挠度逐渐接近该值。下图清楚地展示了这些关系。
板的应力和应变示例
下一个示例旨在展示网格划分对计算得到的应力和应变结果的影响。为此，建立了一个带有自由矩形荷载和抬升线支座的面模型。
网格收敛性通过自由矩形荷载一角处的一个面结果点进行检查。下图对此进行了说明。上方窗口显示带网格的模型，中间窗口显示得到的第一主应力，下方窗口显示第一主应变。模型从左到右网格逐渐加密。
下图显示了随着网格逐渐加密，应力和应变值向某一极限值逼近的过程，即所谓的收敛行为。由于此处真实应力值并不容易直接求得，因此可采用相对于前一网格细化步骤的相对变化进行评估。这一点在图的下半部分有所表示。当有限元单元目标长度为 0.01 m 时，应力和应变相对于前一细化步骤的偏差仅约为 0.2%。
圆柱壳线性屈曲分析示例
在求取特征值时，网格精细程度同样会产生不可忽视的影响。一方面，这影响特征振型的数量，而其又直接取决于自由度。另一方面，局部刚化效应和质量点的分布也同样重要。因此，对于稳定性分析和动力分析，尤其是模态分析，也应进行网格收敛性研究。
以下示例受 Łukasz Skotny 博士的文章启发 [2]，并最初由 Ondřej Švorc 在 LinkedIn 上发布。该模型由一个高 0.2 m、厚 2 mm 的铝制圆柱壳（EN AW-3004 H14）组成，直径为 0.1 m。上、下表面采用刚性面建模，并分别施加 1 kN 荷载和设置为不可位移支承。通过将网格从 15 mm 逐步细化到 3 mm，研究网格精细程度对线性屈曲分析临界分叉荷载的影响。
下图显示了 FE 网格长度为 15、6 和 3 mm 时屈曲分析的结果，并展示了变形后的网格。
对于该情况，理想分叉荷载也可依据 EN 1999-1-5，基于 Lorenz/Timoshenko/Southwell 的经典壳理论进行解析求得。对于带有极限细长比检查的长圆柱，其求解过程如下公式所示：
网格收敛性研究表明，随着网格逐渐加密，临界分叉荷载降低并趋近于某一极限值。下图显示了临界分叉荷载随单元数量（左）及其倒数（右）的变化关系。因此，最粗网格（15 mm）对临界分叉荷载的高估约为 25.5%。最细网格的临界分叉荷载为 1008 kN，比解析结果低约 5.3%。可能的原因包括边界条件的影响，以及 RFEM 中实现的壳单元刚度行为。
在下一幅图中，显示了临界分叉荷载相对于所研究最细网格结果的偏差与计算时间（左）以及网格尺寸（右）的关系。当网格尺寸达到 5 mm 时，相对于下一较粗步骤以及相对于最细网格结果（3 mm）的相对变化均小于 2%。而计算时间则几乎从约 11 s 增加到 30 s，接近三倍。该关系很好地展示了 FE 仿真中典型的计算时间与精度之间的权衡。
对于此示例，也可以找到网格精细程度的解析和规范限值。根据 EN 1993-1-6:2007 附录 §C.3，必须进行至少 3 个网格级别、且细化因子大于等于 1.5 的收敛性研究。此处的收敛准则是最后两个级别之间 αcr 的变化小于等于 1%。根据目前尚未引入的 prEN 1993-1-14 §4，网格必须能够解析主要失效模式。对于屈曲分析而言，这一模式是临界屈曲半波长。为获得良好分辨率，这里可认为 4 个单元已足够。因此，对于该几何形状，网格尺寸约为 4 mm。这也与本文所进行的收敛性研究结果一致（相对变化约 1%）。
需要指出的是，在这种情况下，网格过细并不一定更好。对于非常小的单元，刚度矩阵的条件数会增大，从而可能有利于特征值求解器（Lanczos、子空间迭代）中数值不精确的产生。最佳值位于屈曲形态清晰分辨且网格尺寸约为 3.5 mm 的区域。
结论性说明
这里选取的示例旨在展示一种用于研究网格收敛性的简化方法。然而，应当注意，在具体仿真中，其他参数也可能成为该研究的目标。此外，不同因素也可能导致不同的要求。例如，几何因素可能要求非常精确地通过单元来表示曲率。同样，对局部损伤的研究（例如脆性断裂行为）也比塑性分析需要更细的网格。
如果随着网格逐渐加密仍未趋近某一极限值，则可能存在奇异性。有关更多信息，请参阅以下链接中的专业文章。